逻辑代数基本公式及定律

（1）概述部分在二值逻辑中，逻辑代数中的逻辑变量取值只有两个：1（逻辑1）、0（逻辑0）。0和1表示两个对立的逻辑状态。一件事情的是与非信号的有无电平的高低（2）§11.2.1逻辑代数中的三种基本运算基本逻辑运算：与(and)、或(or)、非(not)。一、“与”逻辑与逻辑：决定事件发生的各条件中，所有条件都具备，事件才会发生（成立）。规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”EYABC（3）&ABCY逻辑符号：AYBC00001000010011000010101001101111逻辑式：Y=A•B•C逻辑乘法（逻辑与）真值表EYABC真值表特点:有0出0,全1出1与逻辑运算规则：0•0=00•1=01•0=01•1=1（4）二、“或”逻辑AEYBC或逻辑：决定事件发生的各条件中，有一个或一个以上的条件具备，事件就会发生（成立）。规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”（5）AYBC00001001010111010011101101111111真值表≥1ABCY逻辑符号：逻辑式：Y=A+B+C逻辑加法(逻辑或)AEYBC真值表特点：有1出1,全0出0。或逻辑运算规则:0+0=00+1=11+0=11+1=1（6）三、“非”逻辑“非”逻辑：决定事件发生的条件只有一个，条件不具备时事件发生（成立），条件具备时事件不发生。规定:开关合为逻辑“1”开关断为逻辑“0”灯亮为逻辑“1”灯灭为逻辑“0”AEYR（7）逻辑符号：逻辑非(逻辑反)AY0110真值表AEYR真值表特点:有1出0,有0出1。AY逻辑式：运算规则：10,01AY1（8）四、几种常用的复合逻辑运算“与”、“或”、“非”是三种基本的逻辑运算，任何其它的复杂逻辑运算都可以用与、或、非的组合来实现。CBAY与非：条件A、B、C都具备，则Y不发生。&ABCY几种常用的逻辑运算如下表：（9）CBAY或非：条件A、B、C任一具备，则Y不发生。1ABCYBABABAY异或：条件A、B有一个具备，另一个不具备则Y发生。=1ABY同或：条件A、B相同，则Y发生。=ABYBABAABY（10）图2.2.3复合逻辑的图形符号和运算符号（11）AYBC00011001010111010011101101111110与非逻辑真值表AYBC00011000010011000010101001101110或非逻辑真值表异或逻辑真值表ABY000110101011同或逻辑真值表ABY100010001111（12）§2.3逻辑代数的基本公式和常用公式2.3.1基本公式加运算规则:0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=1乘运算规则:0•0=00•1=01•0=01•1=1非运算规则:1001AA0,,1,00AAAAAAAA1,,11,0AAAAAAAA一、基本定律（13）二、交换律三、结合律四、分配律A+B=B+AA•B=B•AA+(B+C)=(A+B)+C=(A+C)+BA•(B•C)=(A•B)•CA(B+C)=A•B+A•CA+B•C=(A+B)(A+C)（14）求证:（分配律第2条）A+BC=(A+B)(A+C)证明:右边=(A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC;分配律=A+A(B+C)+BC;结合律,AA=A=A(1+B+C)+BC;结合律=A•1+BC;1+B+C=1=A+BC;A•1=A=左边（15）五、德摩根定理(反演律）（DeMorgan)证明：真值表法、穷举法推广到多变量：CBACBACBACBA说明：两个（或两个以上）变量的与非（或非）运算等于两个（或两个以上）变量的非或（非与）运算。BABA1BABA2（16）用真值表证明摩根定理成立A·B=A+BA+B=A·BAB00011011Y1=A·BY2=A+B11101110相等（17）吸收：多余（冗余）项，多余（冗余）因子被取消、去掉被消化了。1.原变量的吸收：A+AB=A证明：左式=A(1+B)原式成立口诀：长中含短,留下短。长项短项=A=右式1||2.3.2若干常用公式--几种形式的吸收律（18）2.反变量的吸收：A+AB=A+B证明：=右式口诀：长中含反,去掉反。原(反)变量反(原)变量添冗余项BAABA左式)AA(BA1||（19）3.混合变量的吸收：证明：添冗余因子AB+AC+BC=AB+AC互为反变量=右式口诀：正负相对,余全完。（消冗余项）添加BCCAAB左式BC)AA(CAABBCAABCCAAB)BCACA()ABCAB(CAAB（20）证明：4.A·A·B=A·BA·A·B=AA·A·B=A·(A+B)=A·BA·A·B=A·A·B=?A·(A+B)=AAAA·BA·B√×××（21）§2.4逻辑代数的基本定理2.4.1代入定理内容：在任何一个包含变量A的逻辑等式中，若以另外一个逻辑式代替式中所有的变量A，则等式仍然成立。例：用代入规则证明德摩根定理也适用于多变量的情况。二变量的德摩根定理为：BABA1BABA2（22）以（B·C）代入（1）式中B，以（B+C）代入（2）式中B，则得到：CΒΑC)(ΒΑC)(ΒΑCBAC)(BAC)(BA注：代入定理还可以扩展其他基本定律的应用范围！BABA1BABA2（23）2.4.2反演定理内容：将函数式F中所有的++变量与常数均取反1.遵循先括号再乘法后加法的运算顺序。2.不是一个变量上的反号不动。规则:用处：实现互补运算（求反运算）。新表达式：F显然：FF(反函数)（24）例1：1)DC()BA(F10DCBAF1与或式注意括号注意括号DBDACBCAF1（25）)EDCB(A)EDCB(A例2：EDCBAF2EDCBAF2与或式反号不动反号不动EDACABAF2（26）2.4.3对偶定理将函数式F中所有的对偶式：++常量取反新表达式：'F对偶式对偶定理：当某个逻辑恒等式成立时，则其对偶式也成立。若0DCBAF1则：1D)(C)BA(F'1DBCBDACA注：证明两个逻辑式相等时，也可以通过证明它们的对偶式相等来完成。（27）