2017-中考数学-压轴专题-最值问题系列(一)

2017中考数学复习资料系列3第1页共19页专题最值问题——1（几何模型）一、归于几何模型，这类模型又分为以下情况：1.归于“两点之间的连线中，线段最短”。凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型。2.归于“三角形两边之差小于第三边”。凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型。3.利用轴对称知识（结合平移）。4.应用“点到直线的距离，垂线段最短。”性质。5.定圆中的所有弦中，直径最长；以及直线与圆相切的临界位置等等。二、基础知识模型（一）“将军饮马”问题1.如图1,将军骑马从A出发，先到河边a喝水，再回驻地B，问将军怎样走路程最短？2.如图,一位将军骑马从驻地M出发，先牵马去草地OA吃草，再牵马去河边OB喝水，最后回到驻地M，问：这位将军怎样走路程最短?图1图23.如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵马，先到草地一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。2017中考数学复习资料系列3第2页共19页（二）“造桥选址”问题（选自人教版七年级下册）1.如图1，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河两岸1l、l2平行,桥MN与河岸垂直）练习:1.如图，在边长为2㎝的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）.1题图2题图2.已知点A是半圆上的一个三等分点，点B是弧AN的中点，点P是半径ON上的动点，若⊙O的半径长为1，则AP+BP的最小值为__________.3.如图3，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,请在x轴上找到一点P，使PA+PB最小，并求出此时P点的坐标和PA+PB的最小值。2017中考数学复习资料系列3第3页共19页变式1:如图，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,点C的坐标为（-2，0）.把点A和点B向左平移m个单位，得到点A和点B,使CBCA最短，求m的值.变式2:如图，已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,点C的坐标为（-2，0），点D的坐标为（-4，0）.把点A和点B向左或向右平移m个单位，得到点A和点B,使四边形ABCD的周长最短，求m的值.2017中考数学复习资料系列3第4页共19页中考真题练习2.如图（1），抛物线3518532xxy和y轴的交点为A，M为OA的中点，若有一动点P，自M点处出发，沿直线运动到x轴上的某点（设为点E），再沿直线运动到该抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后又沿直线运动到点A，求使点P运动的总路程最短的点E，点F的坐标，并求出这个最短路程的长。1.2017中考数学复习资料系列3第5页共19页3.2017中考数学复习资料系列3第6页共19页4.（广州201424题）已知平面直角坐标系中两定点A（﹣1，0）、B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣2（a≠0）过点A，B，顶点为C，点P（m，n）（n＜0）为抛物线上一点．（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；（2）当∠APB为钝角时，求m的取值范围；（3）若m＞23，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t（0＜t＜25）个单位，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首位依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．2017中考数学复习资料系列3第7页共19页（三）垂线段最短问题1.如图，点A的坐标为（-1，0），点B在直线yx上运动，当线段AB最短时，点B的坐标为()A.（0，0）B.（21，21）C.（22，22）D.（22，22）变式1.已知点A的坐标为（-4，8）,点B的坐标为（2，2）,在y轴上找一点M，使点M到点C（-2，0）的距离和到直线AB的距离之和最小，请求出最小值。2.已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）已知点C的坐标为（2，0），在y轴上找一点N，使点N到点C的距离和到直线AB的距离之和最小，请求出最小值.2017中考数学复习资料系列3第8页共19页中考真题训练1.如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线y=ax2上，点C坐标为（-2，0）.(1)求a的值；(2)在x轴上找一点Q，使得△QAB的周长最小，求出点Q的坐标；(3)已知点D的坐标为（2，0），在y轴上找一点Q，使点Q到点D的距离和到直线AB的距离之和最小，请求出最小值.2.对于平面直角坐标系x0y中的点平P（a，b），点P的坐标为bkakba,（其中k为常数，且k≠0），则称点P为点P的“k属派生点”.例如：P（1，4）的“2属派生点”P为（1+24，2×1+4），即P（3，6）．（1）①点P（-1，-2）的“2属派生点”P的坐标为____________；②若点P的“k属派生点”P的坐标为（3，3），请写出一个符合条件的点P的坐标____________；（2）若点P在x轴的正半轴上，点P的“k属派生点”为P点，且△OPP为等腰直角三角形，则k的值为________；（3）如图,点Q的坐标为（0，34），点A在函数034＜xxy的图象上，且点A是点B的“3-属派生点”，当线段BQ最短时，求B点坐标．2017中考数学复习资料系列3第9页共19页（四）“三角形两边之差小于第三边”(线段差最大问题)1.已知点A的坐标为（-4,8），点B的坐标为（2，2）,(1)如图（1）请在x轴上找到一点P，使PBPA最大，并求出此时P点的坐标。（2）如图（2）请在y轴上找到一点P，使PBPA最大，并求出此时P点的坐标。图1图22017中考数学复习资料系列3第10页共19页中考真题练习1.(2014年广东深圳)如图，在平面直角坐标系中，⊙M过原点O，与x轴交于A（4，0），与y轴交于B（0，3），点C为劣弧AO的中点，连接AC并延长到D，使DC=4CA，连接BD．（1）求⊙M的半径；（2）证明：BD为⊙M的切线；（3）在直线MC上找一点P，使|DP﹣AP|最大．2017中考数学复习资料系列3第11页共19页（五）与圆有关的最值问题（1）利用“相切”解决最值问题（2）利用“直径是最长的弦”求最值（3）利用“对角互补存隐圆”、“定弦定角存隐圆”、“定点定长存隐圆”求最值1.（2013•枣庄）如图，已知线段OA交⊙O于点B，且OB=AB，点P是⊙O上的一个动点，那么∠OAP的最大值是（）A．90°B．60°C．45°D．30°1题图2题图3题图2.（2016广州天河一模）如图，AB为⊙O的弦，AB=6，点C是⊙O上的一个动点，且∠ACB=45°，若点M，N分别是AB，BC的中点，则线段MN长的最大值是.3.（2014•武汉模拟）如图，P为⊙O内的一个定点，A为⊙O上的一个动点，射线AP、AO分别与⊙O交于B、C两点．若⊙O的半径长为3，OP=，则弦BC的最大值为（）A．2B．3C．D．34.（2014春•兴化市月考）在平面直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），点B为y轴正半轴上的一点，点C为第一象限内一点，且AC=2，设tan∠BOC=m，则m的取值范围是（）A．m≥0B．C．D．4题图5题图6题图5.（2015花都一模）如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是．6.（2013•内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆过点A（13，0），直线y=kx﹣3k+4与⊙O交于B、C两点，则弦BC的长的最小值为．2017中考数学复习资料系列3第12页共19页7.（2015•泰兴市二模）如图，定长弦CD在以AB为直径的⊙O上滑动（点C、D与点A、B不重合），M是CD的中点，过点C作CP⊥AB于点P，若CD=3，AB=8，PM=l，则l的最大值是．GFBCADE7题图8题图9题图8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是.9.正方形ABCD中，BC=4，E，F分别为射线BC，CD上两个动点，且满足BE=CF，设AE，BF交于G，则DG的最小值为.10.如图,边长为3的等边△ABC,D、E分别为边BC、AC上的点,且BD＝CE,AD、BE交于P点,则CP的最小值为.10题图11.（2015•安徽）在⊙O中，直径AB=6，BC是弦，∠ABC=30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ．（1）如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；（2）如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.2017中考数学复习资料系列3第13页共19页12.（2016合肥模拟）如图，直角△ABC内接于⊙O，∠C=90°，点P在弧AB上移动，P，C分别位于AB的异侧（P不与A，B重合），△PCD也为直角三角形，∠PCD=90°，且直角△PCD的斜边PD也经过点B，BA，PC相交于点E.(1）当BA平分∠PBC时，求CDBE的值；(2）已知：AC=1，BC=2，求△PCD面积的最大值。13.在平面直角坐标系中，O为原点，点A（-2，0），点B（0，2），点E，点F分别为OA，OB的中点.若正方形OEDF绕点O顺时针旋转，得正方形OE’D’F’，若直线AE’与直线BF’相交于点P.（1）求∠PAO的最大值；（2）点P运动的路径长.xyPF'D'DEGAoFE'2017中考数学复习资料系列3第14页共19页巩固练习1.如图1，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m．(结果不取近似值)1题图2题图3题图2.如图2，有一圆柱体高为10cm，底面圆的半径为4cm，AA1、BB1为相对的两条母线。在AA1上有一个蜘蛛Q，QA=3cm；在BB1上有一只苍蝇P，PB1=2cm。蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P点吃苍蝇，最短的路径是cm.（结果用带π和根号的式子表示）3.（深圳福田模拟）如图，∠MON=20°，A为射线OM上一点，OA=4，D为射线ON上一点，OD=8，C为射线AM上任意一点，B是线段OD上任意一点，那么折线ABCD的长AB+BC+CD的最小值是______．4.（2010•苏州）如图，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（﹣1，0），半径为1．若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（）A．2B．1C．D．4题图5题图6题图5.（2014春•兴化市校级月考）如图所示，已知A（1，y1），B（2，y2）为反比例函数y=图象上的两点，动点P（x，0）在x轴正半轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是．6.（2013•武汉模拟）如图∠BAC=60°，半径长1的⊙O与∠BAC的两边相切，P为⊙O上一动点，以P为圆心，PA长为半径的⊙P交射线AB、AC于D、E两点，连接DE，则线段DE长度的最大值为（）A．3B．6C．D．7.（2015年武汉中考）如图，△ABC、△EFG均是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M．当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是.MFEGDCAB2017中考数学复习资料系列3第15页共19页8．（2013•日照）问题背景：如图（a），点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求．（1）实践运用：如图（b），已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的