《高考数学第一轮复习课件》第73讲 直线与圆、圆与圆的位置关系

新课标高中一轮总复习理数理数第73讲直线与圆、圆与圆的位置关系能充分利用几何性质判定直线与圆、圆与圆的位置关系，能熟练地分析求解与圆的切线和弦有关的综合问题，提升运算和推理能力.1.对于x∈R，直线(3k+2)x-ky-2=0与圆x2+y2-2x-2y-2=0的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.可以相交,也可能相切,但不可能相离D由圆的方程可知,圆心为(1，1),半径为r=2.圆心到直线的距离≤2，所以直线与圆相交或相切(当k=时,相切).故选D.22223222(32)(32)kkkdkkkk232.两圆C1:x2+y2-6x+4y+12=0与圆C2:x2+y2-14x-2y+14=0的位置关系是()A.相交B.内含C.外切D.内切D由已知，圆C1:(x-3)2+(y+2)2=1,圆C2:(x-7)2+(y-1)2＝36，则|C1C2|=5=6-1,故选D.3.过圆(x-1)2+(y+2)2=9和圆x2+y2=4两交点的直线方程是.x-2y=0两方程相减得-2x+1+4y+4=5,即-2x+4y=0，故所求方程为x-2y=0.由已知，圆心C(3,1),半径r=5.又圆心C到直线l的距离,则弦长=.4.直线x+2y=0被圆C:x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于.3255d22245rd45由已知可知定点A在圆C外，则,解得k-3或2k.5.过定点A(1,2)可作两直线与圆C:x2+y2+kx+2y+k2-15=0相切，则k的取值范围是.8383(,3)(2,)33222244(15)0124150kkkk8338331.直线与圆的位置关系设直线的方程为Ax+By+C=0(A2+B2≠0),圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.(1)圆心到直线的距离d=①,___________圆与直线___________(几何法).___________22AaBbCABbrbrb=r(2)判别式法：由方程组得关于x(或y)的一元二次方程，则判别式＞0⑤____________Δ=0⑥(代数法).＜0⑦_____________(3)直线与圆相离时，圆上各点到直线的距离中的最大值和最小值的求法可用线心距法.(4)直线与圆相交时，弦长的求法可利用弦心距、半径及半弦长组成的直角三角形，运用勾股定理求解.0222()()AxByCxaybr相交相切相离2.圆的切线及圆的弦(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程为⑧____________；过圆x2+y2=r2外一点P(x0,y0)作圆的两条切线，则切点弦所在直线的方程为⑨____________.x0x+y0y=r2x0x+y0y=r2(2)圆的弦长l=⑩________(d为弦心距)；圆的切线长l=(s为点到圆心的距离).222rd22sr(3)公共弦所在直线的方程：圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0.若相交，公共弦所在直线的方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.3.两个圆的位置关系设两圆的半径分别为R、r(R≥r),圆心距|C1C2|=d,则两圆的位置关系如下：(1)外切：______;(2)内切:______;(3)内含:d______R-r;(4)外离：d______R+r;(5)相交:R-r____d____R+r.111213141516d=R+rd=R-r4.圆系方程(1)同心圆圆系方程_____________(其中a、b为常数，r为变量,r≠0),表示以(a,b)为圆心，半径为r的圆系.(2)过定直线l:Ax+By+C=0和定圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0的交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(参数λ∈R).17(x-a)2+(y-b)2=r2(3)过两定圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(其中参数λ∈R,不含圆C2的方程.当λ=-1时，方程表示两圆公共弦所在直线的方程).5.点与圆的位置关系设点P到圆心的距离为d，圆的半径为r，则有：(1)d＞r，点P在____________；(2)d=r,点P在______________;(3)d＜r,点P在______________.设点P(x0,y0),圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则有:(1)＞0,点P在;(2)=0,点P在;(3)＜0,点P在.181920220000xyDxEyF220000xyDxEyF220000xyDxEyF212223圆外圆上圆内圆外圆内圆上题型一直线与圆的位置关系的判定与应用典例精讲典例精讲例1直线与圆的位置关系的判定与应用已知圆C:x2+y2=8及定点P(4,0)，试问过定点P的直线的倾斜角α（α≠）在什么范围内取值时，该直线与已知圆C(1)相切；(2)相交；(3)相离.2由直线倾斜角α≠.设直线的方程为y=tanα(x-4),2由y=tanα(x-4)x2+y2=8,消去y得（1+tan2α）x2-8xtan2α+16tan2α-8=0,则Δ＝32(1-tan2α).(1)由Δ=0,即1-tan2α=0,得tanα=±1,而α∈［0,)∪(,π),故α=或时，直线与圆相切.(2)由Δ0,即1-tan2α0,得-1tanα1.又α∈［0,)∪(,π),所以0≤α或απ时，直线与圆相交.2243422434(3)由Δ0,即1-tan2α0,得tanα-1或tanα1.又α∈［0,)∪(,π),所以π4α或α时，直线与圆相离.222342点评点评直线与圆的位置关系探究，既可利用几何性质，又可运用方程思想，问题求解应视题设情境恰当选用.变式变式变式已知圆C：(x-1)2+(y-2)2=2,P点的坐标为(2,-1),过点P作圆C的切线，切点为A、B.(1)求直线PA、PB的方程；(2)求过P点的圆的切线长；(3)求直线AB的方程.(1)如图,设过P点的圆的切线方程为y+1=k(x-2),即kx-y-2k-1=0.因为圆心(1,2)到切线的距离为,22321kk即,所以k2-6k-7=0,解得k=7或k=-1,所以所求的切线方程为7x-y-15=0或x+y-1=0.(2)连接PC，CA.在Rt△PCA中，|PA|2=|PC|2-|CA|2=8,所以过P点的圆C的切线长为.22(3)由7x-y-15=0(x-1)2+(y-2)2=2,解得A(,).12595又由x+y-1=0(x-1)2+(y-2)2=2,解得B(0,1),所以直线AB的方程为x-3y+3=0.例2已知圆C1：x2+y2-2mx+4y+m2-5=0，圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,当m为何值时，(1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含.题型二圆与圆的位置关系的判定及应用(2)若圆C1与圆C2内含,则有＜3-2,即m2+3m+2＜0，解得-2＜m＜-1.从而，当-2＜m＜-1时，圆C1与圆C2内含.(1)若圆C1与圆C2相外切，则有=3+2,即(m+1)2+(m+2)2=25,所以m2+3m-10=0，解得m=-5或m=2.从而，当m=-5或m=2时，圆C1与圆C2相外切.22(1)(2)mm圆C1:(x-m)2+(y+2)2=9,圆C2:(x+1)2+(y-m)2=4，则C1(m,-2)，C2(-1,m).22(1)(2)mm点评点评已知两圆方程判断两圆位置关系，或已知两圆位置关系求方程时，只要利用圆心距与两圆的半径之间的几何关系，即可找到解决问题的途径.变式变式变式已知圆M:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆N：x2+y2+2x+2y-2=0交于A、B两点，且A、B两点平分圆N的圆周.(1)求圆M的圆心的轨迹方程；(2)求半径最小时，圆M的方程.(1)由已知，圆心M(m,n),N(-1,-1).由x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0x2+y2+2x+2y-2=0,两式相减得公共弦AB的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0.因为AB平分圆N的圆周，则点N(-1,-1)在直线AB上，所以2(m+1)·(-1)+2(n+1)·(-1)-m2-1=0,即m2+2m+2n+5=0.①因此，圆心M的轨迹方程为x2+2x+2y+5=0,即(x+1)2=-2(y+2).(2)由题设，当圆M的半径最小时，点M到AB的距离最小，即|MN|最小.又|MN|==,又由①可知n≤-2,因此|MN|min=1,此时n=-2,m=-1，故圆M的方程为(x+1)2+(y+2)2=5.22(1)(1)mn222(2)(1)3nnn题型三与位置关系有关的最值问题例3已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)yx的最大值和最小值；(2)y-x的最大值和最小值；(3)x2+y2的最大值和最小值.原方程化为(x-2)2+y2=3，表示以(2,0)为圆心，为半径的圆.3(1)的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设=k，即y=kx，yxyx当直线y=kx与圆相切时，斜率取最大值和最小值，此时,解得k=±,所以yx的最大值是，最小值是－.22031kk3(2)(方法一)y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距取得最大值和最小值,此时,解得b=-2±,2032b所以y-x的最大值是-2+,最小值是-2-.66(方法二)由已知得圆的参数方程为23cosx3cosy(θ为参数)，633则y-x=sinθ-cosθ-2=sin(θ-)-2,3364故(y-x)min=--2,(y-x)max=-2.66(3)(方法一)x2+y2表示圆上的一点与原点的距离的平方，由平面几何知识知，在原点与圆心的连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值，又圆心到原点的距离为,所以x2+y2的最大值是(2+)2=7+4,x2+y2的最小值是(2-)2=7-4.22(20)(00)23333(方法二)由（２）的参数方程及圆的方程可得x2+y2=4x-1=8+4cosθ-1=4cosθ+7,故cosθ=-1时，x2+y2取最小值为7-4;cosθ=1时，x2+y2取最大值为7+4.3333点评点评涉及与圆有关的最值问题时，既可考虑应用几何性质探究，也可考虑应用圆的参数方程转化为三角函数最值求解.备选题备选题已知点P(0,5)及圆C:x2+y2+4x-12y+24=0.(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4,求l的方程；(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.3当l的斜率存在时，设所求直线l的斜率为k,则直线l的方程为y-5=kx,即kx-y+5=0.由点C到直线AB的距离公式:,226521kk(1)如图所示，AB=4,D是线段AB的中点，CD⊥AB,AD=2,AC=4,在Rt△ACD中，可得CD=2.33(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x,y),则CD⊥PD,所以=0,所以(x+2,y-6)·(x,y-5)=0,化简得所求轨迹方程为x2+y2+2x-11y+30=0.CDPD得k=,此时直线l的方程为3x-4y+20=0.又直线l的斜率不存在时，也满足题意,此时方程为x=0.34所以所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0.1.探究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，充分利用几何特征往往是问题解决的切入点和突破口，因此分析探索几何特征十分关键.2.方程思想是解析几何问题分析求解的重要思想，在分析解决有关圆的位置关系问题时，应注意与数形结合思想综合运用.方法提炼方法提炼走进高考走进