自动控制原理(胡寿松版)课件第四章

第四章根轨迹分析法第四章根轨迹分析法第一节根轨迹的基本概念第二节绘制根轨迹的基本方法第三节广义根轨迹第四节系统性能的分析第四章根轨迹分析法根轨迹法概述控制系统设计的主要方法之一；确定闭环系统的零点、极点的分布与开环传递函数零点、极点的关系；研究分析系统参数的变化对系统特征根的影响；根轨迹是一种图解法，它是根据系统开环传递函数的零点、极点分布情况，用作图法简便的求得闭环系统的特征根与系统参数值（如开环增益）间的关系。第一节根轨迹的基本概念当系统的某个参数变化时，特征方程的根随之在S平面上移动，系统的性能也跟着变化。研究S平面上根的位置随参数变化的规律及其与系统性能的关系是根轨迹分析法的主要内容。第四章根轨迹分析法一、根轨迹设系统的结构如图闭环特征方程式特征方程的根得相应的闭环特征根值:s2+2s+KrC(s)R(s)=Krs2+2s+Kr=0-Krs(s+2)R(s)C(s)s1.21-Kr=-1±Krs1s200-2-11-12-1+j-1-j∞-1+j∞-1-j∞Kr变化时,闭环特征根在s平面上的轨迹:-1-21-1s1s2σj0ωKr=01↑Kr∞↑Kr∞↑从根轨迹可知:(1)左半平面为稳定极点；右半平面为不稳定极点；虚轴上为临界极点。(2)0Kr1时，系统有呈过阻尼状态。(3)当Kr=1时，系统呈临界阻尼状态。(4)1Kr∞时，系统呈欠阻尼状态。第一节根轨迹的基本概念闭环特征方程的根的位置与系统的性能是密切相关的，当系统的某个参数发生变化时，特征方程的根在平面上的位置以及系统的性能将随之而变.*根轨迹法的基本思路:*根轨迹的定义:系统的一个或多个参数由零变到无穷大时，闭环特征方程的根在S平面上移动的轨迹。*根轨迹法的分析手段:利用根轨迹法来分析和设计系统，首先必须绘制出系统的根轨迹图，而采用求解方程根的方法来绘制高阶系统的根轨迹图显然是难以实现的，必须找到一种方便、有效的作图方法。作图方法的依据就是根轨迹方程。第一节根轨迹的基本概念二、根轨迹与系统性能第一节根轨迹的基本概念根轨迹图可以分析系统的各种性能：稳定性:根轨迹均在s的左半平面，则系统对所有k0的值是稳定的。稳态性能：如图有一个开环极点s=0，说明属于I型系统，阶跃作用下的稳态误差为0。动态性能：过阻尼临界阻尼欠阻尼。K越大，阻尼比越小，超调量σ%越大。-1-21-1s1s2σj0ωKr=01↑Kr∞↑Kr∞↑第一节根轨迹的基本概念三、闭环零、极点与开环零、极点的关系G(S)H(S)-R(s)C(s)系统传递函数为()()1()()GssGsHs前向通路传递函数22*121212212221()(1)(21)()(1)(21)()fiGiGqiiszKsssGsKsTsTsTssp21*2212GGKKTT其中：前向通路增益前向通路根轨迹增益第一节根轨迹的基本概念反馈通路传递函数G(S)H(S)-R(s)C(s)hjjljjHpszsKsH11*)()()(开环传递函数***11*1111**,,)()()()()()()()(HGniimjjhjjqiiljjfiiHGKKKlfmhqnpszsKpspszszsKKsHsG闭环传递函数mjjniihjjfiiGzsKpspszsKsHsGsGs1*111*)()()()()()(1)()(『结论』闭环系统根轨迹增益，等于开环系统前向通路根轨迹增益。对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹益。闭环零点有前向通道零点和反馈通道极点构成，对于单位反馈系统，闭环零点就是开环零点。闭环极点与开环零点，开环极点及开环根轨迹增益有关。第一节根轨迹的基本概念四、根轨迹方程设系统的结构如图系统闭环传递函数为开环传递函数的一般表达式为C(s)R(s)=G(s)1+G(s)H(s)Krj=1n(s-zi)(s-pj)G(s)H(s)=i=1m根轨迹增益开环传递函数零点开环传递函数极点-R(s)G(s)H(s)C(s)闭环特征方程式为即1+G(s)H(s)=0G(s)H(s)=-1根轨迹方程为满足开环传递函数等于-1的s即为闭环特征方程式的根。根轨迹方程又可分解为幅值方程和相角方程。即幅值方程Krj=1n(s-zi)(s-pj)=1i=1m或相角方程K=(0,±1,±2…)m∑nj=1(s-zi)∑i=1(s-pj)=(2k+1)πKr1j=1n(s-zi)(s-pj)=i=1m=-1Kri=1m(s-zi)j=1n(s-pj)当s满足相角方程时，必然能找到一个Kr值，使得该s满足幅值方程。所有满足相角方程的s构成了闭环特征方程式根的轨迹。第一节根轨迹的基本概念『注』相角条件是确定S平面上根轨迹的充要条件，即绘制根轨迹时，只需使用相角条件；当需要确定根轨迹上各点的时，才使用模植条件。*K第一节根轨迹的基本概念2,1,01211kkpszsniiimi『结论』相角方程：所有开环零点指向任一闭环极点（根轨迹上任一点）的向量与正实轴的夹角之和减去所有开环极点指向同一闭环极点的向量与正实轴的夹角之和满足(2k+1)π相角方程的物理意义模值方程的物理意义111*niimiipszsK『结论』模值方程：所有开环零点指向任一闭环极点的向量的长度之积与所有开环极点指向同一闭环极点的向量的长度之积的比等于开环根轨迹增益倒数。第一节根轨迹的基本概念根据相角条件判断某点是否在根轨迹上！60,70,80,100,1305432112345s1z1z2p3p2p1×××)12(?)()(32154k『问题』判断s1是否根轨迹上的点?第一节根轨迹的基本概念例已知系统的开环传递函数，根据相角方程确定系统的根轨迹图。Krs(s+2)G(s)=解：开环零、极点分布为：σj0ω-2p1p2该系统的相角方程为：-∑2j=1(s–pj)=±(2k+1)πs1设实轴上任意点s1s1与开环零、极点之间的矢量：θ1θ2s1的相角方程为：-∑2j=1(s1–pj)=-180ºs1为根轨迹上的点。p1~p2为根轨迹段。=-θ1-θ2第一节根轨迹的基本概念σj0ω-2p1p2s2设复平面开环极点中线上任意点s2s2与开环零、极点之间的矢量：θ1θ2s2的相角方程为：-∑2j=1(s2–pj)=-180º=-θ1-(180o-θ1)=-θ1-θ2中线上的点都是根轨迹上的点。设任意点s3s3s3的相角方程为：θ1θ2-∑2j=1(s3–pj)=-θ1-θ2-180ºs3不是根轨迹上的点。根据相角方程得系统的根轨迹为：第一节根轨迹的基本概念第二节根轨迹绘制的基本法则第四章线性系统的根轨迹法根据根轨迹的基本特征和关键点，就能比较方便地近似绘制出根轨迹曲线。根据根轨迹方程，无需对闭环特征方程式求解，只需寻找所有满足相角方程的s，便可得到闭环特征方程式根的轨迹。同时，可由幅值方程来确定根轨迹所对应的Kr值。根轨迹基本特征为以下八条：σj0ω1.起点根轨迹方程：则一、根轨迹的起点和终点Kr=0s=pj根轨迹起始于开环传递函数的极点即Krs(s+2)G(s)=例：-2p1p2=Kr1-i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=∞i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=0j=1n(s-pj)第二节根轨迹绘制的基本法则2.终点s=ziKr8=0i=1m(s-zi)m条根轨迹终止于开环传递函数的零点s8n-m条根轨迹终止于无穷远根轨迹方程：=Kr1-i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)则即另：=0i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)=0sn-m1≈i=1m(s-zi)j=1n(s-pj)第二节根轨迹绘制的基本法则p3=-2p2=-1例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。解：系统的三条根轨迹起始于三个开环传递函数的极点。开环零、极点分布：p1=0z1=-1+jz2=-1-js(s+1)(s+2)Kr(s2+2s+2)G(s)H(s)=jω1-1-1-20p1p2p3z1两条根轨迹终止于开环传递函数的两个零点，另一条趋于无穷远。z2第二节根轨迹绘制的基本法则二、根轨迹的对称性和分布性1．根轨迹对称于实轴闭环特征方程实数根分布在S平面的实轴上。复数根则成对出现，实部相等，虚部大小相等符号相反。根轨迹必定对称于实轴。σjω0s1s2s3s4s5s62.n阶系统有n条根轨迹Kr取某一数值时,n阶特征方程有n个确定的根。Kr=0→∞每一个根由始点连续地向其终点移动，形成一条根轨迹，n个根形成n条根轨迹。第二节根轨迹绘制的基本法则三、根轨迹的渐近线当开环极点数n大于开环零点数m，有n-m条根轨迹分支沿着与实轴交角为和交点为的一组渐进线趋向无穷远处。渐近线与实轴的夹角：渐近线与实轴的交点：(21)aknm11nmijijapznmaa第二节根轨迹绘制的基本法则例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。解：s(s+1)(s+2)KrG(s)H(s)=6001）开环零、极点：2）实轴上的根轨迹段：jω0p1p3p2-1-2p1=0p2=-1p3=-2p1~p2p3~-83）根轨迹的渐近线：与实轴的夹角:n-m=33(2k+1)+θ=πK=0+60oθ=+180oθ=K=14）系统的根轨迹与实轴的交点:3σ=-1-2=-1第二节根轨迹绘制的基本法则σjω0p1p2p3p4z2z1s1φ1φ2θ1θ2θ3θ4s1的相角方程为：设实轴上任意点s1四、实轴上的根轨迹段系统开环零、极点分布为：s1与开环零、极点之间的矢量：φ1=-φ2(s1-zi)-∑2i=1∑4j=1(s1–pj)θ1-θ2-θ3-θ4=φ1+φ2-=-θ1-θ2=-180ºθ3=-θ4共轭开环零、极点构成的相角正负抵消实轴上根轨迹段右侧的开环零、极点个数之和为奇数。第二节根轨迹绘制的基本法则例已知系统的开环传递函数，试确定系统的根轨迹图。解：1）τT(1)开环零、极点分布p1~z1段:jω0p1右侧一个开环极点右侧三个开环零极点z1p2p1=0(2)实轴上根轨迹段(3)系统的根轨迹KrG(s)H(s)=1ב(s+1Ts(s+))1z1=-τ1p2=-T1-Tτ1-p2∞段：~-第二节根轨迹绘制的基本法则(1)开环零、极点分布jω0p1z1p2(2)实轴上根轨迹段p1和p2为根轨迹的起点z1和-∞为根轨迹的终点(3)系统的根轨迹p1=0p1~p22）τT1z1=-τ1p2=-T1-Tτ1-z1~-∞第二节根轨迹绘制的基本法则五、根轨迹的分离点和分离角第二节根轨迹绘制的基本法则根轨迹分离点两条或两条以上的根轨迹分支在s平面上相遇又立即分开的点称为分离点（会合点）。分离点的坐标d由下列方程所决定：1111mnjijidzdp注：（1）根轨迹出现分离点说明对应是特征根出现了重根。（2）若实轴上的根轨迹的左右两侧均为开环零点（包括无限零点）或开环极点（包括无限极点），则在此段根轨迹上必有分离点。（3）分离点若在复平面上，则一定是成对出现的。第二节根轨迹绘制的基本法则『例』开环传递函数2ssksG解2,021ppn=2，没有零点，由nimiiizdpd1111可知1d亦可直接用特征方程求取022kss得K=1，s=-1『注』由分离点公式求出d后，一定要进行检查，应舍弃不在根轨迹上的点d。第二节根轨迹绘制的基本法则例开环传递函数jsjssKsssKsG112*222*2解59.0,14.321111121dddjdjd-1+j-1-j-1-2-3-4j显然d2不在根轨迹上，应舍弃。『注』仅由两个极点(实数或复数)和一个有限零点组成的开环系统。只要有限零点没有位于两个实