第二章标量衍射理论2008zwh

第二章标量衍射理论衍射的中心问题是衍射的光强分布。要精确解决这个问题，必须把光波场考虑成矢量场。但由于用矢量波的方法求解衍射问题，其数学运算相当复杂，至今用这种方法能严格求解的例子不多，而标量衍射理论是把光波场当作标量场来处理，即只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定任何别的分量都可以用同样的方法独立处理，从而忽略电矢量和磁矢量的各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系。光在传播过程中,除反射、折射外，偏离直线传播的现象，称为光的衍射。从光广义上说，偏离几何光学直线传播规律的现象统称为衍射，它是光的波动性的主要标志之一。实践证明：用这种近似的处理方法在我们所涉及的光学系统中，当衍射孔径比照明波长大得多，而且观察点离衍射孔径不太近时，所得结果是很精确的。衍射的中心问题是衍射的光强分布。要精确解决这个问题，必须把光波场考虑成矢量场。但由于用矢量波的方法求解衍射问题，其数学运算相当复杂，至今用这种方法能严格求解的例子不多，而标量衍射理论是把光波场当作标量场来处理，即只考虑电场的一个横向分量的标量振幅，而假定任何别的分量都可以用同样的方法独立处理，从而忽略电矢量和磁矢量的各个分量按麦克斯韦方程组的耦合关系。2.1基尔霍夫衍射理论2.1.1惠更斯---菲涅耳原理惠更斯---菲涅耳原理是在惠更斯子波的假设与杨氏干涉原理的基础上提出的，它是描述光传播过程的基本原理。该原理指出：光场中任一给定的隔开波源与场点的曲面上的各面元可以看做是子波源，如果这些子波是相干的，则在波传播的空间上的任一点处的光振动，都可以看做是这些子波源各自发出的子波在该点相干叠加的结果。dsPQP0rn其复振幅的数学表达式为SrekPUCQUjkrd)()()(0dsPQP0rn)(0PU波面上任一点的复振幅—隔开波源与场点的曲面)(K—倾斜因子rejkr—子波源发出的球面波C—比例系数由电磁场理论可知，电磁波在无源点上应满足如下波动方程0222tEtEE进一步，无损耗介质中0222tEE0222tEExx0222tEEyy0222tEEzz令),(),(tQutQEx))(2exp()(Re),(QtjQatQu1v0)(1)(2222teQUveQUtjtj0)(1)(222tjtjeQUveQU0)()(222QUvQUvk0)()(22QUkQU上式方程是一个二阶线性偏微分方程，称为亥姆霍兹(Helmhotz)方程，是无源场中单色扰动复振幅应满足的方程。)2exp()(Re),(tQUtQu)()()(QjeQaQU若在S内和S上，U（P）和G（P）均单值连续，并且具有单值连续的一阶导数和二阶偏导数，则有SdGUUGdVGUUGSV)()(22SV其中dSnSdn—是ds上的指向S外的单位矢量SdUdSnUdSnUSdGdSnGdSnG这一关系称为格林定理2、格林（Green）定理SdGUUGdVGUUGSV)()(22SVSdUdSnUdSnUSdGdSnGdSnGn式中是外法向导数。利用上式，格林定理可写为dSnGUnUGdVGUUGSV)()(22上式是标量衍射理论的主要基础，但是，只有合适地选取格林函G和封闭曲面后，才能将理论直接应用到衍射问题上来。3、亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理基尔霍夫衍射理论建立在一个积分定理的基础上，此积分定理把齐次波动方程在任一点的解，用包围这一点的任意封闭面上方程的解及其一阶微商之值表示。如图，令观察点为P0，S为包围P0点的任一封闭曲面。我们的问题是要用封闭面上的波动的值来表示P0点的振动值。为此，需对格林公式进行简化。})(Re{),(tjePUtPu})(Re{),(tjePGtPg设0)()(22PUkPU0)()(22PGkPGSV0P0)()(22PUkPU0)()(22PGkPG022UGkUG022UGkGU上面两相减得022GUUGdSnGUnUGdVGUUGSV)()(22代入下式0)(dSnGUnUGS上式是同频率的两个光振动在无源点上必须满足的关系式。SV0P格林函数的选择选格林函数为由P0点向外发散的球面波，于是曲面S上任一点P1处的格林函数为)(1PG0101rejkrSV0P01r1PS这样选取格林函数，P0点就成了有源点，此时，G在P0点处出现不连续的情况，而格林定理是要求G在体积V内必须是连续的。因此，为了排除在P0点函数的不连续性，我们以P0为球心，作一半径为的小球面S，格林定理中的积分体积为介于S和S之间的空间,而积分面则是复合曲面S+S0)(dSnGUnUGS由得n0)()()(dSnGUnUGdSnGUnUGdSnGUnUGSSSSV0P01r1PS)(1PG0101rejkr对式求导),cos(0101rnrGnG),cos()1(01010101rnrerjkjkr对S面有01r1),cos(01rnjkePG)(1因此有nGjkejk)1(因为U及其法向导数在P0点连续，所以当0，U和nUnn都可以用P0点的U（P）值和0PnU值代替，即对于确定的P0点，它们都是常量。同时24S001PP200041)()(0limlimPjkjkSejkPUnUedSnGUnUGSV0P01r1PS)(40PU0)()(dSnGUnUGdSnGUnUGSS由下式dSnGUnUGS)(41)(0PUdSrenUnUreSjkrjkr0101010141上式称为亥姆霍兹-基尔霍夫积分定理n)(0PUdSrenUnUreSjkrjkr0101010141上式的物理意义是：衍射场中任意点P0的复振幅U（P0）可用包围P0点的任意封闭曲面S上各点的波动边值U和nU通过积分求得。这一定理在标量衍射理论中起着重要的作用。4、平面衍射屏基尔霍夫衍射公式D如图，在无限大不透明屏D上有一任意形状开孔单色平面光波从左面投射到D上和开孔上，试计算衍射屏后面任一点P0的光场的复振幅。为了求出P0点的复振幅，需选择一个合适的积分面。我们选如图两个部分：一部分以P0为中心，R为半径的球面S2；另一部分是紧靠屏后的平面S1，整个封闭面是S1+S22S1SnD)(0PUR0PdSnGUnUGS)(41dSnGUnUGS1)(41dSnGUnUGS2)(41在S2面上ReGjkR可见，随着R的增大，G趋于零。同时，U也因为远离光源区域而无限减小。但是积分面积却按R2增大。因而上式中第二项积分在R无限增大时是否为零，还需作进一步的分析。2S1SnDR0P进一步分析表明，只要对S2面各点都满足下式0)(limjkUnURR0)(412dSnGUnUGS在上式条件下，可得P0点的复振幅为索末菲辐射条件)(0PUdSnGUnUGS1)(41基尔霍夫边界条件的两个假设（1）在开孔上的场分布与没有屏时相同（2）在S1上，除了以外，其它各点的场分布U与nU恒为零。显然，这两条假说是不严格的。首先，屏幕的存在必然会在一定的程度上干扰屏上的场，其次屏上的场总是要扩展到屏后几个波长的距离。但在孔的线度比波长大得多、且观察点离孔径较远时，利用上述边界条件得出的结果与实验符合得很好。在基尔霍夫边界条件的两个假设下，屏上的复振幅完全由照明光波决定，进而，衍射场中任一点P0的复振幅U（P0）完全由屏上各点的U和nU决定。这样P0点的复振幅进一步简化为)(0PUdSnGUnUG)(41上式称为基尔霍夫衍射公式屏上的光场与照明光源有关，下面讨论单色点光源照明开孔时的衍射规律。n0P01r21r2P1P如图P2为照明光源，P1为屏上一点上光振动与方向导数为)(1PU2121rAejkrnPU)(1),cos()1(21212121rnrAerjkjkr上格林函数与方向导数为)(1PG0101rejkrnPG)(1),cos()1(01010101rnrAerjkjkr将上两式代入基尔霍夫衍射公式)(0PUdSnGUnUG)(41krr01211,1注意)(0PUdSrnrnrrejArrjk2),cos(),cos(21012101)(1201dSrnrePUjjkr21),cos()(10101101若对照明光源取近轴近似，即1),cos(21rn)(0PU推广：对于一般光源照明，上式也是成立的，这时U（P1）泛指屏上的复振幅。n0P01r21r2P1PSrekPUCQUjkrd)()()(0nQrP采用书上的符号，基尔霍夫衍射公式和惠更斯——菲涅耳原理的数学式可重写于下dSrnrePUjjkr21),cos()(10)(QU比较两式可得常数和倾斜因子分别为jC12cos12),cos(1)(rnK由基尔霍夫边界条件的两个假设可知，屏外的光场U0（P）为零，所以积分限可以扩展到无穷，从而有SrekPCUQUjkrd)()()(02.1.2惠更斯---菲涅耳原理与叠加积分SrekPUjQUjkrd)()(1)(0rekjQPhjkr)(1),(设SQPhPUd),()(0)(QdUdSQPhPUQdU),()()(0上式表示屏上P点处的小面元对观察点Q的贡献。1)(0dSPU单位振幅（脉冲）则),()(QPhQdUP点处的单位脉冲在Q点产生的复振幅分布),(QPh单位脉冲响应或点扩散函数令由上式叠加积分可得，观察点Q的复振幅是上所有面元的光振动在Q点引起的复振幅的相干叠加。注：如果把衍射过程看作是一种变换，则上式便是将函数U0（P）变换成U（Q）的变换式。按系统的观点，衍射过程或传播过程也可以看做为一种线性系统的线性变换。h(P,Q)代表了这个系统的全部特性。SQPhPUQUd),()()(02.1.3相干光场在自由空间传播的平移不变性当点光源P0足够远，而且入射光在孔径平面上各点的入射角都不太大时，有1)(K1),cos(0rn此外，如果观察平面在与孔径平面的距离Z远大于孔径，而且观察面上只考虑一个对孔上各点张角不大的范围，即在傍轴条件下，又有1),cos(rn此时zejQPhjkr1),(此时zejQPhjkr1),(0x0y0xy0QzzPr2020200)()(exp)1),;,(yyxxzjkjzyxyxh),(00yyxxh脉冲响应具有空不变形式即无论孔径平面上子波源的位置如何，所产生的球面子波的形式都是一样的。上式叠加式可以写为0000000dyd),(),(),(xyyxxhyxUyxU上式表明孔径平面上透射光场U（x0,y0)和观察平面上的光场U(x,y)之间存在着一个卷积积分所描述的