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•第六节合情推理与演绎推理•1．合情推理•(1)归纳推理•①定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的________对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出___________的推理，称为归纳推理(简称归纳)．•②特点：由_______到整体、由_______到一般的推理．全部一般结论部分个别•(2)类比推理•①定义：由两类对象具有某些____________和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．•②特点：类比推理是由特殊到________的推理．•(3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、______，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．类似特征特殊类比•2．演绎推理•(1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到_______的推理．•(2)“三段论”是演绎推理的一般模式：•①大前提——已知的一般原理；•②小前提——所研究的特殊情况；•③结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．特殊•1．归纳推理和类比推理的共同特点和区别是什么？•【提示】共同点：两种推理的结论都有待于证明．•不同点：归纳推理是由特殊到一般的推理，类比推理是由特殊到特殊的推理．•2．演绎推理所获得的结论一定可靠吗？•【提示】演绎推理是由一般性的命题推出特殊性命题的一种推理模式，是一种必然性推理．演绎推理的前提与结论之间有蕴含关系，因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但是错误的前提可能导致错误的结论．•1．(人教A版教材习题改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是()•A．3n－1B．4n－3•C．n2D．3n－1•【解析】a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.•【答案】C2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝(13)x是指数函数(小前提)，所以函数y＝(13)x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于()A．大前提错误导致结论错B．小前提错误导致结论错C．推理形式错误导致结论错D．大前提和小前提错误导致结论错•【解析】“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的，因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．•【答案】A•3．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．【解析】V1V2＝13S1h1∶(13S2h2)＝S1S2×h1h2＝1∶8.【答案】1∶84．(2012·陕西高考)观察下列不等式：1＋12232，1＋122＋13253，1＋122＋132＋14274，…，照此规律，第五个．．．不等式为________．【解析】观察每个不等式的特点，可知第n个不等式为1＋122＋132＋…＋1（n＋1）22n＋1n＋1，故第五个不等式为1＋122＋132＋142＋152＋162116.【答案】1＋122＋132＋142＋152＋162116•【审题视点】由fn(x)＝f[fn－1(x)]分别求f2(x)，f3(x)，然后观察f1(x)，f2(x)，f3(x)中等式的分子与分母，分母中常数项与x的系数相差为1，且常数项为2n.设函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，且f1(x)＝f(x)＝xx＋2，当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]，则f3(x)＝________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．【尝试解答】∵f1(x)＝xx＋2，fn(x)＝f[fn－1(x)](n≥2)，∴f2(x)＝f(xx＋2)＝xx＋2（xx＋2＋2）＝x3x＋4.f3(x)＝f[f2(x)]＝f(x3x＋4)＝x3x＋4（x3x＋4＋2）＝x7x＋8.由所求等式知，分子都是x，分母中常数项为2n，x的系数比常数项少1，为2n－1，故fn(x)＝x（2n－1）x＋2n.【答案】x7x＋8x（2n－1）x＋2n•1．解答本题的关键有两点：(1)利用函数定义，准确求出f2(x)，f3(x)；(2)发现各式中分母x的系数与常数项之间的关系．•2．归纳推理的一般步骤•(1)通过观察个别情况发现某些相同本质．•(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．已知经过计算和验证有下列正确的不等式：3＋17＜210，7.5＋12.5＜210，8＋2＋12－2＜210，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n都成立的条件不等式________．【解析】观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是210.因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m，n大于0，则当m＋n＝20时，有m＋n＜210.【答案】若正数m，n满足m＋n＝20时，有m＋n＜210•【思路点拨】将等差数列中的乘法、除法分别类比成等比数列中的乘方、开方．(2013·广州模拟)已知数列{an}为等差数列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，则am＋n＝nb－man－m.类比等差数列{an}的上述结论，对于等比数列{bn}(bn＞0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，则可以得到bm＋n＝________．【尝试解答】设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝nb－man－m，所以类比得bm＋n＝n－mdncm.【答案】n－mdncm•1．进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想．其中找到合适的类比对象是解题的关键．•2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维的类比；等差与等比数列类比；数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．在平面上，设ha、hb、hc是三角形ABC三条边上的高，P为三角形内任一点，P到相应三边的距离分别为Pa，Pb，Pc，我们可以得到结论：Paha＋Pbhb＋Pchc＝1.把它类比到空间，写出三棱锥中的类似结论．【解】设ha，hb，hc，hd分别是三棱锥A—BCD四个面上的高，P为三棱锥A—BCD内任一点，P到相应四个面的距离分别为Pa，Pb，Pc，Pd.于是我们可以得到结论：Paha＋Pbhb＋Pchc＋Pdhd＝1.•(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：•①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；•②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；•③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；•④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；•⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.•(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；•(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．【思路点拨】从特殊②计算结果为34，观察每个三角函数式中三角函数名称与角的变化规律，归纳出一般性结论；然后利用演绎推理进行证明．【尝试解答】(1)选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1－12sin30°＝34.(2)归纳三角恒等式sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos（60°－2α）2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.•1．本题求解的关键有两点：(1)从特殊②式计算三角函数式的值；(2)发现三角函数中各个角之间的关系．•2．题目着重考查归纳推理与演绎推理，通过观察个别情况发现某些相同的特征，抽象概括一般性结论；充分利用两角和与差的三角公式进行演绎推理，体现一般与特殊、化归转化的数学思想．已知函数f(x)＝lnx－ax2＋(2－a)x.(1)求函数f(x)的单调增区间；(2)设a＞0，证明：当0＜x＜1a时，f(1a＋x)＞f(1a－x)．【解】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－2ax＋(2－a)＝－（2x＋1）（ax－1）x.①若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．②若a＞0，则由f′(x)＝0，得x＝1a.又当x∈(0，1a)时，f′(x)＞0；当x＞1a时，f′(x)＜0.∴f(x)在区间(0，1a)上是增函数，故当a≤0时，f(x)增区间为(0，＋∞)；当a＞0时，f(x)的单调增区间为(0，1a)．(2)证明设函数g(x)＝f(1a＋x)－f(1a－x)．则g(x)＝ln(1＋ax)－ln(1－ax)－2ax，g′(x)＝a1＋ax＋a1－ax－2a＝2a3x21－a2x2.当0＜x＜1a时，g′(x)＞0，又g(0)＝0，所以g(x)＞0.故当0＜x＜1a时，f(1a＋x)＞f(1a－x)．•演绎推理的一般模式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提．如果大前提与推理形式是正确的，结论必定是正确的．如果大前提错误，尽管推理形式是正确的，所得结论也是错误的．•1.在进行类比推理时要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类比，那么就会犯机械类比的错误．•2．合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．•3．演绎推理是由一般到特殊的推理，它常用来证明和推理数学问题，注意推理过程的严密性，书写格式的规范性．•归纳推理、类比推理、演绎推理等问题是高考的热点，归纳、类比推理大多数出现在填空题中，为中、低档题．演绎推理大多数出现在解答题中，为中、高档题目．在知识的交汇点处命题，背景新颖的创新问题，常考常新，值得重视．•创新探究之十与归纳推理有关的创新题•(2012·湖北高考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上画点或用小石子表示数．他们研究过如图6－6－1所示的三角形数：•将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，将可被5整除的三角形数按从小到大的顺序组成一个新数列{bn}，可以推测：•(1)b2012是数列{an}中的第________项；•(2)b2k－1＝________．(用k表示)【解析】(1)由图可知an＋1＝an＋(n＋1)(n∈N*)．所以a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n.累加得an－a1＝2＋3＋…＋n，即an＝1＋2＋3＋…＋n＝n（1＋n）2.当n＝4，5，9，10，14，15，19，20，24，25，…时，an能被5整除，则b2＝a5，b4＝a10，b6＝a15，b8＝a20，…，所以b2k＝a5k(k∈N*)．所以b2012＝a5×1006＝a5030.(2)由(1)可知b2k－1＝a5k－1＝12×5k(5k－1)＝5k（5k－1）2.【答案】(1)5030(2)5k（5k－1）2•创新点拨：(1)将几何直观(三角形数)，子数列和归纳推理交汇，背景新颖．•(2)由归纳推理得到一般结论，再根据一般规律解决具体问题．•应对措施：(1)根据三角形数，寻找an与an＋1的关系，可尝试从简单情形入手进行归纳猜想，叠加求出an，这是本题求解的关键．•(2)寻找bk与an关系，从数列前若干项寻找，探求条件中包含的规律，从而使问题得到解决．•1．(2012·江西高考)观察