流体力学教案第4章流体动力学基本方程

1第四章流体动力学基本方程§4—1实际流体中的应力与变形速度一、实际流体中的应力在理想流体中，由于没有摩擦力，故表面力只有压力。对于粘性流体，除法向应力外，还有切向应力(摩擦力)，则每一作用面上的表面力的合力不再垂直于作用面，而与作用面成一夹角。下面我们研究流场中A点中的应力状况。通过A点作一微元直六面体的流体微团，(图中只画了三个可见面的应力)，当dx，dy，dz趋于零时，这九个应力分量描述了A点的应力状态。中第一个角标表示应力所在平面的法线方向，第二角标表示应力本身方向。下面证明切应力相关性：现在对平行六面体的中心M并与z轴平行的轴取矩(力矩“－”，“+”)，则只有“前后左右”四个面的力对此轴有矩，而质量力和惯性力本身就是三阶无穷小量，而产生的力矩则是四阶无穷小量，故忽略不计，则力矩平衡方程如下：02ddd)d(2ddd2ddd)d(2dddxzyxzyyzxyzxxyxyxyyxyxyx由转动定律，合力矩=转动惯量×角加速展开，则：0ddddddd2dddddddzyxzyxyzxzyxxyxyyxyx0xyyxyxxy同理，zyyzzxxz，则九个应力只有六个是独立的。二、应力和变形速度之间的关系xyzdxAM(x,y,z)yxyzyzxxxydzdyzxzzydyyxzdxMyxyx+dyxxy+dxyxy2现在推导应力和变形速度之间的关系：二维运动情况：yxfu,；若yfu，则为一维流动。对一维运动，仅有x方向速度u，υ=0，其角度变形速度为：tyuyutytudddddddddddtgdd而则在二维运动情况下，先考虑xy平面，若不考虑伸缩变形(即线变形)，即认为0yxu(实际并不等于0，否则与后面矛盾)有：yuxtttdddddd∵dddddtgdtxxtxx∴xtdd同理：yutdd假定在各个方向均为同一数值(为各向同性)，根据牛顿内摩擦定律tdd有：xydyyxdudxddxxyυyyuudyydxxdxxuudxydydudtuu+dud3zxzxxzyzzyyzxyyxxyxwzzywyux222这就是广义牛顿内摩擦定律。广义牛顿内摩擦定律：即切向应力等于动力粘度与角变形速度的乘积。三、法向应力和线变形速度之间的关系粘性流体的法向应力=理想流体的压力+粘性引起的应力则：xxxxxpp，yyyyypp，zzzzzpp。由于p与σ反向，故p前加“－”号。又类似于虎克定律有：zwkykxukzzyyxx,,(其中，同名偏导数相当于应变，k相当于弹性模量)，经复杂推导：k=2所以：zwppyppxuppzzzyyyxxx222三式相加，则：)(23zwyxupzyx)(31zyxp即：zyx、、三个法向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。4§4—2实际流体中的运动微分方程在流场中取一平行六面体的流体微团，由牛顿第二定律得amF，在x方向则有tumFxdd，则：tuzyxzyxfzyxzyxzyxfxzyxxzyxzxyxzyxxzyFxzxyxxxyxyxyxzxzxzxxxxxddddddddddd)(ddddd)d(dddd)d(dddd)d(dd化简为：)(1ddzyxftuzxyxxx将)()(2xwzuyuxxupzxyxx代入上式，则：xyzdx(x,y,z)fzdzdyfyfxzxxyzzxzxzxdxxxxdyxyxyxd5uvxpfzuyuxuvxpfzwyxuxzuyuxuxpfzxwzuyuyxxuxpfxwzuzyuxyxupxftuxxxxx2222222222222222222221)(1)()(1]2[1)]([)]([)2(1ddwvzpftwvypftuvxpftuzyx2221dd1dd:1dd:同理故有上式即为纳维尔—斯托克斯方程，写成矢量形式为：VvpftV21dd。讨论：(1)以上三式(即N-S方程)加连续方程0zwyxu联立，成一封闭方程组。原则上可解pwu，，，四个未知数。但实际上流动现象很复杂，而tVdd又是非线性的，所以，对大部分问题，N-S方程的求解，在数学上是很困难的，据有关书籍介绍，到目前为止，精确解(分析解)仅有一二十个。(2)应用条件：不可压流体，且=常数。(3)对理想流体有：=0，则N-S方程变成欧拉方程，所以N-S方程是不可压流体的普遍运动微分方程。(4)由于在推导N-S方程中便用了牛顿内摩擦定律，所以有人认为N-S方程仅适用于层流，但也有人认为，如美籍华人陈景仁教授就认为N-S方程也适用于紊流。(5)N-S方程中的压力)(31zzyyxxpppp为任意三个互相垂直法向应力的算术平均值。6(6)物理意义：单位流量流体的惯性力=单位数量流体的质量力、压力、粘性力之和，指向作用面的内法线方向。7§4－3理想流体的运动微分方程在流动的流体中，取出一边长为dx、dy、dz的平行六面流体微团(系统)，平均密度为ρ。由于是理想流体，故作用在流体微团上的外力只有压力(只写出了x方向)和质量力。由牛顿第二定律amF＝,在x方向有：zpftwypftxpftutuzyxzyxfzyxxptuzyxzyxfyzxxppyzxxppzyxxx1dd1dd1ddddddddddddddddddddddd)2d(dd)2d(＝　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　＝同理：＝－上式即为理想流体的欧拉运动微分方程。写成矢量形式即为：)(1)(grad1ddkzpjypixpkfjfifpftVzyx　其中f为单位质量流体的质量力。又由于：]),(),(),([ttztytxuu]),(),(),([ttztytxfxxyzpdzdxdytuddzyxxppdd2dzyxxppdd2dfyfz8]),(),(),([ttztytxww这里的x，y，z是流体微团的坐标，显然是t的函数，把全导数展开有：tzzudtyyutxxututudddddddtzztyytxxttvddddddddtzzwtyywtxxwtwtwdddddddd又因为utxdd，tydd，wtzdd，所以有：xpfzuwyuxuutux1①ypfzwyxuty1②zpfzwwywxwutwz1③很显然，若流体处于静止状态，即u＝υ＝w=0。则欧拉运动微分方程变成欧拉平衡微分方程，即：01xpfx01ypfy01zpfz欧拉运动微分方程的另一形式是兰姆运动微分方程，将①式左边xwwx，则有：9)(2)2(22)2()()()(dd2222zyyzwVxtuwwuxtuxwzuwxyuxwwxxuututu　　　　同理：将②式左边yuuyww③式左边zzuu则有：)(2)2(dd2xzwuVytt)(2)2(dd2yxuVztwtw代入欧拉方程，得：xpVxfwtuxzy1)2()(22ypVyfwutvyxz1)2()(22zpVzfutwzyx1)2()(22此方程称为兰姆运动微分方程。与欧拉方程比较，兰姆运动微分方程由于含有zyx,,，更容易看出流动特性，若0zyx，则流动无旋，若有其中一项不等于零，流动有旋。10§4－4理想流体的伯努利方程由于欧拉方程是非线性方程，所以对它的积分目前在数学上还存在着困难。现在仅对几种特殊的流动情况可以进行积分。最常见的有两种：①定常流动的伯努利积分②定常无旋流动的欧拉积分两个积分的前提条件是：(1)定常流，即0twttu和0t(2)质量力有势，即满足：zfyfxfzyx　　　　　　　(3)正压性流体，即流体的密度只与压力有关(或不可压流体)即：)()(ppf这时存在一个压力函数),,,(tzyxpF定义为：)(ddppppFF由于zzpyypxxppFFFFdddd)ddd(1)(dzzpyypxxppp故有：zpzpypypxpxpFFF1,1,1　　　　对不可压流体const则有：pppPF)(d(1)对等温流动的可压缩流体，由RTp则0RTp11则pRTRTpppppFlnd)(d00(2)绝热流动的可压缩流体由kkCpCp11则　则pPCCPppppkkFd1d)(d11pkkkkppCkpCkk111111111而对不可压流体const则ppFd将0twttuzfyfxfzyx　　　　　　,,以及，zpzpypypxpxpFFF111　　　　　　代入兰姆运动微分方程，则变成zyFwVpx2)2(2xzFwuVpy2)2(2yxFuVpz2)2(2下面分别研究方程组在有旋、无旋流动中的积分。一、欧拉积分条件：定常无旋流12对无旋流，即0，则有：0)2(2VpxF0)2(2VpyF0)2(2VpzF再将上式分别乘以流场中任意微元线段ds的三个分量dx,dy,dz，相加，再积分，则得：欧拉积分式：常数22VpF欧拉积分式的物理意义为：对可压或不可压的理想流体，满足正压性，在有势的力作用下作定常无旋流动时，在流场中任一点单位质量流体的位势能π，压力势能pF和动能22V之和为常数。二、伯努利积分：(有旋流动)条件：沿流线。将三式两边分别乘以流线上任一微分方程ds的三个分量dx,dy,dz得：xwxVpxzyFd2d)2(2ywuyVpyxzFd2d)2(2zuzVpzyxF