1-1-2排列与逆序,行列式的定义

2020/2/21线性代数教学课件1第一章行列式一.二（三）阶行列式二.排列与逆序三.n阶行列式的定义四.行列式的性质五.行列式按行（列）展开六.Cramer法则行列式概念的形成行列式的基本性质及计算方法（定义）利用行列式求解线性方程组本章安排2020/2/21线性代数教学课件2本章主要讨论以上三个问题。首先来看行列式概念的形成问题的提出：分析二、三元线性方程组求解过程二阶、三阶行列式的概念引出2020/2/21线性代数教学课件3第一节二阶与三阶行列式1.二阶行列式二元线性方程组：22221211212111bxaxabxaxa由消元法，得21122211121112112211212111baxaaxaaabxaaxaa得211211221122211)(abbaxaaaa同理，得212221121122211)(baabxaaaa于是，当021122211aaaa时，方程组有唯一解2020/2/21线性代数教学课件4211222112122211aaaabaabx211222112112112aaaaabbax为便于记忆，采用记号22211211aaaaD21122211aaaa称22211211aaaaD为二阶行列式其中，数)2,1;2,1(jiaij称为二阶行列式元素为行标，表明元素位于第行ii为列标，表明元素位于第列jj2020/2/21线性代数教学课件5注：(1)二阶行列式算出来是一个数。22211211aaaa(2)运算方法：对角线法则主对角线上元素之积－副对角线上元素之积因此，上述二元线性方程组的解可表示为211222112122211aaaabaabx2221211ababD211222112112112aaaaabbax2211111babaD2020/2/21线性代数教学课件6综上，令22211211aaaaD2221211ababD2211112babaD则，DDx11DDx22称D为方程组的系数行列式。2020/2/21线性代数教学课件7例1：解方程组1212232121xxxx解：因为1223D07)4(314)2(12112121D21243121232D所以,271411DDx372122DDx2020/2/21线性代数教学课件82.三阶行列式类似地，为讨论三元线性方程组333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa记333231232221131211aaaaaaaaaD322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa称为三阶行列式其中，数)3,2,1;3,2,1(jiaij称为元素为行标，i为列标。j2020/2/21线性代数教学课件9注：(1)三阶行列式算出来也是一个数。(2)运算方法：对角线法则例：38114110241648248)1(2310)1()4(1811)1()1(03)4(22020/2/21线性代数教学课件10对于三元线性方程组，若其系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD0可以验证，方程组有唯一解:DDx11DDx22DDx33其中:3332323222131211aabaabaabD3333123221131112abaabaabaD3323122221112113baabaabaaD2020/2/21线性代数教学课件11第二节n阶行列式的的定义定义1：由自然数1，2，······，n组成的一个有序数组称为一个n级排列。例如：123455432151234421355321453124都是数1，2，3，4，5的排列。回忆：n个数的不同排列共有个。n!自然排列：按数的大小次序，由小到大排列：思考：n级排列中，自然排列只有一种除此之外，任一n级排列都一定出现较大数码排在较小数码之前的情况。12345...n一、排列2020/2/21线性代数教学课件12定义21）在一个排列中，若某个较大的数排在某个较小的数前面，就称这两个数构成一个逆序。2）一个排列中出现的逆序的总数称为这个排列的奇排列：逆序数为奇数的排列。偶排列：逆序数为偶数的排列。),,,(21niii通常记为逆序数，定义32020/2/21线性代数教学课件13计算排列的逆序数的方法：法1：n个数的任一n级排列，先看数1，看有多少个比1大的数排在1前面，记为;1m再看有多少个比2大的数排在2前面，记为;2m继续下去，最后至数n，前面比n大的数显然没有，;0nm记为则此排列的逆序数为nmmm21421352114()5431233219()例1是偶排列。是奇排列。2020/2/21线性代数教学课件14法2：n级排列niii,,,21的逆序数),,,(21niii小的数的个数后面比数11ii小的数的个数后面比数22ii小的数的个数后面比数11nnii法3：),,,(21niii大的数的个数前面比数nnii大的数的个数前面比数11nnii大的数的个数前面比数22ii2020/2/21线性代数教学课件15例2：求排列3，2，5，1，4的逆序数。解：（法1）,31m,12m,03m,14m05m5113)32514(（法2）500212)32514(后前（法3）前后501031)32514(例3：求排列4，5，3，1，6，2的逆序数。92020/2/21线性代数教学课件16考虑，在1，2，3的全排列中有个偶排列：有个奇排列：123，231，312132，213，32133一般说来，在n个数码的全排列中，奇偶排列各占一半定义4：把一个排列中的任意两个数交换位置，其余数码不动，叫做对该排列作一次对换，简称对换。将相邻的两个数对换，称为相邻对换。2020/2/21线性代数教学课件17定理1：对换改变排列的奇偶性。证明思路：先证相邻两数的对换，再证一般对换。定理2：2n时，n个数的所有排列中，奇偶排列各占一半，各为2!n个。证明：设n个数的排列中，奇排列有p个，偶排列有q个，则p＋q＝n！对p个奇排列，施行同一对换，则由定理1得到p个偶排列。（而且是p个不同的偶排列）因为总共有q个偶排列，所以qp同理pq所以2!nqp2020/2/21线性代数教学课件18二.3阶行列式的规律观察三阶行列式333231232221131211aaaaaaaaaD322311332112312213322113312312332211aaaaaaaaaaaaaaaaaa寻找规律：1.三阶行列式是3！项的代数和。2.每一项都是取自不同行、不同列的3个元素的乘积。3.（每项的符号规律）其任一项可写成：321321jjjaaa其中321jjj是123的一个排列当321jjj是偶排列时，项321321jjjaaa取正号当321jjj是奇排列时，项321321jjjaaa取负号2020/2/21线性代数教学课件19根据二、三阶行列式的构造规律，我们来定义n阶行列式定义5：n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaa212222111211指的是n！项的代数和，其中每一项都是取自不同行、不同列的n个元素的乘积，其一般项为,2121nnjjjaaa这里njjj21是12···n的一个排列当是偶排列时，项前面带正号njjj21当是奇排列时，项前面带负号njjj21三.n阶行列式的定义2020/2/21线性代数教学课件20即nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(其中njjj21表示对所有n元排列取和注：(1)当n=1时，一阶行列式aa此处a不是a的绝对值，例如行列式11(2)定义表明，计算n阶行列式，首先必须作出所有的可能的位于不同行、不同列的n个元素的乘积，把这些乘积的元素的第一个下标（行标）按自然顺序排列，然后看第二个下标（列标）所成的奇偶性来决定这一项的符号。2020/2/21线性代数教学课件21例4写出四阶行列式中含有因子2311aa的项。例5若443312432211432213,,kikikiaaaaaaaaaaaa为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。例7计算四阶行列式hgfedcbaD00000000例6计算行列式0004003002001000D2020/2/21线性代数教学课件22四个特殊行列式(1)上三角形行列式（主对角线下侧元素都为0）nnnnaaaaaaD00022211211nnaaa2211(2)下三角形行列式（主对角线上侧元素都为0）nnaaa2211nnnnaaaaaaD212221110002020/2/21线性代数教学课件23(3)nnaaaD2211nnaaa2211（显然）(4)11,21nnnaaaD11,212)1()1(nnnnnaaa2020/2/21线性代数教学课件24定理3nnjijijiaaa2211在行列式中的符号等于)()(2121)1(nnjjjiii证明：由行列式定义可知，确定项)1(2211nnjijijiaaa的符号，需要把各元素的次序进行调动，使其行标成自然排列。为此，我们先来研究若交换项（1）中某两个元素的位置时，其行标和列标排列的奇偶性如何变化。对换任意两元素，相当于项（1）的元素行标排列及列标排列同时经过一次对换。2020/2/21线性代数教学课件25设对换前行标排列的逆序数为s，列标排列的逆序数为t。设经过一次对换后行标排列的逆序数为s列标排列的逆序数为t由定理，对换改变排列的奇偶性所以，ss是奇数tt也是奇数所以)()(ttss是偶数，即)()(tsts是偶数，所以ts与ts同时为奇数或同时为偶数。即，交换项（1）中任意两个元素的位置后，其行标和列标所构成的排列的逆序数之和的奇偶性不变。2020/2/21线性代数教学课件26另一方面，经过若干次对换项（1）中元素的次序，总可以把项（1）变为,2121nnkkkaaa所以tsts)1()1()()12(21)1(nkkkn)(21)1(nkkk得证。2020/2/21线性代数教学课件27由此，得行列式的等价定义nnnnnnaaaaaaaaa212222111211nnnjjjnjjjjjjaaa21212121)()1(nnnnnniiijjjjijijijjjiiiaaa212122112121)()()1(nnniiiniiiiiiaaa21212121)()1(2020/2/21线性代数教学课件28作业习题一：1；4（1）（2）（4）；7（1）