中级微观经济学第四讲

第四讲、间接效用函数与支出最小化西南财经大学经济学院袁正2121)(xxxxU这是直接效用函数..tsIxpxp22112121)(maxxxxxU)(221121IxpxpxxL02112122111pxxxL02122112122pxxxL02211xpxpIL2112ppxx112pIx222pIx代入初始的直接效用函数：212121211222)(),(ppIpIpIxxxxUIPV这就是间接效用函数请验证罗伊恒等式马歇尔需求函数IIpVpIpVIpxii),(),(),(IIpVpIpVIpx),(),(),(112112),(ppIIPV121221123121211221)21(2),(),(),(pIppppIIIpVpIpVIpx消费者最优的两种思路相同支出下，追求效用最大化。相同效用下，追求支出最小化。这是同一个问题的两种思路，其实质是一样的，经济学称为对偶性。支出最小化MinE(P,U)S.t.U(x1,x1)=u0等边际原则预算线与无差异曲线相切希克斯需求价格给定，为了满足一定的效用水平，使支出最小化，这时的商品需求量，叫希克斯需求。),(UPxhi2211),(minxpxpUPEs.t.02121),(uxxxxU举例：求希克斯需求函数，支出函数构建拉格朗日函数：)(0212211uxxxpxpL02121121211xxpxL02121221122xxpxL02122110xxuL2112ppxx212101)(ppux211202)(ppux这就是希克斯需求函数xh(P,U)2211),(xpxpUPE代入支出函数：211220212110)()(pppupppu2102),(ppuUPE这就是支出函数马歇尔需求函数与希克斯需求函数的区别希克斯需求函数xh(P,U)),(Ipxxii马歇尔需求函数谢泼德引理(shephard’slemma)),(),(UPxpUPEhii请验证谢泼德引理2102),(ppuUPE2211011212),(),(ppupUPEUPxh21210)(ppuhx2验证谢泼德引理x…quantityofxdemandedrises.马歇尔DemandCurveQuantityofyQuantityofxQuantityofxpxx’’px’’U2x2I=px’’+pyx’px’U1x1I=px’+pyx’’’px’’’x3U3I=px’’’+pyAsthepriceofxfalls...),(Ipfxi效用比较xc…quantitydemandedrises.希克斯DemandCurvesQuantityofyQuantityofxQuantityofxpxU2x’’px’’x’’yxppslope''x’px’yxppslope'x’x’’’px’’’yxppslope'''x’’’Holdingutilityconstant,aspricefalls...xh(P,U)效用最大化和支出最小化是对偶问题..tsIxpxp22112121)(maxxxxxU112pIx222pIx212121211222)(),(ppIpIpIxxxxUIPV支出最小化2211minxpxp..ts2121)(xxxxU2112ppI112pIxh222pIxhIUPE),(效用最大化和支出最小化一个侧重于相同的支出，获得最大的效用一个侧重于相同的效用，获得最小的支出是等价的两个问题Quantityofx1QuantityofX2U(X*)=V(P,y)BX1*X2*y=e(P,U(X*))消费者收入为y,x*=(x1*,x2*)为效用最大化的解，那么当效用水平为U(x*)时，x*也是支出最小化的解，而且最小支出正好为y下列几个等式成立)),(,(*))(,(),(111yPVPxxuPxyPxhh)),(,(*))(,(yPVPexuPey)),(,(*))(,(),(222yPVPxxuPxyPxhhQuantityofx1QuantityofX2U=V(P,p1x1*+p2x2*)BX1*X2*e(P,U)=p1x1*+p2x2*=y当效用为U时，X*=(x1*,x2*)是支出最小化的解，当收入为p1x1*+p2x2*时，X*也是效用最大化的解，而且，此时的效用水平正好为U)),(,(),(),(1*22*1111uPePxxpxpPxuPxh下列等式成立)),(,(),(),(2*22*1122uPePxxpxpPxuPxh)),(,(),(*22*11uPePVxpxpPVu价格变化的总效应QuantityofxQuantityofyU1ASupposetheconsumerismaximizingutilityatpointA.U2BIfthepriceofgoodxfalls,theconsumerwillmaximizeutilityatpointB.Totalincreaseinx马歇尔需求曲线上的两个点替代效应和收入效应一种商品价格的变化会引起该商品需求量变化,这种变化可以分解为替代效应和收入效应一种商品价格的变化，对消费者会产生两种影响：使商品的相对价格发生变化，进而影响消费者的商品消费量(替代效应）。使消费者的实际收入发生变化，进而影响商品的消费量（收入效应）。C),,(2011uppxh),,(2'11uppxhU1QuantityofxQuantityofyAOnthesameutilitycurve替代效应Substitutioneffect（在效用保持不变，相对价格的变化对需求量的影响。）C),,(2011uppxh),,(2'11uppxhU1QuantityofxQuantityofyA),,(2'1'1uppx收入效应Incomeeffect（实际收入改变，对需求量的影响）C),,(2011uppxh),,(2'11uppxhU1QuantityofxQuantityofyA),,(2'1'1uppxDACD总效应：马歇尔需求曲线替代效应：希克斯需求曲线收入效应价格变化对需求量变化的影响111111peexpxpxh111111peexpxpxhiipxx1h(p1,p2,U)=x1[p1,p2,e(p1,p2,U)]constant1111effectonsubstitutiUhpxpx1111effectincomepyxpEExy11xpyyxxpxpxpxU11constant111111effectincomeeffectonsubstituti这就是斯勒茨基方程替代效应总是反向希克斯需求曲线的斜率总是为负。正常物品，x/y0收入效应为反向低档物品，x/y0收入效应为同向yxxpxpxU11constant1111正常物品替代效应收入效应总效应反向反向反向P下降，需求量上升P上升，需求量下降低档物品替代效应收入效应总效应反向同向反向替代效应大于收入效应，总效应为反向P下降，需求量上升P上升，需求量下降吉芬物品替代效应收入效应总效应反向同向同向收入效应大于替代效应，总效应为同向P下降，需求量下降P上升，需求量上升吉芬物品违背需求定理的物品，即随着价格的上升，需要量反而增加，随着价格的下降，需求量减少。斯勒茨基替代效应希克斯替代效应：假设效用不变斯勒茨基替代效应：假设购买力不变。研究的方法：把价格变化的效应分成两个部分，分两步走第一步：购买力不变，相对价格发生变化，表现为预算线转动，得到单纯的替代效应第二步：相对价格不变，购买力变动，表现为预算线平移，得到单纯的收入效应价格变化导致需求量的变化X1价格降低，预算线外转x2x1x2’x1’x1’’’PureSubstitutionEffectx2x1x2’x1’x1’’怎么看出购买力没有发生变化？原需求束（x1’,x2’)仍然处在转动后的预算线上思考：转动后的预算线所代表的收入相对于最初的收入有何变化？替代效应购买力不变，相对价格发生变化，表现为预算线转动,围绕初始选择点转动m=p1x1+p2x2m’=p1’x1+p2x2m’-m=(p1’-p1)x1△m=△p1x1P1下降，收入也下降商品价格下降时，消费者的购买力就会提高，要保持购买力不变，就必须减少消费者的收入),(),(:11''111mpxmpxxs替代效应AndNowTheIncomeEffect(x1’’’,x2’’’)x2x1x2’x2’’x1’x1’’x1’’’(p1’,p2)保持不变,收入从m’增加到m),(),(:''11'111mpxmpxxn收入效应需求的总变动（TheOverallChangeinDemand）总效应＝替代效应＋收入效应),(),(:11'111mpxmpxx总效应nsxx11)],(),([11''11mpxmpx)],(),([''11'11mpxmpx显示偏好（RevealedPreference）由预算约束和消费者偏好得出消费者需求反过来,利用消费者需求信息得出消费者的偏好偏好不容易观察到人们的购买行为容易观察到观察人们的行为来得出他们的偏好,要假设其购买时偏好没变显示偏好的概念严格凸的无差异曲线，对应每条预算线，有且只有一个需求束（x1,x2)(X1,X2)(Y1,Y2)消费者选择了(X1,X2)消费者能够选择(Y1,Y2)，但没有选择之．p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2(X1,X2)被直接显示偏好于(Y1,Y2)预算足以选择(Y1,Y2)，结果选择了(X1,X2)直接显示偏好显示偏好原理人们总是选择满足预算的最好的东西消费者选择了(X1,X2)在同样的预算下，消费者能够选择(Y1,Y2)，但没有选择之，即p1x1+p2x2≥p1y1+p2y2则(X1,X2)(Y1,Y2)图形上，另一个消费束在所选择的点的预算线的下边。p间接显示偏好X直接显示偏好于YY直接显示偏好于ZX间接显示偏好于Zx2x1xyzx2x1xyzX直接显示偏好于ZX间接显示偏好于Z消费者选择的是他能够购买的最好的东西他有能力购买却没有购买的东西比被购买的东西要差显示偏好弱公理如果(X1,X2)被直接显示偏好于(Y1,Y2),且(X1,X2)与(Y1,Y2)不同,那么(Y1,Y2)就不可能直接显示偏好于(X1,X2)以(p1,p2)购买(X1,X2),以(q1,q2)购买(Y1,Y2)只要p1X1+p2X2≥p1Y1+p2Y2就不可能有q1Y1+q2Y2≥q1X1+q2x2如果选择消费束X时,有能力购买Y,那么在选择Y时,就无力购买Xx2x1xy同时选择了X,Y,则违反显示偏好弱公理作业推导斯勒茨基方程，并分解价格变化对需求量变化的影响效用函数为U=LNX1+LNX2,,，求希克斯需求函数，支出函数，验证谢泼德引理。比较希克斯替代效应和斯勒茨基替代效应的区别，图示之