2017年初中数学竞赛辅导综合试题及答案

12017年初中数学竞赛辅导综合试题一、选择题1、已知三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,bx2+cx+a=0,cx2+ax+b=0恰有一个公共根，则abccabbca222的值为（）A、0B、1C、2D、32、设a,b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是324，则abba22的值为（）A、2B、0C、-2D、-13、正实数a1,a2,….，a2011满足a1+a2+…..+a2011=1,设P=13.....1313201121aaa，则（）A、p2012B、p=2012C、p2012D、p与2012的大小关系不确定4、如图，一次函数y=ax+b的图象与x轴、y轴交于A、B两点，与反比例函数xky的图象相交于C、D两点，分别过C、D两点作y轴，x轴的垂线，垂足为E、F，连接CF、DE，有下列结论：①△CEF与△DEF的面积相等；②EF∥CD；③△DCE≌△CDF；④AC=BD；⑤△CEF的面积等于2k，其中正确的个数有（）A、2B、3C、4D、55、如图，正方形ABCE的边长为1，点M、N分别在BC、CD上，且△CMN的周长为2，则△MAN的面积的最小值为（）A、12B、222C、22D、122二、填空题（每题5分，共25分）6、已知实数x，y满足2011)2011)(2011(22yyxx，则3x2-2y2+3x-3y-2012=7、已知实数a,b,c满足a+b+c=10,且1714111accbba,则bacacbcba的值是8、如图，在平面直角坐标系中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0）、A（0，6）、B（4，6）、C（4，4）、D（6，4），E（6，0），若直线L经过点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的EOXLAYBCDM·YXFDOBACE(4题)NCMBAD(5题)2两部分，则直线L的函数表达式是9、如图，在正方形ABCD中，△AEF的顶点E，F分别在BC、CD边上，高AG与正方形的边长相等，连BD分别交AE、AF于点M、N，若EG=4，GF=6，BM=23，则MN的长为10、已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，对角线A1C1，B1D1相较于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为三、解答题11、边长为整数的直角三角形，若其两直角边边长是方程x2-(k+2)x+4k=0的两根，求k的值，并确定直角三角形三边之长。（10分）12、如图1，等腰Rt△CEF的斜边CE在正方形ABCD的边BC的延长线上，CFBC，取线段AE的中点M。（1）求证：MD=MF,MD⊥MF(6分)（2）若Rt△CEF绕点C顺时针旋转任意角度（如图2），其他条件不变。（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由。（6分）EFMDABC（图1）ADFMECB(图2)ADNMGBEFC313、黄冈市三运会期间，武穴黄商有一种姚明牌运动装每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式对应的点都在如图所示的图象上，该图象从左至右，依次是线段AB、线段BC、线段CD，而这种运动装每件的进价Z（元）与时间x（周）之间的函数关系式为Z=12)8812x（(1≤x≤16且x为整数)（1）写出每件的销售价y（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）（2）设每件运动装销售利润为w，写出w（元）与时间x（周）之间的函数关系式；（4分）（3）求该运动装第几周出销时，每件运动装的销售利润最大？最大利润为多少？（6分）14.如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1）在双曲线C：y=上，直线l1：y=﹣x+2，直线l2与l1关于原点成中心对称，F1（2，2），F2（﹣2，﹣2）两点间的连线与曲线C在第一象限内的交点为B，P是曲线C上第一象限内异于B的一动点，过P作x轴平行线分别交l1，l2于M，N两点．（1）求双曲线C及直线l2的解析式；（2）求证：PF2﹣PF1=MN=4；（3）如图2所示，△PF1F2的内切圆与F1F2，PF1，PF2三边分别相切于点Q，R，S，求证：点Q与点B重合．（参考公式：在平面坐标系中，若有点A（x1，y1），B（x2，y2），则A、B两点间的距离公式为AB=．）161116X(周)2030Y(元)ADCB415.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC的垂直平分线分别与AC，BC及AB的延长线相较于点D，E，F，且BF=BC，⊙O是△BEF的外接圆，∠EBF的平分线交EF于点G，交⊙O于点H，连接BD，FH．（1）求证：△ABC≌△EBF；（2）试判断BD与⊙O的位置关系，并说明理由；（3）若AB=1，求HG•HB的值．16.已知AC，EC分别是四边形ABCD和EFDG的对角线，点E在△ABC内，∠CAE+∠CBE=90°．（1）如图①，当四边形ABCD和EFCG均为正方形时，连接BF．（i）求证：△CAE∽△CBF；（ii）若BE=1，AE=2，求CE的长；（2）如图②，当四边形ABCD和EFCG均为矩形，且==k时，若BE=1，AE=2，CE=3，求k的值；（3）如图③，当四边形ABCD和EFCG均为菱形，且∠DAB=∠GEF=45°时，设BE=m，AE=n，CE=p，试探究m，n，p三者之间满足的等量关系．（直接写出结果，不必写出解答过程）5答案1.D解：ax²+bx+c=0(1)bx²+cx+a=0(2)cx²+ax+b=0(3)(1)-(2)，得(a-b)x²+(b-c)x+(c-a)=0(a-b)x²-[(a-b)-(a-c)]x+(c-a)=0x(a-b)(x-1)-(c-a)(x-1)=0(x-1)[x(a-b)-(c-a)]=0x=1是方程的解，又方程(1)和方程(2)恰有一个公共实数根，则此根为x=1同理，由(1)和(3)、(2)和(3)同样解得公共实数根为x=1，代入(1)，得a+b+c=0c=-(a+b)33)(333)(223333333333222abcabcabcbaababcabbababaabcbabaabccbaabccabbca2.C解：13133242x把13x代入原方程得213+0)13(ba03)2(403324baabaa因为因ba,是整数,所以4ba也是整数,要使03)2(4baa必须使3的系数为0则有:02a，得2a,04ba，得2b63.A利用极值法当11a，则其它值都为0，得出函数的最小值，进而得出函数的取值范围解：正数1a，2a，…，2011a，满足1201121aaa∴1a，2a，…，2011a中最大数小于等于1131313201121aaaP，要使此式子最小只要1a，2a，…，2011a中一个为1即可∴当11a，则其他都为020121112131313201121aaaP∵1a，2a，…，2011a都是正实数∴2012P4.C解：设点D的坐标为（x，xk），则F（x，0）．由函数的图象可知：x＞0，k＞0．∴kxxkOFDFSDEF212121同理可得kSCEF21故CEFDEFSS，①正确若两个三角形以EF为底，则EF边上的高相等，故CD∥EF，即AB∥EF，∴△AOB∽△FOE.④正确③条件不足，无法得到判定两三角形全等的条件，故③错误；∵CD∥EF，DF∥BE，AF//CE∴四边形DBEF、ACEF是平行四边形，∴AE=EF,BD=EF即AC=EF=BD，∴BD=AC，∴AC+AB=BD+AB∴BC=AD②正确，因此正确的结论有3个：①②④．5．A7△ADN绕A顺时针旋转90º，到达△ABL.MN＝MB+BL＝MB+DN＝1-CM+1-CN＝2-﹙CM+CN﹚＝MN∴△AMN≌△AML﹙SSS﹚∴∠MAN＝∠MAL＝45ºMNMNMLABSSMALMAN2221设CN＝x,CM＝y,则x²+y²＝MN²2-﹙x+y﹚＝MN消去MN得到﹙2-x﹚﹙2-y﹚＝2﹙常数﹚∴﹙2-x﹚＝﹙2-y﹚即x＝y时，﹙2-x﹚﹢﹙2-y﹚＝4-﹙x+y﹚＝2+MN有最小值。此时x＝y＝2-√2,MN＝2-2x＝4﹙√2-1﹚≈1.656854249[△MAN的面积的最小值.]6.-1解：因为2011)2011)(2011(22yyxx(1)所以2011)2011)(2011(22yyxx(2),所以)2011)(2011(22yyxx=)2011)(2011(22yyxx(3)化简得2011201122xyyx解得yxyx或若x=-y，代入(1),左边=-2011,右边=2011,矛盾,故舍去.若x=y，代入(1),解得20112y所以原式=120122y7．1789解：原式=babaacaccbcb)(10)(10)(10=3101010baaccb=317140=17898．31131xy9．25810．解：∵菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1=60°，∴OA1=A1B1•sin30°=2×=1，OB1=A1B1•cos30°=2×=，∴A1（1，0）．∵B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，∴OA2===3，∴A2（3，0）．同理可得A3（9，0）…∴An（3n﹣1，0）．故答案为：（3n﹣1，0）．11.解：设直角边为a，b（ab），则a+b=k+2，ab=4k，因为方程的根为整数，故△=（k+2）2-16k为完全平方数。设(k+2)2-16k=n2∴k2-12k+4=n2∴(k-6)2-n2=32∴(k+n-6)(k-n-6)=1×32=2×16=4×8∵k+n-6k-n-6∴163262616616326nknknknknknk或或解得2451k（舍去），152k,123k当152k时，a+b=17,ab=609∴a=15，b=12，c=13；当123k时，a+b=14,ab=48∴a=6，b=8，c=1012.1013、（1）为整数）且（为整数）且（为整数）且即为整数）且（为整数）且（为整数）且xxxxxxxxyxxxxxxxxy16125221163061(1821612)11(2301163061)(1(220（2）为整数）且（（为整数）且（（为整数）且（xxxxxxxxw1612402x-8)-x8111612-8)-x81306114)8(81220222（3）由（2）化简得为整数）且（为整数）且（为整数）且xxxxxxxxxxxw1612484811162628161(1481222①当14812xw时∵1≤x≤6∴当x=6时，w有最大值，最大值为18.5②当18)8(812628122xxxw11∵6≤x≤11，故当x=11时，w有最大值，最大值为8119③当16)16(814848122xwxxw时，即∵12≤x≤16∴当x=12时，w有最大值为18综上所述，当x=11时，w有最大值为8119答：该运动装第11周出售时，每件利润最大，最大利润为811914.如图1所示，已知：点A（﹣2，﹣1