第七章 响应面回归设计

回归设计回归设计概述回归模型因素水平编码Box－Benhken设计二次回归正交设计概述回归设计也称为响应面设计。是一种通过少量试验，获得数据，估计参数，有效地建立试验指标和连续变量之间的定量关系的方法。它是由英国统计学家G.Box在20世纪50年代初真对化工生产提出的，后来这一方法得到了广泛的应用。概述广泛应用于化工、钢铁、机械、制药、农业等领域。根据建立的回归方程的次数不同，回归设计有一次回归设计、二次回归设计。二次回归的正交试验设计是用于寻求最佳工艺、最佳配方和建立生产过程数学模型的很好方法。回归模型响应面分析（ResponseSurfaceAnalysis）主要包括回归方程的估计和检验，模型欠拟检验，回归参数的估计和检验，因素效应的检验，模型决定系数的计算，最优水平组合的估计及其附近的响应面特征。回归模型1.二次响应面（多元二次多项式）模型描述：pjpjNxxxxxfYpjjjjpjjjjjjpjjj,,2,1',,2,1,0~21210，，Y—响应变量；xj—第j个自变量；ε—正态随机误差；β0—回归截距；βjβjj’βjj—回归系数；回归模型三元二次响应面模型描述：Y—响应变量；x—第j个自变量；ε—正态随机误差；β0—回归截距；β—回归系数；22333222221113223311321123322110,0~NxxxxxxxxxxxxY回归模型二次响应面模型的矩阵描述：Y—响应变量；X—结构矩阵；ε—正态随机误差；n—数据组数；0—nx1的元素全是0的向量；nnINXY2,0~回归模型2.回归系数的最小二乘估计，应满足以下正规方程：XbXYXXbY''当(X’X)-1存在时，解得β估计bYXXXb'1'H0：H1：不全为0回归模型3.回归方程的显著性检验：021p记：p,,,21nixbxbbyippii,,2,1ˆ110，回归模型REniiniiiniiTSSyyyyyyS121212)ˆ()ˆ()(有方和分解式：iiiEyyS2)ˆ(1pnfE2)ˆ(yySiRpfR其中：残差平方和回归平方和自由度自由度回归模型)1,(),(~//pnpFffFfSfSFEREERR)1,(1pnpFF当H0为真时，有给定显著性水平α，则拒绝域为1FF1FF接收H0拒绝H0，接受H1回归模型4.失拟检验：在某些点上有重复试验数据，可以对Y的期望是否是x线性函数进行检验。残差平方和SE分解为组内（误差）平方和Se与组间（失拟）平方和SLf。即：LfeESSS回归模型式中：nimjiijeiyyS121)(nNmfie)1(imjijiiymy11niiiiLfyymS12)ˆ(1pnfLf自由度自由度H0：H1：回归模型假设：ppxxEy110ppxxEy110统计量：eeLfLfLffSfSF//当拒绝H0时，需要寻找原因，改变模型否则认为线性回归模型合适，可以将Se与SLf合并作为SE检验方程是否显著。回归模型5.回归系数的检验：0010jjjjHH：，：对每一个回归系数进行F或t检验222ˆ/jjjjjcbtF给定的显著性水平α当时拒绝假设H0j，即认为β0j显著不为零，否则认为β0j为零，可以将对应的变量逐一从回归方程中删除。Cij为(X’X)-1的第j+1个对角元是模型σ2的无偏估计回归模型式中：EEfS/ˆ),1(1EjfFF因素水平编码在回归问题中各因子的量纲不同，其取值的范围也不同，为了数据处理的方便，对所有的因子作一个线性变换，使所有因子的取值范围都转化为中心在原点的一个“立方体”中，这一变换称为对因子水平的编码。因素水平编码设计变量初选试验范围zj的最大值编码xjM为1，最小值编码xjm为-1，中间值编码xj0为0。2/)(210jjjzzzjjjjzzx02/)(12jjjzz因素水平编码三因素响应面设计的试验点及分布(1,1,-1)(-1,1,-1)(-1,1,1)(-1,-1,1)(-1,-1,-1)(1,-1,1)(1,-1,-1)(1,1,1)x1x2x3o中心点主轴点基试验点Box－Benhken设计由Box－Behnken提出的中心组合设计是一种较常用的回归设计法，适用于2至5个因素的优化实验。Box－Behnken设计首先假定实验范围内存在二次项，其试验点的选取为编码立方体的每条棱的中点。Box－Benhken设计例题：对超高压杀灭枯草芽孢杆菌效果Y的研究发现：温度、压力、保压时间是灭活枯草芽孢杆菌显著影响因子。研究结果表明杀灭6个数量级的枯草芽孢杆菌的杀菌条件，温度为：X1=31.10～59.03℃，压力为X2=235.23～562.21MPa，保压时间为X3=10.11～19.53min，试分析最优杀菌工艺参数。Box－Benhken设计题解：本试验采用Box-Behnken模型，以压力X1，温度X2，保压时间X3三个外界因子为自变量，并以+1、0、-1分别代表自变量的高、中、低水平，对自变量进行编码，超高压杀灭菌的数量级Y为响应值(Y=-log10Nt/N0，即经超高压作用后枯草芽孢杆菌死亡的数量级，Nt为超高压处理后1ml菌液中的活菌数，N0为对照1ml菌液中的活菌数)Box－Benhken设计实验因素水平及编码表FactorSymbolsLevelCodedUncoded-101温度(℃)X1X1304560压力(MPa)X2X2200400600保压时间(min)X3X3101520Box－Benhken设计实验设计与结果表TrialNo.X1X2X3Response1-10-14.27210-15.443-1015.1141015.795-1-102.1161-103.217-1106.0481106.8790-1-12.70100-113.441101-16.23120116.43130005.45140005.32150005.67160005.43170005.23二次回归正交设计应用二次回归正交设计法，所得的回归系数的估计之间相互独立，因此删除某些因子时不会影响其它的回归系数的估计，从而很容易写出所有系数为显著的回归方程。二次回归正交设计的试验点由正交点、主轴点和中心点组成。二次回归正交设计两个变量的试验点组合方案0000n942,0000876542),2(111111114321023421mpmLxxc中心点星号点用试验号二次回归正交设计二次回归正交设计的参数γ值表二次回归正交设计例题：在研究在某提纯工艺中，发现杂质Y的产生量受温度、压力、提取时间显著影响。研究结果表明这种提纯工艺的的工作条件，其温度为：X1=50～90℃，压力为X2=4～8MPa，提取时间为X3=1～3hour，试分析最优提纯工艺参数。二次回归正交设计查表三因子，中心点重复两次的γ=1.2872Δ=(ZM-Zm)/2γ,X1=Z0+Δ,X-1=Z0-Δ实验因素水平及编码表编码温度（℃）压力（MPa）提取时间（hour）上水平185.547.552.78基准水平07062下水平-054.464.451.22+γ1.27829083-γ-1.27825041二次回归正交设计实验设计与结果表NoX1X2X3TempPresHourY111185.547.552.780.0947211-185.547.551.220.090331-1185.544.452.780.098741-1-185.544.451.220.09075-11154.467.552.780.09026-11-154.467.551.220.08927-1-1154.464.452.780.09048-1-1-154.464.451.220.08779-1.28720050620.0857101.28720090620.0904110-1.2872070420.08691201.2872070820.08951300-1.287270610.087614001.287270630.09161500070620.08861600070620.0889ThankYou！