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(2)方差:称D(X)=∑𝑖=1𝑛(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,其算术平方根D(X)为随机变量X的.-1-知识梳理考点自测1.离散型随机变量的均值与方差若离散型随机变量X的分布列为P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n.(1)均值:称E(X)=为随机变量X的均值或数学期望.x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn标准差2.均值与方差的性质(1)E(aX+b)=;(2)E(ξ+η)=Eξ+Eη;(3)D(aX+b)=.aE(X)+ba2D(X)3.两点分布与二项分布的均值与方差(1)若X服从两点分布,则E(X)=,D(X)=.(2)若X~B(n,p),则E(X)=,D(X)=.-2-知识梳理考点自测pp(1-p)npnp(1-p)-3-知识梳理考点自测1.如果X1,X2相互独立,那么E(X1·X2)=EX1·EX2.2.均值与方差的关系:DX=EX2-E2X.3.超几何分布的均值:若X服从参数为N,M,n的超几何分布,则EX=𝑛𝑀𝑁.-4-知识梳理考点自测234151.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.(1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.()(2)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的情况,因此它们是一回事.()(3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量,它不确定.()(4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度,方差或标准差越小,则偏离均值的平均程度越小.()(5)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布,参数μ是正态分布的均值,σ是正态分布的标准差.()答案答案关闭(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√-5-知识梳理考点自测234152.抛掷两个骰子,至少有一个4点或5点出现时,就说这次试验成功,则在10次试验中,成功次数X的均值是()A.809B.559C.509D.103答案解析解析关闭由题意,一次试验成功的概率为1-23×23=59,10次试验为10次独立重复试验,则成功次数X~B10,59,所以E(X)=509.故选C.答案解析关闭C-6-知识梳理考点自测2341512答案解析解析关闭∵E(ξ1)=p1,E(ξ2)=p2,∴E(ξ1)E(ξ2).∵D(ξ1)=p1(1-p1),D(ξ2)=p2(1-p2),∴D(ξ1)-D(ξ2)=(p1-p2)(1-p1-p2)0,故选A.答案解析关闭A3.(2017浙江,8)已知随机变量ξ满足P(ξi=1)=pi,P(ξi=0)=1-pi,i=1,2,若0p1p2,则()A.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)B.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)C.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)D.E(ξ1)E(ξ2),D(ξ1)D(ξ2)-7-知识梳理考点自测234154.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为()A.100B.200C.300D.400答案解析解析关闭记不发芽的种子数为ξ,则ξ~B(1000,0.1),∴E(ξ)=1000×0.1=100.又X=2ξ,∴E(X)=E(2ξ)=2E(ξ)=200.答案解析关闭B-8-知识梳理考点自测234155.(2017全国Ⅱ,理13)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次.X表示抽到的二等品件数,则D(X)=.答案解析解析关闭由题意可知抽到二等品的件数X服从二项分布,即X~B(100,0.02),其中p=0.02,n=100,则D(X)=np(1-p)=100×0.02×0.98=1.96.答案解析关闭1.96-9-考点1考点2考点3考点1二项分布的均值、方差问题例1某新建公司规定,招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班.公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据,按时间段[75,80),[80,85),[85,90),[90,95),[95,100](单位:小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.-10-考点1考点2考点3P=60+20200=25.(1)求抽取的200名职工中,参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,并估计从招聘职工中任意选取一人,其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率;(2)从招聘职工(人数很多)中任意选取3人,记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数,试求X的分布列和数学期望E(X)和方差D(X).解:(1)依题意,培训时间在[90,95)小时的人数为200×0.06×5=60,在[95,100)小时的人数为200×0.02×5=20,故满足题意的概率估计为-11-考点1考点2考点3(2)依题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)=C30353=27125,P(X=1)=C3125352=54125,P(X=2)=C3225235=36125,P(X=3)=C33253=8125,则随机变量X的分布列为X0123P2712554125361258125∵X~B3,25,∴E(X)=3×25=65,D(X)=3×25×35=1825.-12-考点1考点2考点3思考如何简便地求二项分布的随机变量X的均值与方差?解题心得求随机变量X的均值与方差时,可首先分析X是否服从二项分布,如果X~B(n,p),那么用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.-13-考点1考点2考点3对点训练1某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中,各随机摸出1个球,在摸出的2个球中,若都是红球,则获一等奖;若只有1个红球,则获二等奖;若没有红球,则不获奖.(1)求顾客抽奖1次能获奖的概率;(2)若某顾客有3次抽奖机会,记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X,求X的分布列和数学期望.-14-考点1考点2考点3解:(1)记事件A1={从甲箱中摸出的1个球是红球},A2={从乙箱中摸出的1个球是红球},B1={顾客抽奖1次获一等奖},B2={顾客抽奖1次获二等奖},C={顾客抽奖1次能获奖}.因为P(A1)=410=25,P(A2)=510=12,所以P(B1)=P(A1A2)=P(A1)·P(A2)=25×12=15,P(B2)=P(A1𝐴2+𝐴1A2)=P(A1𝐴2)+P(𝐴1A2)=P(A1)P(𝐴2)+P(𝐴1)P(A2)=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]·P(A2)=25×1-12+1-25×12=12.故所求概率为P(C)=P(B1+B2)=P(B1)+P(B2)=15+12=710.-15-考点1考点2考点3(2)顾客抽奖3次可视为3次独立重复试验,由(1)知,顾客抽奖1次获一等奖的概率为15,所以X~B3,15.于是P(X=0)=C30150453=64125,P(X=1)=C31151452=48125,P(X=2)=C32152451=12125,P(X=3)=C33153450=1125.故X的分布列为X0123P6412548125121251125X的数学期望为E(X)=3×15=35.-16-考点1考点2考点3考点2非二项分布的均值、方差问题例2(2017江西吉安检测,理17)近年空气质量逐步恶化,雾霾天气现象出现增多,大气污染危害加重.大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病.为了解某市心肺疾病是否与性别有关,在某医院随机地对入院的50人进行了问卷调查,得到了如下的列联表:患心肺疾病不患心肺疾病合计男5女10合计50-17-考点1考点2考点3已知在全部50人中随机抽取1人,抽到患心肺疾病的人的概率为(1)请将上面的列联表补充完整;(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关,说明你的理由;35.(3)已知在患心肺疾病的10位女性中,有3位又患胃病.现在从患心肺疾病的10位女性中,选出3名进行其他方面的排查,记选出患胃病的女性人数为ξ,求ξ的分布列、数学期望以及方差.下面的临界值表供参考:P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0050.001k02.7063.8415.0246.6357.87910.828参考公式K2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),其中n=a+b+c+d.-18-考点1考点2考点3解:(1)列联表补充如下.患心肺疾病不患心肺疾病合计男20525女101525合计302050(2)因为K2=𝑛(𝑎𝑑-𝑏𝑐)2(𝑎+𝑏)(𝑐+𝑑)(𝑎+𝑐)(𝑏+𝑑),所以K2=50×(20×15-10×5)225×25×30×20≈8.333.又P(K2≥7.879)=0.005=0.5%,所以我们有99.5%的把握认为是否患心肺疾病是与性别有关系的.-19-考点1考点2考点3(3)ξ的所有可能取值为0,1,2,3,ξ服从超几何分布,其中N=10,M=3,n=3.则P(ξ=k)=C3𝑘C73-𝑘C103(k=0,1,2,3),所以P(ξ=0)=C73C103=35120=724,P(ξ=1)=C31·C72C103=63120=2140,P(ξ=2)=C32·C71C103=740,P(ξ=3)=C33C103=1120.-20-考点1考点2考点3则ξ的分布列为ξ0123P72421407401120则E(ξ)=0×724+1×2140+2×740+3×1120=910,D(ξ)=0-9102×724+1-9102×2140+2-9102×740+3-9102×1120=49100.故ξ的数学期望及方差分别为E(ξ)=910,D(ξ)=49100.-21-考点1考点2考点3解题心得1.求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:(1)理解X的意义,写出X的全部可能取值.(2)求X取每个值的概率.(3)写出X的分布列.(4)由均值的定义求E(X).(5)由方差的定义求D(X).2.注意性质的应用:若随机变量X的均值为E(X),则对应随机变量aX+b的均值是aE(X)+b,方差为a2D(X).-22-考点1考点2考点3对点训练2某大学对参加了“世博会”的该校志愿者实施“社会教育实践”学分考核,因该批志愿者表现良好,该大学决定考核只有合格和优秀两个等次,若某志愿者考核为合格,授予0.5个学分;考核为优秀,授予1个学分.假设该校志愿者甲、乙、丙考核为优秀的概率分别为,他们考核所得的等次相互独立.(1)求在这次考核中,志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀的概率;(2)记这次考核中甲、乙、丙三名志愿者所得学分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列和数学期望E(ξ).45,23,23-23-考点1考点2考点3解:(1)记“甲考核为优秀”为事件A,“乙考核为优秀”为事件B,“丙考核为优秀”为事件C,“志愿者甲、乙、丙三人中至少有一名考核为优秀”为事件E,则事件A,B,C相互独立,𝐴𝐵𝐶与事件E是对立事件.则P(E)=1-P(𝐴·𝐵·𝐶)=1-P(𝐴)·P(𝐵)·P(𝐶)=1-15×13×13=4445.(2)ξ的可能取值为32,2,52,3.∵P𝜉=32=P(𝐴·𝐵·𝐶)=145,P(ξ=2)=P(A·𝐵·𝐶)+P(𝐴·B·𝐶)+P(𝐴·𝐵·C)=845,-24-考点1考点2考点3P𝜉=52=P(A·B·𝐶)+P(A·𝐵·C)+P(𝐴·B·C)=2045,P(ξ=3)=P(A·B·C)=1645.∴ξ的分布列为ξ322523P14584520451645∴E(ξ)=32×145+2×845+52×2045+3×1645=7730.-25-考点1考点2考点3考点3均值与方差在决策中的应用例3某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额