民航运输机巡航性能分析

航空器飞行原理－民航运输机巡航性能分析CruisingAnalysisforTransportationAirplanes耿骅HwaKeng一、前言飞机的「性能」可以从两种方向去定义：一是「性能」为飞机「多快、多高、多远」的表现，二是从物理学角度出发，认为性能是牛顿运动定律F＝MA的具体表现。在民航业界的日常工作里，我们比较重视飞机的起落性能（如跑道分析图表的计算）与爬升性能（考虑离到场时的超越地障的能力）两项性能指针，而这两项指标用F＝MA牛顿运动公式都足以获得一定精确的解答，但是对于飞机能飞得「多快、多高、多远」的问题，国内的许多航空公司限于操作航线短，飞行高度有限，运用的机会并不大，对此也就兴趣缺缺。而少数能飞得高、飞得远的航空公司，飞行计划多以计算机代为计算，既然有现成可捡，更无需劳神计算；何况高空状况瞬息万变，现实中不见得全然能照表操课。但无论是就事论事地求知求实，还是出于教育训练的授课需要，都有必要厘清在什么环境条件下，飞机如何操作，方能够发挥最大的巡航性能，进而创造航线的营运效益。简而言之，就是探究「最佳」的飞行计划是怎么做出来的。二、巡航公式的理论推导所谓的航程是指飞机利用其所携带的燃油，飞经地球上空的距离，此距离可分为最远航程与指定航程（从甲地飞到乙地）。航程与油量、燃油消耗率、高度及飞行速度等有密切关系；一般越洋航线的计算为了节约油料与成本，通常都希望飞得越省越好，但又必需顾虑到状况外的处置余裕，故飞行计划很少是以「最远航程」来制作的，多是以定高度/定马克数计算后参考民航法规对备用油量的规定及公司政策/机长起飞前根据航路天气等因素决定出最后的加油量。早在第一、二次大战之间的二十年代，整个航空设计从一战时期着重的单机缠斗敏捷性走向「更快、更高、更远」时，法国航空工程师Brequet即从螺旋桨性能及功率观点导出了航程公式[1]，使远程跨洋飞行得到了相应的理论基础。喷射机的航程公式可以「比燃油消耗」（TSFC）取代螺旋桨机的功率而得到「相似」但不一样的结论：对喷射机而言，假设比燃油消耗不随油门的移动而变化（当然这只是推导公式时为简化问题的假设，现实操作中是不太可能的，高度维持在某固定高度（通常是航管批答的高度），欲得到最远航程时，必须飞行在（CL1/2/CD）为最大值之时，也就是说飞行员必保持在对应寄生阻力等于三倍诱导阻力系数的攻角下飞行，并将油门配到维持当时平飞所需的油门配置（但又不允许燃油消耗2比有所变化）。整个公式推导如下：L=W=21∞V∞2SCL或V∞=SCW/2L，喷射机的Brequet航程方程式为：Range=V∞/TSFC．DL．lnW0/W1，其中TSFC=-Wf/T（比燃油消耗），欲求R航程最远，假设TSFC为定值，即求V∞DL最大，而V∞DL=SCW/2L．CL/CD=SCW/2L．CL1/2/CD，故在固定高度（∞为定值）下，航程R最远的条件为（CL1/2/CD）max。满足（CL1/2/CD）max时的飞行状态可由诱导阻力公式代换，CL1/2/CD=CL1/2/(CD0+KCL2)，将该式对CL微分为0时，可求得CL1/2/CD（对CL或攻角）之最大值状态。经计算后可得该飞行状态下CD=3KCL2。即飞机应保持在寄生阻力系数为诱导阻力系数三倍的「攻角」飞行。这里同时可以给出：（CL1/2/CD）max的速度是最大升阻比速度（飘降速度）的1.32倍。许多航空应用书籍里是把这个结论（VmaxRange=1.32VmimDrag）直接拿来运用，详细的证明过程则可参考文献[1]及[2]。上面的公式仅基于飞机本身的气动力特性考虑，并没有顾虑到发动机的工作状态（比燃油消耗被假设为固定值）和高度的变化（密度∞固定，故高度不变）等因素，尚不够全面、客观。另一种直观的逼近方式舍去了繁复的公式推导：直接从一定高度/重量下的「推力/速度图」（又称性能基本图表）利用简单的几何作图找出该条件（固定高度、固定重量）下的最远航程需用推力与对应的飞行速度。若飞行距离以理计，携油量以磅计，二者相比即为比航程（SpecificRange,SR）。SR=航程哩数／燃油磅数＝（航程哩数／小时）／（燃油磅数／小时）＝V（速度）／FF（燃油流率），或SR=VFF/1，对喷射机而言，FFThrust，故在「推力－速度」图中，从原点作一切线切于T-V∞图中的切点，即为「该条件」（某高度、某重量）下的最远航程点，该处的（CL1/2/CD）自应最大,如图1所示。3还有一种逼近法是在飞机初步概念设计时所采用的：把Brequet方程式中的速度换成马克数。即将式子改为：V∞=a0M，其中a0为海平面标准大气下的音速=T∞/T0，R=(V∞/TSFC)L/DlnW0/W1=(a0/TSFC)．ML/D．lnW0/W1；V∞L/D或ML/D被称为「RangeFactor」。若要使飞机达到最远航程，则必需使V（在马克数大于0.75以上时考虑空气压缩性而改采马克数M）L/D（升阻比）为最大值。此观点亦称为航程因子（RangeFactor）法，可用来分析、预估翼载、翼面积和巡航所需推力等参数。对机翼而言，最大的M×L/D只发生在「某一特定」的马克数下，大M数时L/D比受压缩性的影响反而会减小，故什么时候M×L/D最大就要看这两个变量如何相调和了。L/D图又称为PolarDiagram，从高速L/D图我们可以看出不同的数和不同的L/D最大值。M数较小时，不受气体压缩性的影响，L/D的最大值会比较大，但因为M数小，所以两个的乘积并非最大；同理，若M数过大，则L/D最大值会因压缩性而减小，M×L/D也跟着减小，故最大的M×L/D速度将会发生在所谓「最佳M数」时，对现代客机常用的机翼而言，通常是M＝0.72-0.86左右。这也是为什么次音速的客机在巡航时，不高不低，都选择在这个速度附近的道理。实际航路操作时如果你刻意保持这个速度飞行，飞机会因为油料减少造成重量愈来愈轻，若速度（即升力）不变，高度愈飘愈高，有那么点御风而行的哲学味道。这给了我们一个启示：如果想达到「绝对」最远航程（以有别于前面讨论的固定高度下的最远航程），则必需随重量变化而调整高度，这种变化又是随着发动机在不同高度下的工作能力而改变的。为了更精准地计算「绝对远航程」，我们延续上面的推导但引入发动机推力随高度而产生的变化T=T0．。更精确点来说，上应该还有个0.8的指数乘幂[3]，但为了推导方便可以忽略。其推导过程如下：已知：R=V∞/TSFC．CL／CD．ln．W0／W1=SCW/2L．TSFC1．CL／CD．lnW0／W1，引入：=∞/0，0为「海平面标准」大气密度R=/0．CL1/2/CD．TSFC1．SCW0/2L．ln．W0／W1=-1/2/TSFC．CL1/2/CD．SW0/2．ln．W0／W1。4假设某固定推力设定值随大气密度而变化T=T0．=D=CD／CL．W，经过代换R=T01/2/TSFC．(CL/CD３/2)S0/2．ln．W0／W1，即在「高度不断变化下」欲得到最远航程需保持(CL/CD３/2)max。这也就是说，在爬升阶段终止后，先配平好姿态和调整推力为某一定的EPR(EnginePressureRatio，通常用来表示推力的一种仪表读数)，保持CL/CD3/2最大值时的攻角平直飞行。虽然推力和EPR值并不全然相等，但这里的假设是：（1）EPR就是推力。（2）某固定油门（即固定EPR值）设定所获得的推力会随着空气密度成比例递减。随着油料消耗，保持在这个特定的攻角，高度表愈转愈高，整个飞行剖面是「挂」在一个经过缜密计算，可以飞到「绝对最远」航程，美中不足的只是民航机能不像战斗机装有「攻角指示器」可以体察攻角变化。待在高空燃油耗尽后，燃油箱内所有的化学能已被换成位能。这时油门已没有作用，发动机也因油料耗尽而停车，再以「最佳飘降速度」从接近高层大气的边缘慢慢滑下来，完成这趟「最远航程」的壮举；当然实际上还得考虑飞机与发动机能不能承受这样高空的操作的问题。先前的假设是推力=T0．，随着高度呈指数递减，但发动机或许早因高空进气不足而熄火；客机调压舱的结构强度也不一定能承受高空的内外压差；复以航管的限制与空气动力升限的考虑等，种种因素都使航空公司很少采用这种纯学院派的操作技巧，转而用另一种较为温和的「阶梯式爬升巡航」，后面将会再讨论到。三、发动机性能参数修正由上面的讨论我们可以看出，在处理航空器巡航问题时，所遭遇到的状况不外三类：（1）飞机外型气动力的设计考虑。比方如何利用航程方程式决定翼负荷参数。（2）如何修正发动机因外界环境变化而造成的工作状态改变。如前例中提到的推力需随高度（或空气密度）修正，以及衍生的高空熄火问题。（3）飞机和发动机间性能匹配的问题。无论从设计或使用的观点来看，无论所谓的性能表征是「多高、多快、多远」，还是牛顿的第二运动定律，性能都不可避免地受到两个因素的制约：飞机（精确地说是机翼）本身气动力选择以及装用发动机的工作效率；如何调和飞机的气动力性能和发动机出力，期能使两者互补而达到「最佳」状态，也就是实际「最远」航程的航行方法。第（1）个问题是飞机设计师需考虑的问题，本篇文章不予考虑。第（2）及第（3）个问题对性能计算的影响很大，我们先来看看第（2）个问题：如何修正发动机的性能参数。前面已经引介了两个无因次量=T∞/T0和=∞/0。根据理想气体方程式P=RT，若将某一状态的压力、温度与密度写任两者写入气体方程式中，我们可以得到第三者，为了表达方便起见，将气体方程式改写为P∞/P0=∞/0．R/R．T∞/T05且令P∞/P0=，∞/0=，T∞/T0=等三个无因次量，而方程式换为=．依然成立。这三个无因次量看似简单，实际上是发动机工程师用来修正各种不同外界条件下，发动机工作参数的有利工具，故被称为「性能参数修正因子」。举例来说，部队里有句话叫「高空慢车，转速增加」；以某型军用发动机为例，在三万多呎时的慢车转速会和地面军用推力时的转速相差无几。所以三万多呎的RPM和地面试车的RPM如何才能放在相当的基准来比较才算合理，或者说如何将「非标准大气情况」下的性能参数测量值换算成「标准大气」下的等效值。Buckingham的原理提供了这方面的理论依据，在此我们省略掉繁复的推导，「先入为主」地将结果表出：推（阻）力修正为T或D（注意和前面所谓「推力随高度或空气密度变化」的公式不同，两者物理意义也并不等同），空气流量修正为Wa/，燃油流量修正为WF/，转速修正为N/，若将环境拉回海平面标准大气，可以看到则三个修正因子、、均等于1。在实际运用中，只要流场的雷诺数够大，推力修正和空气流量修正所得的结果都还在可接受的范围内，燃油流量的参数修正受燃烧效率随高度增加而降低等因素的限制，效果较差。在不同高度下得到的性能数据及修正后的结果如图2、3所示，可看到修正后的参数与标准大气时的表现大致相符。6四、飞机与发动机性能匹配我们再来看第（3）个问题，由航程本身的定义推导起。飞机能够飞在空中是因为机翼产生升力，升力的来源是推力造成的。喷射发动机的推力又是由燃油的消耗所产生。推力同时让飞机有向前的速度。故每磅燃油能够飞多少公里，即所谓的「比航程」（SpecificRange，SR）和燃油流率（FuelFlow，FF）间的关系可写为SR=V∞/FF，其中SR的单位为nam/1b，而FF注记为WF；WF=V∞/SR上式可知燃油流率与飞行速度及比航程间的互动关系；依TSFC的定义，WF也等于（TSFC*T），同时引入修正因子得WF/=(TSFC)．T/=V∞/SR．，再将M=V∞/a0代入，整理后可得TSFC/．T/=WF/=(V∞/)/(SR)=Ma0/((SR)．)。我们可以从式中得到以「修正环境条件」为基础的三个参数：（1）燃油流量修正WF/()（2）比燃油消耗修正TSFC/（3）燃油哩程修正(SR)．或以单位来表示成(nam