合肥工业大学-高等数学-上-4-6函数图形的描绘

4.6函数图形的描绘26-14.6.1渐近线4.6.2函数图形的描绘4.6.1渐近线定义4.6.1如果曲线上的动点沿曲线无限远离原点时，动点到某定直线的距离无限趋于零，称此直线为曲线的渐近线。曲线的渐近线有三种形式：水平渐近线垂直渐近线斜渐近线26-2水平渐近线如果()lim()xfxA，就称直线yA为曲线yfx的水平渐近线.例4.6.1由于1lim0xx，所以直线0y为曲线1yx的水平渐近线.注：有时需要考察x或x时的单侧水平渐近线.26-3例4.6.2由于limarctan,limarctan22xxxx，所以直线2y为x时曲线arctanyx的水平渐近线；直线2y为x时曲线arctanyx的水平渐近线。26-4垂直渐近线如果00()lim()xxxfx，就称直线0xx为曲线()yfx的垂直渐近线.例4.6.3由于01limxx，故直线0x为曲线1yx的垂直渐近线.例4.6.4由于10limxxe，故直线0x为曲线1xye当0x时的垂直渐近线.26-5斜渐近线如果曲线存在渐近线，且既不是水平渐近线，又不是垂直渐近线，就称之为斜渐近线.斜渐近线的求法（以x为例）设直线(0)yaxba是曲线()yfx的渐近线，则有lim[()]0xfxaxb26-6从而可得()()limlimxxfxfxaxbbaaxxx；代入第一行，得lim[()]=xfxaxb。lim[()]0xfxaxb总结：如果()limxfxax，且lim[()]=xfxaxb，则直线(0)yaxba是曲线()yfx的斜渐近线。26-7例4.6.5求曲线3221xyx的斜渐近线。解由于332322limlimlim2(+1)+xxxyxxaxxxxx，且22lim()=lim(2)=lim0+1xxxxyaxyxbx，所以曲线3221xyx的斜渐近线为2yx。26-8同理，如果(0(m))lixfxxaa，且lim[()]=xfxaxb，则直线yaxb是曲线()yfx当x时的斜渐近线。如果(0(m))lixfxxaa，且lim[()]=xfxaxb，则直线yaxb是曲线()yfx当x时的斜渐近线。例4.6.6求曲线21yxx的斜渐近线.分析：虽然21limlimxxyxxxx不存在（请思考为什么？），但不能认为曲线21yxx没有斜渐近线。此时应该从x以及x的角度来考虑。26-9解：由于22111limlimlim11xxxyxxaxxxx，且2lim()lim()lim(1)xxxyaxyxxxx221111limlim211111xxxxbxxxxx，所以直线12yx为当x时的斜渐近线。同理可得，直线12yx为当x时的斜渐近线。（请同学们自己完成）26-10特别说明:1.在同一方向上，水平渐近线与斜渐近线不可兼得。在不同方向上，完全有可能。2.在连续点处，不可能产生垂直渐近线。进而连续函数没有垂直渐近线。特别地，对于初等函数，垂直渐近线只可能产生于定义域之外的点（注意定义域之外的点处未必产生垂直渐近线，仍需验证）。3.对于曲线()()mnPxyQx，其中()mPx()nQx分别为m次和n次多项式，当1mn时，一定有斜渐近线。26-11例如，曲线2322,11xxyyxx一定有斜渐近线；曲线3342,11xxyyxx没有斜渐近线。例4.6.7曲线221xxyx渐近线的条数为()．（A）0（B）1（C）2（D）3解22lim11xxxx，221lim1xxxx，而2211lim12xxxx，所以221xxyx有两条渐近线1y和1x．选（C）。26-12例4.6.8曲线2121arctan(1)(2)xxxyexx的渐近线有（）.（A）1条（B）2条（C）3条（D）4条解：由于2121limarctan(1)(2)4xxxxexx，21201limarctan(1)(2)xxxxexx，所以,04yx为其两条渐近线。选（B）。思考题为什么直线1x和2x不是垂直渐近线？26-13例6.4.8曲线1ln(1)xyex渐近线的条数为（）.（A）0（B）1（C）2（D）3解：由于01lim[ln(1)]xxex，所以0x为垂直渐近线；由于1lim[ln(1)]0xxex，所以0y为水平渐近线；又21ln(1)ln(1)limlim[]limlim11xxxxxxxxyeeexxxxe，1lim()lim[ln(1)]limln(1)0xxxxxyxexex，所以yx为斜渐近线．选（D）。26-14求渐近线的关键在于求极限！26-154.6.2函数图形的描绘描绘函数图形的一般步骤归纳如下：⑴确定函数yfx的定义域，了解其周期性、奇偶性；⑵求(),()fxfx，进而分别求出()0fx和()0fx的点和不可导点；⑶用上述点将定义域分为若干个区间，并列表讨论函数在每个区间上的单调性与极值，及曲线的凹凸性与拐点；⑷确定曲线的渐近线；⑸必要时找一些辅助点，然后描绘函数图形.26-16例6.4.9作出函数2xye的图形.解(1)函数的定义域为(-∞,+∞),且此函数为偶函数，其图形对称于y轴，故只需考虑区间[0,)上的情形即可。(2)2222,2(21).xxyxeyxe令0y,得10x；令0y，得222x。且此函数无不可导点。(3)用分点222x将区间[0,)分成两个区间，并列表讨论如下。26-17x02(0,)2222(,)2'y0y0y的图形极大值1拐点122(,e)2(4)因为2lim0,xxe故曲线有水平渐近线0y.26-18⑸当1x时10.368ye；当2x时，410.135ye。并由关于y轴对称性，得函数2xye的图形如图所示.26-19例4.6.10作出函数32(1)(1)xyx的图形.解(1)定义域(,1)(1,).(2)234(1)(5)24(1)(),().(1)(1)xxxfxfxxx令()0fx,得121,5;xx令()0fx,得11()xx,不可导点31x。(3)用点1321,1,5xxx将函数的定义域划分四个子区间.并列表讨论如下：26-20(4)因1lim()xfx,所以yfx有垂直渐近线1x.又32(1)limlim1,(1)xxyxxx32(1)lim()lim()5(1)xxxyxxx，所以()yfx有斜渐近线5.yx26-21⑸当0x时，1y，即曲线过点(0,1)。综上可知函数32(1)(1)xyx的图形如图所示.26-22函数作图的应用——讨论含参数的方程根的问题⑴方程()0fx的根曲线()yfx与x轴的交点；设有方程(,)0fxa（其中a为参数）。讨论当a变化时，方程(,)0fxa根的情况。⑵方程()()fxgx的根曲线()yfx与()ygx的交点。一般地，从(,)0fxa中解出a，得()gxa。再作出曲线()ygx的图形，因此，讨论方程(,)0fxa根的情况考察曲线()ygx与水平线ya交点的情况。26-23例4.6.11讨论方程xaex在),(内根的情况，其中a为实数．解将方程转化为xxea，讨论此方程的根就是考察曲线xyxe与水平线ya的交点。下面作曲线xyxe的图形。此函数的定义域为),(．由于lim()0xfx，lim()xfx，所以当x时，有水平渐近线0y．26-24又()(1)xfxxe，()(2)xfxxe．令()0fx，解得1x；令()0fx，解得2x．x(,1)1(1,2)2(2,)()fx0()fx0)(xf的图形取极大值1(1)fe产生拐点2(2,2)e26-25用水平线ya与其相交，共有四种情况如下：补充点：(0,0)，(1,)e；作图．由此可得，当1ae时，无实根；当10ae时，恰有两个实根；当1ae或0a时，仅有一个实根．26-26