合肥工业大学-高等数学-下-9.1

第一节多元函数的基本概念一、平面点集n维空间二、多元函数的概念三、多元函数的极限四、多元函数的连续性第九章多元函数微分学点P0的去心邻域记为δ00PP1.邻域例如,在平面上,(圆邻域)在空间中,(球邻域)说明：若不需要强调邻域半径,也可写成.)(0PU点集称为点P0的邻域.δ0PP),(),(0yxPUδ),,()(0zyxPU,一、平面点集n维空间在讨论实际问题中也常使用方邻域,因为方邻域与圆邻域平面上的方邻域为),()δ,U(0yxP。0P可以互相包含.(1)内点、外点、边界点设有点集E及一点P:若存在点P的某邻域U(P)E,若存在点P的某邻域U(P)∩E=,E则称P为E的内点；则称P为E的外点;若对点P的任一邻域U(P)既含E中的内点也含E则称P为E的边界点.的外点,显然,E的内点必属于E,E的外点必不属于E,E的边界点可能属于E,也可能不属于E.2.区域E若对任意给定的,邻域内总有E中的点,则称P是E的聚点.聚点可以属于E,也可以不属于E(因为聚点可以为E的边界点)(2)聚点D若点集E的点都是内点，则称E为开集；若点集E边界,则称E为闭集；开区域连同它的边界一起称为闭区域.若集D中任意两点都可用一完全属于D的折线相连,则称D是连通的;连通的开集称为开区域;E的边界点的全体称为E的边界;(3)开区域及闭区域例如，在平面上0),(yxyx41),(22yxyx0),(yxyx41),(22yxyx开区域闭区域xyo21xyo整个平面是最大的开域,也是最大的闭域；点集1),(xyx是开集，但非开区域.11oxy对区域D,若存在正数K,使一切点PD与某定点A的距离APK,则称D为有界域,界域.否则称为无存在一圆盘,可覆盖整个区域,即为有界域.3.n维空间n元有序数组的全体称为n维空间,,Rn记作即RRRRnn维空间中的每一个元素称为空间中的称为该点的第k个坐标.一个点,当所有坐标称该元素为nR中的零元,记作O.中点a的邻域为nR二、多元函数的概念引例:圆柱体的体积定量理想气体的压强三角形面积的海伦公式cbahr定义1.设非空点集DPPfu,)(或点集D称为函数的定义域;数集DP,Pfuu)(称为函数的值域.特别地,当n=2时,有二元函数当n=3时,有三元函数映射称为定义在D上的n元函数,记作xzy例如,二元函数221yxz定义域为圆域1),(22yxyx说明:二元函数z=f(x,y),(x,y)D图形为中心在原点的上半球面.,)sin(,yxz又如的图形一般为空间曲面.12R),(yxxyzo三、多元函数的极限定义2.设n元函数,R),(nDPPf点,,)δ,(0PUDP则称A为函数(也称为n重极限)当n=2时,记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0是D的聚若存在常数A,对一记作Ayxfyyxx),(lim00都有对任意正数,总存在正数,切例1设)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0),(lim00yxfyx证:故0),(lim00yxfyx,0ε,δ时当220yx22yx,εδ总有ε要证例2设0,00,sinsin),(11yxyxyxyxfxy求证：.0),(lim00yxfyx证：故0),(lim00yxfyx,0εyx,2εδ时，当δ022yxρ0),(yxf总有ε要证若当点),(yxP不同值或有的极限不存在，解设沿直线趋于点22),(yxyxyxf222200lim),(limxkxxkyxfxkxyx在点(0,0)的极限.),(yxf故则可以断定函数极限不存则有21kkk值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同方式趋于,),(000时yxP在。例3讨论函数),(yxpkxy函数趋于),0,0(例4求.)sin(lim)2,0(),(xxyyx解这里函数xxy)sin(的定义域为},,0|),{(RyxyxD)2,0(0P为D的聚点。由积的极限运算法则，得yxyxyyxyxyxxyyxyyxyx20)2,0(),()2,0(),(lim)sin(lim])sin([lim)sin(lim例5求而620)cos1(4limrrr解因,)(2224122yxyx,222yxr令则62)cos1(4rr6402limrrr故仅知其中一个存在,推不出其它二者存在.二重极限),(lim00yxfyyxx不同.如果它们都存在,则三者相等。例如,显然),(limlim00yxfyyxx与累次极限),(limlim00yxfyx,0但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.四、多元函数的连续性定义3.设n元函数)(Pf定义在D上,)()(lim00PfPfPP,0DP聚点如果存在如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上连续.0)(PPf在点否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续,例如,函数0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点(0,0)极限不存在,故(0,0)为其间断点.又如,函数在圆周上间断.122yx结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则)()2(Pf*(4)f(P)必在D上一致连续.在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意，DQ(有界性定理)(最值定理)(介值定理)(一致连续性定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:(证明略).11lim)0,0(),(yxyxyx解原式21例5求222)3arcsin(),(yxyxyxf1322yx4222yx例6求函数的连续域.解02yx2yx111lim00yxyx2oyx2内容小结1.区域邻域:,)δ,(0PU)δ,(0PU区域连通的开集空间nR2.多元函数概念n元函数),,,(21nxxxf常用二元函数(图形一般为空间曲面)三元函数DP)(PfunRAPfPP)(lim0,0ε,0δ时，当δ00PP有ε)(APf3.多元函数的极限4.多元函数的连续性1)函数连续在0)(PPf)()(lim00PfPfPP2)闭域上的多元连续函数的性质:有界定理;最值定理;介值定理3)一切多元初等函数在定义区域内连续