资产配置之B-L模型Ⅰ理论篇——蒋瑛琨-杨喆

请务必阅读正文之后的免责条款部分金融工程数量化研究2008.12.1资产配置之B-L模型Ⅰ：理论篇蒋瑛琨杨喆[e-mail]@gtjas.com本报告导读：¾B-L模型参数估计¾B-L模型约束条件¾业绩与风险衡量摘要：zB-L模型核心思想：使用贝叶斯方法将投资者的主观观点和市场均衡收益（先验收益）相结合，从而形成一个期望收益的估计值（后验收益），这个新形成的收益向量被看成投资者观点和市场均衡收益的复杂的加权平均。z均衡收益是以市场中性为出发点来估计一系列的超额收益。如果投资者没有特别的观点，那么就可以用这些市场均衡的收益估计值，如果投资者对某些资产有特别的观点，那么就可以根据观点的信心水平来调整均衡收益，从而来影响投资组合配置。zB-L模型在均衡收益基础上通过投资者观点修正了期望收益，使得马克维兹组合优化中的期望收益更为合理，而且还将投资者观点融入进了模型，在一定程度上是对马克维兹组合理论的改进。zB-L模型中的资产收益有两个特点：一是以本国货币计价，二是超额收益，即减去本国货币的无风险利率（BlackandLitterman(1992)、SatchellandScowcroft(2000)）。zBlackandLitterman(1992)呈现了全球资产配置的实证结果（股票、债券、货币），没有给出一些参数的详细设定方法，比如观点误差矩阵Ω、标量τ等。对于观点矩阵P，投资者可以不发表观点，也不要求对所有资产都发表观点。我们比较了其他有关B-L模型的文献，对隐含均衡收益П、标量τ、观点误差矩阵Ω等参数在文中进行分析。数量化研究数量化研究请务必阅读正文之后的免责条款部分2of15目录1.B-L模型核心思想.............................................................................................................................32.B-L模型参数估计.............................................................................................................................52.1.隐含均衡收益向量(П).............................................................................................................................62.2.标量(τ)......................................................................................................................................................72.3.观点误差矩阵(Ω).....................................................................................................................................82.4.其他参数..................................................................................................................................................93.B-L模型约束条件...........................................................................................................................114.业绩与风险衡量..............................................................................................................................114.1.业绩比较................................................................................................................................................124.2.风险衡量................................................................................................................................................12本报告包括正文12页，图10张，表3张。数量化研究请务必阅读正文之后的免责条款部分3of151.B-L模型核心思想B-L模型使用贝叶斯方法，将投资者对于一个或多个资产的预期收益的主观观点与先验分布下预期收益的市场均衡向量相结合，形成关于预期收益的新的估计。这个基于后验分布的新的收益向量，可以看成是投资者观点和市场均衡收益的加权平均。BlackandLitterman(1992)对“均衡”的理解是资产的供求相平衡。“均衡组合”即市场均衡下的组合，在他的文献里（主要将模型应用于全球市场资产配置），是市场组合加80%货币套保(marketcapitalizationweights，80%currencyhedged)。股票、债券和货币等资产的均衡收益是从市场中性为出发点来估计一系列的超额收益。如果投资者没有特别的观点，那么就可以用这些市场均衡的收益估计值；如果投资者对某些资产有特别的观点，那么就可以根据观点的信心水平来调整均衡收益，从而来影响投资组合配置。马克维兹优化会出现不合情理的配置：无限制条件下，会出现对某些资产的强烈卖空，当有卖空限制时，某些资产的配置为零，同时在某些小市值资产配有较大的权重。问题的原因有：（1）期望收益非常难以估计，一个标准的优化模型，需要对所有资产都有收益估计，因此投资者就会基于他们常用的历史收益和一系列假设条件进行估计，导致不正确估计的产生。（2）组合权重对收益估计的变动非常敏感。（3）传统模型无法区分不同可信度的观点，观点不能很好被模型所表达。B-L模型在均衡收益基础上通过投资者观点修正了期望收益，使得马克维兹组合优化中的期望收益更为合理，而且还将投资者观点融入进了模型，在一定程度上是对马克维兹组合理论的改进。数量化研究请务必阅读正文之后的免责条款部分4of15图1B-L模型思路数据来源：Adzorek,“Astep-by-stepguidetotheBlack-Littermanmodel”,2004B-L模型最后新形成的后验收益为：()[]()[]QPPPRE11111''][−−−−−Ω+ΠΣΩ+Σ=ττ也可以写为：1[]'(')()ERPPPQPττ−=Π+ΣΩ+Σ−Π这里n表示资产数量k表示投资者观点数量（k=n）′表示矩阵转置-1表示逆矩阵E[R]：新(后验)收益向量(n×1列向量)τ：标量(Scalar)Σ：n个资产收益的协方差矩阵(n×n矩阵)П：隐含均衡收益向量(n×1列向量)P：投资者观点矩阵(k×n矩阵，当只有一个观点时，则为1×n行向量)Q：观点收益向量(k×1列向量)Ω：观点误差的协方差矩阵，为对角阵，表示每个观点的信心水平(k×k矩阵)当资产的期望收益为已知值时，根据Markowitz（1952）收益-方差最优化方数量化研究请务必阅读正文之后的免责条款部分5of15法，可以求得最优的资产配置组合权重（无约束）：max''2λμ−Σ1()wλμ−=Σ其中w是组合权重，μ是资产的期望收益，∑是资产收益的协方差，λ是风险厌恶系数。当μ=E[R]时，得到无约束条件下的新的资产组合权重向量：1*'(')()mktmktQwwPPPPwτλ−Ω=++Σ−ΣB-L模型的整个过程可以分解为：图2B-L模型过程分解数据来源：国泰君安证券研究所2.B-L模型参数估计在B-L模型中，风险厌恶系数2(())/fmErrλσ=−，其中E(r)是期望市场收益，fr是无风险利率，2mσ是市场收益方差；mktw是各资产的市值权重，也就是市场流通市值权重；协方差矩阵Σ一般是用历史收益求得。B-L模型中的资产收益有两个特点：一是以本国货币计价，二是超额收益，即减去本国货币的无风险利率（BlackandLitterman(1992)、SatchellandScowcroft(2000)）。因此协方差矩阵∑是超额收益的协方差矩阵，∏是先验均衡超额收益，对于观点收益向量Q和后验收益E[R]，也应是超额收益。BlackandLitterman(1992)的文献主要呈现了全球资产配置的实证结果（股票、债券、货币），没有给出一些参数的详细设法，比如观点误差矩阵Ω、标量τ等。对于P观点矩阵，投资者可以不发表观点，也不需要对所有资产发表观点。如果是不强烈的观点，量化时降低观点收益后进入收益向量Q。我们比较了其他有关B-L模型的文献，对隐含均衡收益向量П、τ、观点误差的协方差矩阵Ω等参数在下文中作以分析。数量化研究请务必阅读正文之后的免责条款部分6of152.1.隐含均衡收益向量(П)隐含均衡收益可以看成是市场均衡时的收益，BlackandLitterman(1992)在进行全球资产配置时证明了用以下方法来估计均衡收益都有缺陷，理由如下：（1）历史平均超额收益(HistoricalAverages)。问题：非中性，因为高配过去高收益的资产和低配过去低收益的资产。（2）不同市场某个资产的超额收益的均值(EqualMeans)。问题：忽略了不同市场的不同风险水平。（3）风险调整后的不同市场某个资产的超额收益的均值(Risk-AdjustedEqualMeans)。假设不同资产具有相同单位风险上的超额收益（比如债券和股票具有相同单位风险上的超额收益），风险用波动性衡量。问题：没有考虑这些资产之间的相关性。根据CAPM模型，资本市场均衡是资产按市场组合权重配置，按Markowitz收益-方差最优化过程，资产组合权重为市场权重，来进行逆优化，就可以求得隐含均衡收益。正优化：max''2λμ−Σ1()wλμ−=Σ逆优化：max''2λμ−ΣmktwwμλλΠ==Σ=Σ其中，mktw是市场组合权重，∑是资产收益的协方差，λ是风险厌恶系数。Adzorek(2002)对上述方法求均衡收益（我们称作隐含均衡收益）与其他方法进行了比较，他利用三种方法对道琼斯工业平均指数的30只股票收益进行估计，分别采用历史、CAPM和隐含均衡收益，其中基于CAPM的估计采用60个月beta、5%的无风险利率（近似于2001年末的十年期国债收益率）和7.5%的市场风险溢价。结果表明，历史收益有更大的标准差，而后两者（CAPM和隐含均衡收益）估计所得的收益十分接近，相关性达0.85。用三种估计收益求组合权重（(λ∑)-1∏），所得结果差距较大，历史收益的组合权重对市值权重偏离最大，均衡收益所得权重即市值权重，而用CAPM收益所求得的权重和市值权重的相关性仅为0.18。数量化研究请务必阅读正文之后的免责条款部分7of15Adzorek(2002)认为，在没有主观观点的前提下，均衡收益应是市场中性立场的收益。所以应使用市值逆优化方法所得的隐含均衡收益∏。我们认为，理论上，CAPM收益和隐含均衡收益应是一样的，因