同角三角函数的基本关系式与诱导公式.ppt

4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式高三备课组-2-考纲要求:1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tanα.2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α,π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.𝑠𝑖𝑛α𝑐𝑜𝑠α𝜋2考纲要求1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.-3-(2)商数关系:sin𝛼cos𝛼=tanα𝛼≠π2+𝑘π,𝑘∈Z.知识梳理2.三角函数的诱导公式-4-一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sinα-sinα-sinαsinαcosαcosα余弦cosα-cosαcosα-cosαsinα-sinα正切tanαtanα-tanα-tanα口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限知识梳理-5-3.特殊角的三角函数值角α0°30°45°60°90°120°135°150°180°角α的弧度数0𝜋6𝜋4𝜋3𝜋22𝜋33𝜋45𝜋6πsinα012223213222120cosα13222120-12-22-32-1tanα03313-3-1-3301.下列结论正确的打“”,错误的打“×”.(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.()(2)若α∈R,则tanα=sin𝛼cos𝛼恒成立.()(3)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.()(4)六组诱导公式中的角α可以是任意角.()(5)若cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则cosθ=13.()×××基础自测考向一利用同角三角函数基本关系式求值【例1】已知cosα＝－817，求sinα和tanα的值．解：∵cosα＝－817＜0，∴α是第二、三象限的角．若α是第二象限角，则sinα＞0，tanα＜0，∴sinα＝1－cos2α＝1－－8172＝1517，tanα＝sinαcosα＝－158.若α是第三象限角，则sinα＜0，tanα＞0，∴sinα＝－1－cos2α＝－1517，tanα＝sinαcosα＝158.练习.若sinα=,且α为第四象限角,则tanα的值等于()A.125B.-125C.512D.-512-513关闭∵sinα=-513,且α为第四象限角,∴cosα=1-sin2𝛼=1213,于是tanα=sin𝛼cos𝛼=-512,故选D.反思感悟：善于总结，养成习惯1．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．2．注意公式逆用及变形应用1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.1．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．2．注意公式逆用及变形应用1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.-10-例2(1)已知tanα=2,则=,4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=.2sin𝛼-3cos𝛼4sin𝛼-9cos𝛼关闭2sin𝛼-3cos𝛼4sin𝛼-9cos𝛼=2tan𝛼-34tan𝛼-9=2×2-34×2-9=-1,4sin2α-3sinαcosα-5cos2α=4sin2𝛼-3sin𝛼cos𝛼-5cos2𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=4tan2𝛼-3tan𝛼-5tan2𝛼+1=4×4-3×2-54+1=1.方法总结：弦化切考向一利用同角三角函数基本关系式求值-11-对点训练1若3sinα+cosα=0,则1cos2𝛼+2sin𝛼cos𝛼的值为()A.103B.53C.23D.-2关闭3sinα+cosα=0⇒cosα≠0⇒tanα=-13,1cos2𝛼+2sin𝛼cos𝛼=cos2𝛼+sin2𝛼cos2𝛼+2sin𝛼cos𝛼=1+tan2𝛼1+2tan𝛼=1+-1321-23=103.-12-练习2：.(教材习题改编P22T3)已知tanθ=2,则sinθcosθ=.关闭sinθcosθ=sin𝜃·cos𝜃sin2𝜃+cos2𝜃=tan𝜃tan2𝜃+1=222+1=25.-13-主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等类型可进行弦化切.sin𝛼cos𝛼𝑎sin𝑥+𝑏cos𝑥𝑐sin𝑥+𝑑cos𝑥方法总结：弦化切-14-例3(1)sin(-1200°)cos1290°+cos(-1020°)·sin(-1050°)=.关闭原式=-sin1200°·cos1290°-cos1020°sin1050°=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)=-sin120°cos210°-cos300°sin330°=-sin(180°-60°)cos(180°+30°)-cos(360°-60°)sin(360°-30°)=sin60°cos30°+cos60°sin30°=32×32+12×12=1.考向二利用诱导公式化简、求值核心考点-15-(2)设f(α)=2sin(π+𝛼)cos(π-𝛼)-cos(π+𝛼)1+sin2𝛼+cos3π2+𝛼-sin2π2+𝛼(1+2sinα≠0),则f-23π6=.思考:利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求各是什么?关闭∵f(α)=(-2sin𝛼)(-cos𝛼)+cos𝛼1+sin2𝛼+sin𝛼-cos2𝛼=2sin𝛼cos𝛼+cos𝛼2sin2𝛼+sin𝛼=cos𝛼(1+2sin𝛼)sin𝛼(1+2sin𝛼)=1tan𝛼,∴f-23π6=1tan-23π6=1tan-4π+π6=1tanπ6=3.-16-类型二利用诱导公式求值例4(1)已知sinπ3-𝛼=12,则cosπ6+𝛼=;(2)已知tanπ6-𝛼=33,则tan56π+𝛼=.关闭(1)∵π3-𝛼+π6+𝛼=π2,∴cosπ6+𝛼=cosπ2-π3-𝛼=sinπ3-𝛼=12.(2)∵π6-𝛼+5π6+𝛼=π,∴tan5π6+𝛼=-tanπ-5π6+𝛼=-tanπ6-𝛼=-33.-17-练习.将sin(-2015°)化为锐角的三角函数结果是()A.sin35°B.cos35°C.-sin35°D.-cos35°关闭sin(-2015°)=-sin2015°=-sin(5×360°+215°)=-sin215°=-sin(180°+35°)=sin35°.-18-4.(2015广州调研)已知sin5π2+𝛼=15,那么cosα=()A.-25B.-15C.15D.25关闭∵sin5π2+𝛼=sinπ2+𝛼=cosα,∴cosα=15.故选C.反思感悟：善于总结，养成习惯1．化简是一种不指定答案的恒等变形，其结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．2．诱导公式的应用原则：去负、脱周，化锐．3．化简前，注意分析角的结构特点，选择恰当的公式和化简顺序．-20-利用sinα±cosα与sinαcosα关系求值例5已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根为sinθ和cosθ,且θ∈(0,2π).(1)求的值;(2)求m的值;(3)求方程的两根及此时θ的值.sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos𝜃1-tan𝜃解:(1)由根与系数的关系可知sin𝜃+cos𝜃=3+12,①sin𝜃·cos𝜃=𝑚2,②而sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos𝜃1-tan𝜃=sin2𝜃sin𝜃-cos𝜃+cos2𝜃cos𝜃-sin𝜃=sinθ+cosθ=3+12.(2)由①两边平方得1+2sinθcosθ=2+32,将②代入得m=32.考向三同角三角函数基本关系式与诱导公式的综合应用-21-(3)当m=32时,原方程变为2x2-(1+3)x+32=0,解得x1=32,x2=12,则sin𝜃=32,cos𝜃=12或sin𝜃=12,cos𝜃=32.∵θ∈(0,2π),∴θ=π6或π3.反思感悟：善于总结，养成习惯和积转换法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2的关系,进行变形、转化.课堂总结感悟提升1．同角关系及诱导公式要注意象限角对三角函数符号的影响，尤其是利用平方关系在求三角函数值时，进行开方时要根据角的象限或范围，判断符号后，正确取舍．2．三角求值、化简是三角函数的基础，在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法，主要利用公式tanx＝sinxcosx化成正弦、余弦函数；(2)和积转换法：如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化；(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ＋11＋tan2θ＝tanπ4＝….注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．3．利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负——脱周——化锐．特别注意函数名称和符号的确定．