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3.2.1圆盘空间的切向剪切传动①工作原理形状记忆合金驱动的磁流变液在两圆盘空间的切向剪切传动如图3.1所示。加热形状记忆合金驱动弹簧，使形状记忆合金驱动弹簧轴向伸长，从而驱动磁流变液进入主动盘和从动盘之间形成的工作腔中。当励磁线圈通入电流后，磁流变液中的悬浮粒子在磁场作用下产生磁化，沿磁场方向相互吸引形成链状，这种链状结构增大了磁流变液的剪切应力，依靠这种剪切应力实现主动圆盘与从动圆盘之间的转矩的传递。在低温下形状记忆合金驱动弹簧被压缩，在离心力和工作腔中压缩空气的作用下，磁流变液通过导管流回储油腔中保存起来。图3.1形状记忆合金驱动的磁流变液在两圆盘间的剪切传动②流动模型磁流变液在两圆盘间的剪切模型如图3.2所示，磁流变液工作在内外半径分别为R1和R2、相距为h(hr)的两个平行圆盘的间隙中。主动盘以角速度1沿z方向旋转，两圆盘间的磁流变液受到剪切，从而带动从动盘以角速度2转动。设磁流变液在两圆盘间的平行流动中，磁流变液沿径向和和轴向没有流动(0ru，0zu)，磁流变液的切向速度u是z和r的函数，即u=u(z,r)。hMRfluidDriving-discDriven-disc1ShaftCoilassemblyFluxpathOilchamberSMAspringCompressedairrWorkinggapPipe2图3.2磁流变液在两圆盘间的周向流动Fig.3.2CircularflowmodeofMRfluidbetweentwocircularplates③控制方程与边界条件柱坐标下，磁流变液在两圆筒间沿方向的运动方程为[170]112rrzrzruuuuuuuuutrrzrpfrrrzr(3.1)式中，是磁流变液密度；u为切向速度；t为时间；ru为径向速度；f为方向的质量力；ij为应力张量。对于如图3.2中所示的磁流变液在两平行圆盘间的受剪流动，假设磁流变液为不可压缩流体，磁流变液对称稳态流动(0，0t)，流速只沿切向分布，忽略质量力，无外加应力，则方程(3.1)可简化为20rzrrzr(3.2)式中，r和z为磁流变液的剪切应力。由式(3.2)可知，磁流变液在两平行圆盘之间的流动是一个二维问题。在这种情况下，磁流变液的切向速度u是r和z的函数，即(,)uuzr。根据假设条件，可知0u，也就是说流速分量u在方向并不变化，沿各坐标方向的流速为0(,)0rzuurzru(3.3)式中，r为微圆环的半径，(,)zr是磁流变液在圆盘厚度方向的角速度，它是z和r的函数。12hzR1R20MRFzr由于磁流变液在两圆盘间的流动方程(3.2)是一个非线性偏微分方程，剪切速率受两个方向的速度梯度的影响，无法得到解析解，因此必须应用数值解法。然而，一维本构方程（如Bingham、Herschel–Bulkley等）无法运用于数值解法。由本文第二章的分析可知，在外加磁场作用下，磁流变液的三维本构模型可表示为(2)0(2)0ijNijyijNGFsFJ(3.4)式中，ijs为偏应力张量，ij为应变张量，G是未屈服部分材料的弹性模量；是被屈服液体的粘度；y为屈服应力，)2(J为应变率张量第二基本不变量，ij为应变率张量，(2)(2)22NyFJJ。方程(3.4)的一维形式为121212121212(2)yyyGsss(3.5)当12ys时，式(3.5)即为Bingham本构模型。然而，在本构方程(3.5)中，当剪切应变率趋于零时(120)，表观粘度(12y)趋于无穷大，从而导致不连续，在数值计算中无法得到数值解。为了避免这种情况，Bercovier和Engelman[174]对Bingham模型进行了修正以近似表达磁流变液的流变行为(2)(2)yijijsJ(3.6)式中，为修正系数。经过修正系数的修正，在Bercovier-Engelman模型中类似固体未屈服的材料近似地由很高粘度的液体代替，如图3.3所示。图3.3经过修正的Bingham模型在柱坐标下应变率的一般形式为zzzrzrrzrrij212121212121)(zrji，，，应变率各分量由速度分量表示，则1111()()221111111()()22111()()22rrzrrzrijzrzzuuuuuurzrrrruuuuuuurrrrrzruuuuurzrzz(3.7)偏应力张量在极坐标系下的一般形式为000zzzrzrrzrrijs(3.8)根据假设条件和式(3.3)，方程(3.7)简化为y减小1(,)0()021(,)1(,)()0()221(,)0()02ijzrrrzrzrrrrzzrrz(3.9)变形率的第二不变量为222(2)221()41(,)(,)4rzzrrzzrJzrzrrrrz(3.10)由于只有两个非零的变形率张量和应力张量分量，因此它们可以表示为矢量形式rijzs，12ijrrrz(3.11)为了简化，式中用代替(,)zr表示速度。结合方程(3.10)和(3.11)，得到Bercovier-Engelman本构方程(3.6)的简化形式为222yrzrrrrzrz(3.12)假设与主动盘相接触的磁流变液的流速与主动盘转速相同，1，沿从动盘方向磁流变液的流速递减并在从动盘处流速与从动盘转速相同，2。假设磁场只分布在内外半径之间。没有外加磁场时，磁流变液的屈服应力为零00yH，此时磁流变液表现为牛顿流体。基于以上假设，要用到牛顿粘性方程uz。由于两圆盘间的间隙很小，所以假设在顶部与底部之间速度承线性分布，于是，边界条件为21211212121222(0,)(,)(,)0(,)0rRrRhrRrRzRzzhhzRzzhh(3.13)引入以下无量纲参数以使运动方程、本构方程和边界条件无量纲化ˆijijy，1ˆijij，1ˆ，1yBn，1ˆ，ˆrrh，ˆzzh(3.14)使用这些无量纲参数，得到方程(3.2)、(3.12)和(3.13)的无量纲形式为ˆˆ2ˆ0ˆˆˆrzrrzr(3.15a)22ˆˆˆ11ˆˆˆˆˆˆˆˆ2ˆˆˆrzrrBnrrzrz(3.15b)21212122222ˆˆˆˆˆˆ(0,)ˆˆˆˆˆ(1,)1ˆˆˆˆˆˆˆ(,)101ˆˆˆˆˆˆˆ(,)101rRrRrRrRzRzzzRzz(3.15c)④流动分析由于无法解得偏微分方程组(3.15a)和(3.15b)的解析解，故应用有限差分法求解方程组(3.15a)和(3.15b)的数值解。在此方法中，速度偏导数由有限差分公式代替，因此，偏微分方程组简化为一个代数方程组。只在节点处进行计算，而其他区域不参与计算，如图3.4所示。图3.4计算区域及节点Fig.3.4ThesolutiondomainandthenodesinFDM计算步骤如下(1)由方程(3.15b)得到rrˆˆ和zzˆˆ的解析式。上述偏导数是速度的方程。(2)速度偏导数由有限差分公式代替。无量纲化的速度偏导数为2222222ˆˆˆ(,1)(,1)ˆ2ˆˆˆ(1,)(1,)ˆ2ˆˆˆˆ(,1)2(,)(,1)ˆˆˆˆˆ(1,)2(,)(1,)ˆˆˆˆˆˆ(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)ˆˆ4rzrzrijijrhijijzhijijijrhijijijzhijijijijrzhhz式中的符号在图3.4中也用到。ˆ(,)ij为节点),(ji的速度；rh和zh分别为r向和z向两节点间的距离。(3)方程(3.15a)的偏导数由代数方程代替。(4)编写第3步中代数方程的MATLAB代码。运用方程(3.15c)给出的边界条件，求得每个节点的速度值。基于上述理论，应用迭代有限差分法并用MATLAB编写程序计算获得角速度分布等值线，如图3.5所示。分析计算中假设已知以下参数：125mmR，j=1i=1j=mi=njiz=0z=hr=R1r=R2i,jhzhri+1,ji-1,ji,j-1i,j+1i+1,j+1i+1,j-1i-1,j-1i-1,j+1250mmR，1mmh，0.28Pas，1100rad/s，220rad/s，50kPay。从以上参数中可以求得无量纲参数为：1ˆ25R，2ˆ50R，2ˆ0.2，1785nB，ˆ0.0151015202530354045505101520253035404550图3.5角速度分布等值线Fig.3.5Thecontourlinesofangularvelocity由图3.5可知，磁流变液在两平行圆盘间剪切流动的角速度(,)zr在半径r方向的变化很小，因此可以假设(,)0zrr，角速度只是z的函数。于是，运动方程(3.2)可进一步简化为0zz(3.16)积分(3.16)式得1zc(3.17)式中，1c为积分常数。由(3.17)式可知，在两平行圆盘间作剪切流动的磁流变液受到剪切应力处处相等。如果工作间隙中的磁流变液有一处地方作剪切屈服流动，则处处做剪切屈服流动，反之，如果有一处未屈服则处处未屈服。经过简化后的运动方程(3.16)式，形式更简单，为了简化计算过程，可采用一维本构方程来描述磁流变液流变行为。一维流动本构方程可由Herschel-Bulkley模型来描述yzyzmyz0sgn(3.18)式中，m、为大于零的常数，由实验确定。剪应变率为d()dzrz(3.19)当yz时，磁流变液处处未屈服，类似固体。工作间隙中的磁流变液的运动角速度处处相等且等输入和输出角速度12()z(3.20)当yz时，工作间隙中的磁流变液处处作剪切屈服流动，将式(3.18)和(3.19)代入(3.17)得11d()1dmyczzr(3.21)积分(3.21)式，并应用边界条件：在z=0处，2)(z；在z=h处，1)(z。得流动角速度方程为122()()zzh(3.22)⑤传递转矩对于如图3.2中所示的磁流变液在两圆盘间的流动，设圆盘的工作面积为半径从R1到R2的圆环，在半径r处取一微圆环面积dA，dA=2πrdr；产生的作用力为dF，dF=τdA，τ为磁流变液的剪切应力；传递的转矩为dM，则有dM=rdF，即dM