WienerFilter

WienerFilterSunSonglin滤波的条件及要求•⑴有用信号s(t)是随机过程＋加性噪声n(t)==输入x(t)–假设s(t),n(t)是联合宽平稳的，具有已知的自相关函数和互相关函数（或对应的谱密度函数）•⑵滤波器是线性时不变的•⑶输出是宽平稳的，即稳态滤波的含义。–理论上可认为输入信号x(t)是在t=-∞时加入的，因此，在任何有限时刻t，输出y(t)是宽平稳的。•⑷选取滤波器的h(t)，使估计的均方误差最小。平稳随机过程的最佳线性滤波•滤波器的理想输出为s(t+a)•估计的误差为e(t)=s(t+a)-y(t)222()()2()()()etststytyt()()()ythuxtudu2,()()()2()()(0)xsxsEehuhvRvududvhuRuduR估计误差的平方为：而代入上式，两边取数学期望，得到均方误差：Rss(t)的自相关函数Rxx(t)=s(t)+n(t)的自相关函数Rs,xs(t)和x(t)之间的互相关函数,xsnsxsRRRRR(t)eE2若信号s(t)和噪声n(t)不相关，且噪声均值为零，即E[n(t)]=0，则有：维纳滤波就是希望求出最优h(u)，使得最小。为此可以利用变分法求解。令冲击响应为：h(u)+.(u)h(u)—最佳冲击响应(u)—任意扰动函数--小的扰动因子当--0，冲击响应--h(u)最佳冲击响应。2,[()()][()()]()2[()()]()(0)xsxsEehuuhvvRvududvhuuRuduR(t)eE220Ee(t)0,()()()()0sxxRhuRudud容易看出是的函数，当=0时取最小值，故可求改写积分变量后，可得：此时需要分为物理不可实现（非因果）和物理可实现（因果）的两种情况来讨论物理可实现（因果）维纳滤波器()0,()0,0h)(,0时,()()(),xsxhuRuduR,()()()0,0xsxhuRuduR0原h(u)+.(u)而可为任意函数。则有：此即Wiener-Hopf方程，仅在成立，求解复杂。求解方法有两种：频谱因式分解法，预白化方法。频谱因式分解法,()()()(),xsxhuRuduRa,()()()exp()()xsxHpSpSppAp)(pSx()()()xxxSpSpSp)(pSx)(pSx－,[()()]()()exp()()xxsxHpSpSpSppAp,()exp()()()()()()sxxxxSppApHpSpSpSp两端求双边拉氏变换得：现对谱密度进行因式分解得：的极点均在左半平面，对应正时间函数；的极点均在右半平面，对应负时间函数；故有：)(a为负时间函数,()exp()1()()()sxxxSppHpSpSp正时间部分,0()11()()2()pcjsxptptcjxxSpeHpeedpdtSpjSp2,min(0)()(),0.ssxEeRhRd先求上式中[]的逆变换，再求单边拉氏变换得：此时最小均方误差为：22,min0(0)()sszEeRRtdt物理可实现,()()(),()szREstzt)()(,zsR222min0(0)()(0)()ssEeRtdtRd令则)(2t由于是非负的，因此、最小均方误差随着值的增大而单调地增大。离散时间维纳滤波器()()()1,..iiiiiixxtstntsniN，1122...NNNykxkxkxNkkk,...,211122(...)NNNNNNesyskxkxkx对输入信号x(t)=s(t)+n(t)进行采样，ti时刻的数据xi：tN时刻的输出样本yN为以前输入样本的线性加权和：其中为权重序列，则无延时滤波的估计误差：均方误差为：2211222222222112212121313112323242422111122(...)...22...222..2...222...2NNNNNNNNNNNNNNNNNEeEskxkxkxEskExkExkExkkExxkkExxkkExxkkExxkkExxkkExxkkExxkExskExskNNNExsNkkk,...,212NeE2NeENkkk,...,21Nkkk,...,21维纳滤波的目的是求权重序列使得均方误差达到最小值。对的偏导数为零的联立方程就可以得到N个求解令假定信号与噪声的自相关函数与互相关函数已知，则式中数学期望也已知，即可解出Nkkk,...,21维纳滤波器的形式解•考虑实时和非实时处理问题21121112212222212NNNNNNNNNNExExxExxkExsExxExExxkExskExsExxExxEx11ˆZm2/)(ˆ212ZZm3/)(ˆ3213ZZZmNZZmNN/)...(ˆ1假定一常值信号＋噪声Z=m+ni求样本均值作为常值信号的估计计算步骤如下：1、测Z1存储Z1计算均值估计2、测Z2存储Z2计算均值估计3、测Z3存储Z3计算均值估计4、测ZN存储ZN计算均值估计11ˆZm21221ˆ21ˆZmm＋32331ˆ32ˆZmm＋NNNZNmNNm1ˆ1ˆ1＋第二种方法每次新的估计仅由上一次估计及新的观测样本构成而与过去的观测样本无关。计算步骤如下：1、测Z1计算均值估计2、测Z2计算3、测Z3计算依次类推则有：测ZN计算维纳滤波卡尔曼滤波随机过程平稳、宽平稳平稳、非平稳先验信息要求要求求解结果传输函数、冲击响应递推算法估计准则线性最小均方误差线性最小均方误差所用数据全部历史数据当前观测＋前次估计估计对象单一估计量可同时估计多个变量估计误差需另外计算可自动生成协方差