大学毕业论文《微分中值定理及其应用》

分类号编号2013010715毕业论文题目微分中值定理及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名班级学号研究类型应用研究指导教师提交日期2013年5月18日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日微分中值定理及其应用（数学与统计学院，天水，741000）摘要本文探讨了微分中值定理之间内在的联系、几何意义上的联系。通过经典实例，系统地给出了微分中值定理在证明不等式、求极限、证明某些不等式、讨论方程根的存在性、积分估值、级数收敛性等方面的广泛应用，有利于后续工作者的学习与参考]1[。关键词中值定理；联系；应用DifferentialmeanvaluetheoremanditsapplicationLiJiqiang(Schoolofmathematicsandstatistics,TianshuiNormalUniversity,741000)AbstractThispaperdiscussestherelationshipbetweenthedifferentialmeanvaluetheorem,thegeometricmeaningofintrinsicrelationon.Theclassicexample,systematicallypresentsthedifferentialmeanvaluetheoreminprovinginequality,limit,provesomeinequalities,discusstheexistingwidelyused,integralestimation,seriesconvergenceequationroot,learningandreferenceforsubsequentworkers.KeywordsMeanvaluetheorem；connection；apply.目录0.引言.............................................................11.预备知识.........................................................22.微分中值定理的内在联系...........................................32.1三个中值定理之间的联系.......................................32.2几何意义上的相互联系.........................................43.微分中值定理的应用...............................................43.1利用几何意义解题............................................63.2证明不等式和求极限...........................................73.3证明某些等式问题.............................................83.4讨论方程根的问题............................................103.5积分估值....................................................113.6级数收敛性..................................................124.结语............................................................13参考文献.........................................................14.数学与统计学院2013届毕业论文1微分中值定理及其应用0.引言微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中占有重要地位,是研究函数在某个区间的整体性质的有力工具.它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,微分中值定理公式架起了沟通函数与导数之间的桥梁,函数的许多重要性质如单调性、极值点、凹凸性等均可由函数增量与自变量增量间的关系来表述]4[.由于函数在一点的导数是局部性质,只反映函数在这点近旁的性质,而实际研究中又常常要用函数全局性质,于是要从导数给出的局部性质推出函数在整个定义域上的性质,这就要利用微分中值定理来达到这个目的.1.预备知识]2[通常所说的微分中值定理包括三个定理:罗尔定理、拉格朗日定理和柯西定理。罗尔定理:如果函数)(xf满足以下条件：①在区间],[ba上连续；②在),(ba内可导；③)()(bfaf；则至少存在一个),(ba，使得.0)('f拉格朗日定理:若函数)(xf在区间],[ba满足以下条件：在],[ba上连续;在),(ba内可导;则在),(ba中至少存在一个),(ba，使得abafbff)()()('成立.柯西定理:设函数)(),(xgxf满足以下条件：在闭区间],[ba上连续；在区间),(ba内可导；)('xf与)('xg在),(ba内不同时为零，且)()(bgag，则存在),(ba，使得)()()()()()(''agbgafbfgf.本文将讨论微分中值定理的内在联系,并阐述它的若干应用,如利用微分中值定理的几何意义解题,讨论导函数零点的存在性、研究函数性态、证明不等式和求极限等.2.微分中值定理的内在联系我们知道,罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理统称为微分中值定理.它们之间有着密切的联系,拉格朗日中值定理是罗尔定理的广,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.我们可以利用辅助函数法在罗尔定理基础上推导出另外两个定理,使它们更好地联系起来.数学与统计学院2013届毕业论文22.1三个中值定理之间的联系定理:设)(),(),(xhxgxf在],[ba上连续，在),(ba上可导，则至少存在一点),(ba，使得'''()()()()()()()()fagahafbgbhbfgh=0.证明:作辅助函数)(xF,令)(xF=)()()()()()()()()(xhxgxfbhbgbfahagaf由行列式的性质即知0)()(bFaF.又显然)(xF在],[ba上连续,在),(ba内可导,根据求导法则及罗尔中值定理可知),(ba,使得:'()F='''()()()()()()()()fagahafbgbhbfgh=0证毕.特别地:①若令),()(),,(,)(,1)(bfafbaxxxgxh就可得到罗尔定理的结论0)('F②若令),,(,)(,1)(baxxxgxh可以得到拉格朗日中值定理()()fafbba='()f③若令),,(,0)(,1)('baxxgxh则有''()1()()1()()0fagafbgbfg=0，从而可得柯西定理''()()()()()()fbfafgbgag这样三个中值定理就很好地联系在一起,它特别用到辅助函数法,恰到好处地处理了三者的关系:罗尔定理是拉格朗日中值定理的特例,柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广.数学与统计学院2013届毕业论文32.2几何意义上的相互联系]5,4[再从几何意义上阐述三个中值定理的联系.首先看Lagrange定理的几何解释(弦线法).如图1(a),假定可导函数)(xf的曲线上任一点的切线为T,将AB固定,让切线的切点从A向B变动,可以发现总存在一条切线T,它与割线AB是平行的,这种平行性质在高等数学中可用Lagrange定理来反映.Lagrange定理建立了函数)(xf在],[ba上平均变化率()()fbfaba(整体性质)，与该函数在),(ba内某点处导数'()f(局部性质)之间的联系,即表明函数在一个区间上的平均变化率等于函数在该区间上某一瞬时变化率,从而为利用导数解决函数整体性质问题提供了可能性.当然,定理只指出了的存在性,没有提供确定值的方法.在Lagrange定理中,若两端点的纵坐标相等(图1(b)),此时在曲线弧AB上至少有一点,在该点处曲线切线是水平的,这正是Rolle定理的几何解释.在Cauchy中值定理中,如果把图1(c)中的曲线用参数方程表示:()()xgtyft,那么弦AB的斜率就是()()()()fbfagbga,而''()()fg就是曲线上某点的切线斜率(图1(c)),这样Cauchy定理与Lagrange定理就有着相同的几何解释了：“在曲线上至少存在一条切线平行于端点的连线.”三个微分中值定理正是这一几何特征在不同条件(主要是曲线方程的不同)下分析表述的结果,微分学三个中值定理由一条曲线串在一起,其内在联系清晰了.数学与统计学院2013届毕业论文43.微分中值定理的应用微分中值定理是微分学的基本定理,在数学分析中占有重要地位,是研究函数在某个区间整体性的有力工具.它架起了沟通函数与导数之间的桥梁,应用十分广泛.下面例举几个它在解一些较为典型的数学问题中的应用.3.1利用几何意义解题]4[由上面可以得出Lagrange定理几何意义处于特别重要的地位,另外两个定理的几何意义可由它改变条件而得到.下面着重利用Lagrange定理几何意义(通常称弦线法)来进行一些题目的思考和解答.例1设()fx是可微函数,导函数'()fx严格单调递增,若()()fafb,)(ba.求证:对于一切x),(ba,有()()()fxfafb.证明:如图2,作弦线AC,BC,利用拉格朗日定理,(,)ax,),(bx，使得导数'()f,'()f分别等于弦AC,BC的斜率,但因为'()fx严格单调递增,所以可以得到''()()ff，即有弦AC的斜率小于BC的斜率..因而:()()()()fxfafxfbxaxb.根据已知不等式整理得：()()()fxfafb.3.2证明不等式和求极限微分中值定理的核心是拉格朗日中值定理,罗尔定理是它的特例,柯西中值定理是它的推广.由拉格朗日中值定理可得微分中值式:'()()()()fbfafba]3[.例2设2eabe，证明：2224lnln()babae.证明:对函数2lnx在[,]ab上应用拉格朗日中值定理,得:数学与统计学院2013届毕业论文5222lnlnln(),babaab（3.2.1）设ln()ttt，则'21ln()ttt，当te时，'()0t.所以()t单调递减，从而2()()e，即222lnln2eee，将它代入（3.2.1）式,故得2224lnln()babae.例3已知1111(1)(2)(3()nannnnnnnnn，试求limnna.解：设()2fxx，对()fx在区间[(),(1)]nnknnk上用拉格朗日中值定理得:2(1)2()1(1)()nnknnknnknnk，[(),(1)]nnknnk.故11122(1)()nknknnnnknnk，当0,1,,1kn时,共有n个不等式,将这n个不等式相加得:1111(1)(2)(3()nnnnnnnnn2111222(1)(21)nnnnn，即：22112222nnaann