MATLAB 非线性规划 建模 灵敏度分析

MATLAB非线性规划问题的建模与分析小组成员：问题与背景介绍数学模型建立拟合函数求销售利润最大化时最优解01020304目录灵敏度分析0501Options问题与背景介绍问题与背景介绍售价与销售量某批发公司欲以20元/件的价钱购进一批短袖并销售获利，短袖售价与预期销售量之间的关系如表1。表1售价和预期销售量之间的关系售价（元）202530354045505560预期销售量（千件）4.13.83.43.22.92.82.52.22广告费与销售量为尽快收回资金并获得较多的赢利，公司准备投入一定的广告经费，投入的广告费与销售增长倍数关系如表2。表2广告费和销售增长倍数之间的关系背景广告费（万元）01234567销售增长倍数1.01.41.71.851.952.001.951.8如何采取适当的营销策略，使得公司的预期利润最大？问题问题与背景介绍02Options数学模型建立广告费为（万元）获得的利润为（元）投入广告后实际销售量为（千件）销售增长倍数为（倍）预期销售量为（千件）数学模型建立yzksP售价为（元）x参数数学模型建立数学模型建立利润是收入减支出，收入是售价乘以销售量，支出包括成本和广告费，成本是进货单价20乘以销售量。因此利润为(4)10)20)()(()20(20102120zxaxabzbzbzxkyzssxP数学模型建立因此,模型为10)20)()(()(max102120zxaxabzbzbxP6020..xts70z03Options拟合函数拟合函数建模中可以看出，预期销售量与售价可能存在的线性关系，于是运用多项式拟合的函数polyfit()对预期销售量与售价的关系进行拟合，并检验拟合效果：x=[202530354045505560];y=[4.13.83.43.22.92.82.52.22.0];a=polyfit(x,y,1);y1=polyval(a,x);figure(2)plot(x,y,'ro',x,y1,'-')gridonxlabel('x售价(元)'),ylabel('y预期销售量（千件)')title(['售价与预期销售量的拟合效果图'])10axay拟合函数拟合结果为：a=-0.05135.0422即0422.50513.0xy拟合函数建模中可以看出，广告费与销售增长因子可能存在的线性关系，于是运用多项式拟合的函数polyfit()对广告费与销售增长因子的关系进行拟合，并检验拟合效果：z=[01234567];k=[1.001.401.701.851.952.001.951.80];b=polyfit(z,k,2)y1=polyval(b,z)figure(2)plot(z,k,'ro',z,y1,'b')gridonxlabel('z广告费(万元)'),ylabel('k销售增长因子')title(['广告费与销售增长因子的散点图'])2210zbzbbk拟合函数拟合结果为：b=-0.04260.40921.0188即0188.14092.00426.02zzk拟合函数因此,模型转换为10)20)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0()(max2zxxzzxP6020..xts70z04Options求销售利润最大化时最优解求解销售利润最大化时的最优解建模求即求10)20)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0()(max2zxxzzxP]10)20)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0[()(min22zxxzzxP6020..xts70z求解销售利润最大化时的最优解编程1、建立最优求解函数optimfun函数functionf=optimfun(x)f=-((-0.0426*x(2).^2+0.4092*x(2)+1.0188)*(-0.0513*x(1)+5.0422)*(x(1)-20)-x(2)/10);其中x(1)为售价x，x(2)为广告费z2、建立约束函数function[f,ceq]=confun(x)f=-((-0.0426*x(2).^2+0.4092*x(2)+1.0188)*(-0.0513*x(1)+5.0422)*(x(1)-20)-x(2)/10);ceq=[];3、用fminsearch函数求解x0=[20;0];vlb=[20,0];vub=[60,7];[U,fmin]=fminsearch(@optimfun,x0)其中x0是初始值，x(1)售价的范围是[20,60]，x(2)广告费的范围是[0,7]求解销售利润最大化时的最优解运行结果U=59.14434.7879fmin=-156.8461表示当售价为59.1443元，广告费为4.7879万元时，利润最大，且最大利润为156.846105Options灵敏度分析灵敏度分析灵敏度分析是指对系统或周围事物因周围条件变化显示出来的敏感程度的分析，如市场条件一变，值就会变化。因此提出以下问题：当成本价发生变化时，已求得的线性规划问题的最优解会有什么变化？最大利润下的售价和广告费又会有什么变化？灵敏度分析模型其中的20是短袖的进价，即产品的成本。如果成本上升或下降，对最大利润有什么影响呢？对售价和广告费的取值又有什么影响呢？在这里我们分别讨论成本价上下浮动20%和10%对结果的影响。])20)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0[()(min22zxxzzxP6020..xts70z灵敏度分析成本上浮20%即运行结果：U=61.14424.7862fmin=-141.1804表示当售价为61.1442元，广告费为4.7862万元时，利润最大，且最大利润为141.1804其中售价上升，广告费用下降，最大利润下降。])24)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0[()(min22zxxzzxP6020..xts70z灵敏度分析成本上浮10%即运行结果：U=60.14424.7871fmin=-148.9105表示当售价为60.1442元，广告费为4.7871万元时，利润最大，且最大利润为148.9105其中售价上升，广告费用下降，最大利润下降。6020..xts70z])22)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0[()(min22zxxzzxP灵敏度分析成本下降10%即运行结果：U=58.14424.7886fmin=-164.9870表示当售价为58.1442元，广告费为4.7886万元时，利润最大，且最大利润为164.9870其中售价下降，广告费用上升，最大利润上升。6020..xts70z])18)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0[()(min22zxxzzxP灵敏度分析成本下降20%即运行结果：U=57.14434.7893fmin=-173.3332表示当售价为57.1443元，广告费为4.7893万元时，利润最大，且最大利润为173.3332其中售价下降，广告费用上升，最大利润上升。6020..xts70z])16)(0422.50513.0)(0188.14092.00426.0[()(min22zxxzzxP灵敏度分析即根据上述运行的结果，可以汇总出如下的表格。成本售价广告费用最大利润成本上浮20%2461.14424.7862141.1804成本上浮10%2260.14424.7871148.9105不变2059.14434.7879156.8461成本下降10%1858.14424.7886164.9870成本下降20%1657.14434.7893173.3332可以看出：随着成本的逐渐上升，最大利润时的售价逐渐下降，最大利润时的广告费用逐渐上升，最大利润逐渐上升。灵敏度分析绘制Matlab图形编程如下：subplot(2,2,1)j=[1618202224];z=[61.144260.144259.144358.144257.1443];plot(j,z,'b');gridonxlabel('成本(元)'),ylabel('售价(售价)')title(['成本与售价的灵敏度分析'])subplot(2,2,2)j=[1618202224];z=[4.78624.78714.78794.78864.7893];plot(j,z,'b');gridonxlabel('成本(元)'),ylabel('广告费用(万元)')title(['成本与广告费用的灵敏度分析'])subplot(2,2,3)j=[1618202224];z=[141.1804148.9105156.8461164.9870173.3332];plot(j,z,'b');gridonxlabel('成本(元)'),ylabel('最大利润(万元)')title(['成本与最大利润的灵敏度分析'])灵敏度分析绘制Matlab图形