高等代数(高教版张禾瑞著)课件ppt版(9章)

第九章二次型9.1二次型和对称矩阵9.2复数域和实数域上的二次型9.3正定二次型9.4主轴问题惠州学院数学系我思故我在。-----笛卡儿(ReneDescartes，1596-1650)如果我能够看的更远，那是因为我站在巨人的肩上。---牛顿（Newton,1642－1727）惠州学院数学系9.1二次型和对称矩阵一.内容分布9.1.1二次型及矩阵9.1.2线性变换9.1.3矩阵的合同9.1.4二次型的标准形二.教学目的1.掌握二次型及其矩阵的定义以及矩阵的合同2.理解关于二次型的线性变换3.了解二次型的标准形三.重点难点:合同、线性变换、二次型的标准形惠州学院数学系9.1.1二次型及矩阵定义1设F是一个数域，F上n元二次齐次多项式（1）nnnnnnnnxxaxxaxxaxaxaxaxxxq1,13113211222222211121222),,,(叫做F上的一个n元二次型。F上n元多项式总可以看成F上的n个变量的函数，二次型（1）定义了一个函数所以n元二次型也叫n个变量的二次型..:FFqn在（1）中令因为所以（1）式可以写成以下形式：.),1(njiaajiij,ijjixxxx惠州学院数学系（2）ninjjiijjiijnaaxxaxxxq1121,),,,(是（2）式右端的系数所构成的矩阵,称为二次型的矩阵。因为,所以A是F上的一个n阶对称矩阵，利用矩阵的乘法，（2）式可以写成)(ijaA令),,,(21nxxxqjiijaa（3）nnnxxxAxxxxxxq212121),,,(),,,(二次型（3）的秩指的就是矩阵A的秩。惠州学院数学系9.1.2线性变换如果对二次型（3）的变量施行如下的一个变换：（4）),1(,,,2,1,1njiFpniypixijnijji那么就得到一个关于的二次型nyyy,,,21),,,(21nyyyq（4）式称为变量的线性变换，令是（4）的系数据构成的矩阵，则（4）可以写成)(ijpP惠州学院数学系（5）nnyyyPxxx2121将（5）代入（3）就得到（6）nnnyyyAPPyyyyyyq212121),,,(),,,(矩阵P称为线性变换（4）的矩阵。如果P是非奇异的，就称（4）是一个非奇异线性变换。因为A是对称矩阵，所以也是对称矩阵。APPAPPPAPAPP.)(惠州学院数学系推论9.1.2一个二次型的秩在变量的非奇异线性变换之下保持不变。注意:如果不取二次型的矩阵是对称矩阵，则推论9.1.2不成立定理9.1.1设是数域F上的一个以A为矩阵的n元二次型。对它的变量施行一次以P为矩ninjjiijxxa11APP阵的线性变换后所得到的二次型的矩阵是。惠州学院数学系9.1.3矩阵的合同定义2设A，B是数域F上的两个n阶矩阵。如果存在F上的一个非异矩阵P，使得那么称B与A合同。BAPP矩阵的合同关系的性质：③传递性：如果B与A合同，C与B合同，那么C与A合同。①自反性：任意矩阵A都与自身合同，因为IAI=ABAPPABPPBPP1111)()(②对称性：如果B与A合同，那么A也与B合同，因为由可以得出惠州学院数学系事实上，由可得合同的矩阵显然有相同的秩，并且与一个对称矩阵合同的矩阵仍是对称的.CBQQBAPP和CBQQAPQPQPQAPQ)()(是数域F上两个n元二次型，它们的矩阵分别为A和B.如果可以通过变量的非奇异线性变换将，则B与A合同.反之，设B与A合同.于是存在F上非奇异矩阵P使得.通过以P为矩阵的非奇异线性变换就将.qq和设qq变为APPBqq变为F上两个二次型叫等价，如果可以通过变量的非奇异线性变换将其中一个变成另一个.惠州学院数学系定理9.1.3数域F上两个二次型等价的必要且充分条件是它们的矩阵合同。等价的二次型具有相同的秩。定理9.1.4是数域F上的一个n阶对称矩阵。总存在F上一个n阶非奇异矩阵P，使得)(ijaA令ncccAPP0021即F上的一个n阶对称矩阵都与一个对角形式矩阵合同。惠州学院数学系证我们将利用矩阵的初等变换来证明这个定理。回忆一下5.2里所定义的三种初等矩阵容易看出，)()(,kTkDPijiji和)()();()(;kTkTkDkDPPijijiijiji)(ijaA设OA)(ijaA设OA现在对矩阵A的阶n作数学归纳法，n=1时定理显然成立。设n1，并且假设对于n–1阶对称矩阵来说，定理成立。是一个n阶矩阵.如果A=O，这时A本身就是对角形式。设,我们分两种情形来考虑.惠州学院数学系(a)设A的主对角线上元素不全为零，例如，.如果i≠1，那么交换A的第1列与第I列，再交换第1行与第i行，就可以把换到左上角。这样就相当于初等矩阵,再用.于是的左上角的元素0iiaiiaAPi右乘1APPii左乘11iiAPP11011a111aaj不等于零.因此，我们不妨设，用乘j行，就可以把第一行第j列和第j行第1列位置的元素变成零。A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到第111aaj惠州学院数学系这相当于用右乘A，用)(1111aaTjj)()(11111111aaTaaTjjjj左乘A。这样，总可以选取初等矩阵,使得sEEE,,,2100001112112AaEEAEEEEss这里是一个n–1阶的对称矩阵。1A惠州学院数学系由归纳法假设，存在n–1阶可逆矩阵使得1QncccQAQ0032111000011QQQEEEPs21取惠州学院数学系那么nsscccQAQaQAaQQEEAEEEEQAPP000000000021111111112112这里。111ac惠州学院数学系(b)如果.由于A≠O，所以一定有某一个元素.把A的第j列加到第i列,再把第j行加到第i行,这相当于初等矩阵右乘A.再用左乘A.而经过这样的变换后所得到的矩阵第i行第j列的元素是.于是由情形（b）就归结到情形（a）.niaii,,2,1,0jiaij,0)1(jiT)1()1(jiijTT02ija注意在定理9.1.2的主对角形矩阵中，主对角线上的元素的一部分甚至全部可以是零。显然，不为零的的个数等于A的秩，如果秩A等于r0，那么由定理的证明过程可以知APPnccc,,,21ic0,0,,,2121nrrrcccccc而惠州学院数学系给了数域F上一个n阶对称矩阵A，由定理9.1.2的证明过程还可以看出，我们可以具体求出一个可逆矩阵P，使有对角形式，只要在对A施行一对列初等变换和行初等变换的同时，仅对n阶单位矩阵I施行同样的列初等变换，那么当A化为对角形式时，I就化为P。APP例1设04034126006303000A惠州学院数学系我们按定理9.1.2所给出的方法对A施行行和列初等变换，将A变成，使得是一个对角形矩阵。同时对单位矩阵，施行同样的初等变换而得出P。APPAPP4I交换A第一列和第二列，第一行和第二行，同时交换的第一列和第二列。这时A和分别化为：4I4I1000010000010010,0430412063000060311PA惠州学院数学系把的第一列乘以2加到第三列，第一行乘以2加到第三行，同时把的第一列乘以2加到第三列。分别得到：1A1P1000010002010010,043040003000000322PA把的第四列加到第二列，第四行加到第二行，同时把和第四列加到第二列，得2A2P惠州学院数学系1010010002010010,043040403460000333PA以2/3和－1/2乘的第二列依次回到第三列和第四列上,再以2/3和－1/2乘第二行依次加到第三行和第四行上，同时对的列施行同样的初等变换。得3A3P21322132423384100100020110,20020000600003PA惠州学院数学系最后，以－3/4乘的第三列加到第四列上,再以－3/4乘第三行加到第四行上，并且对的列施行同样的初等变换，我们得到4A4p010100201110,000000000600003434323325385PA取。于是5PP00000380000600003APP惠州学院数学系9.1.4二次型的标准形定理9.1.5数域F上每一个n元二次型ninjjiijxxa11可以通过变量的非奇异线性变换化为：Fcccycycycnnnn,,,,21222211例如，以例1中对称矩阵A为矩阵的二次型是43324123224218126123),,(xxxxxxxxxxxq惠州学院数学系通过变量的非奇异线性变换4321432103210431002320113210yyyyxxxx化为.3863232221yyy惠州学院数学系练习1写出下列二次型的矩阵321321321987654321,,xxxxxxxxxf练习2写出对应下列方阵的二次型432321211例2分别用配方法和合同变换法化二次型323121321622),,(xxxxxxxxxf成标准形.(读者答题）惠州学院数学系3213211001-1021-1yyyxxx练习3已知二次型31212221321222,,xxxxxxxxxf试对它作如下非奇异线性变换惠州学院数学系9.2复数域和实数域上的二次型一.内容分布9.2.1复二次型的典范形9.2.2实二次型的典范形二.教学目的1．掌握复二次型的典范形、实二次型的典范形、实二次型的惯性指标.、符号差等概念。2．掌握实二次型的惯性定律.三.重点、难点：实二次型的惯性定律.惠州学院数学系复数域和实数域上的二次型分别叫做复二次型和实二次型.9.2.1复二次型的典范形定理9.2.1复数域上两个n阶对称矩阵合同的充分且必要条件是它们有相同的秩.两个复二次型等价的充分且必要条件是它们有相同的秩.证显然只要证明第一个论断.条件的必要性是明显的.我们只要证条件的充分性.设A，B是复数域上两个n阶对称矩阵，且A与B有相同的秩r，由定理9.1.2，分别存在复可逆矩阵P和Q，使得惠州学院数学系000021rcccAPP000021rdddBQQ惠州学院数学系ridcrii,,2,1,0,0,0时当取n阶复矩阵1011011rccS1011011rddT的一个平方根.iiiidcdc,,分别表示复数这里惠州学院数学系那么，而TTSS