高等代数(高教版张禾瑞著)课件ppt版(第2章)

第二章多项式2.1一元多项式的定义和运算2.2多项式的整除性2.3多项式的最大公因式2.4多项式的分解2.5重因式2.6多项式函数多项式的根2.7复数和实数域上多项式2.8有理数域上多项式2.9多元多项式2.10对称多项式惠州学院数学系课外学习2：从高次代数方程和求根公式到伽罗华理论课外学习3：代数与代数基本定理的历史课外学习4：推广的余数定理及算法课外学习5：代数元的多项式的共轭因子惠州学院数学系代数是搞清楚世界上数量关系的工具。――怀特黑德（1961－1947）当数学家导出方程式和公式，如同看到雕像、美丽的风景，听到优美的曲调等等一样而得到充分的快乐。--柯普宁(前苏联哲学家)快乐地学习数学，优雅地欣赏数学。――匿名者惠州学院数学系2.1一元多项式的定义和运算一、内容分布2.1.4多项式的运算二、教学目的掌握一元多项式的定义,有关概念和基本运算性质.三、重点、难点一元多项式的定义，多项式的乘法，多项式的运算性质。2.1.1认识多项式2.1.2相等多项式2.1.3多项式的次数2.1.5多项式加法和乘法的运算规则2.1.6多项式的运算性质惠州学院数学系2.1.1认识多项式多项式令R是一个含有数1的数环.R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式nnxaxaxaa2210这里n是非负整数而niai,,1,0都是R中的数.一元多项式常用符号,,xgxf来表示.注1：在多项式(1)中,0a叫做零次项或常数项,iixa叫做i次项,ia叫做i次项的系数.2：在一个多项式中，可以任意添上或去掉一些系数为零的项；若是某一个i次项的系数是1，那么这个系数可以省略不写。惠州学院数学系2.1.2相等多项式定义若是数环R上两个一元多项式,f(x)和g(x)有完全相同的项,或者只差一些系数为零的项,那么f(x)和g(x)就说是相等.f(x)=g(x)惠州学院数学系2.1.3多项式的次数叫做多项式nnxannxaxaxaa22100na的最高次项,非负整数n叫做多项式nnxaxaxaa22100na的次数.记作xf0注：系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做零多项式，记为0.惠州学院数学系2.1.4多项式的运算多项式的加法给定数环R上两个多项式nnxaxaxaaxf2210mmxbxbxbbxg2210且m≤n,f(x)和g(x)的加法定义为nnnxbaxbaxbabaxgxf2221100这里当mn时，01nmbb惠州学院数学系多项式的乘法给定数环R上两个多项式nnxaxaxaaxf2210mmxbxbxbbxg2210f(x)和g(x)的乘法定义为mnnnxcxcxccxgxf2210mnkbabababackkkkk,,2,1,0,011110这里惠州学院数学系多项式的减法xgxfxgxf惠州学院数学系2.1.5多项式加法和乘法的运算规则（1）加法交换律:xfxgxgxf（2）加法结合律:xhxgxfxhxgxf（3）乘法交换律:xfxgxgxf（4）乘法结合律:xhxgxfxhxgxf（5）乘法对加法的分配律:xhxfxgxfxhxgxf注意：要把一个多项式按“降幂”书写0111axaxaxannnn当0na时，nnxa叫做多项式的首项.惠州学院数学系2.1.6多项式的运算性质定理)(xgxf和设是数环R上两个多项式,并且0,0xgxf.那么（i）当0xgxf时,xgxfxgxf000,max（ii）xgxfxgxf000惠州学院数学系证:mxgnxf00,设0,2210nnnaxaxaxaaxf0,2210mmmbxbxbxbbxg且nm那么nnnxbaxbaxbabaxgxf2221100（1）mnmnxbaxbababaxgxf011000（2）由（1），xgxf的次数显然不超过n，另一方面，00,0mnmnbaba得由，所以由(2)得xgxf的次数是n+m.惠州学院数学系推论2xhxgxfxhxfxgxf0,证由xhxfxgxf得xhxgxf。但0xf所以由推论1必有0xhxg,即xhxg证若是)(xgxf和中有一个是零多项式，那么由多项0xgxf.若是0)(0xgxf且那么由上面定理的证明得0xgxf式乘法定义得00xfxgxf或0xg推论1惠州学院数学系当cba,,是什么数时，多项式2323xxbcbxaxxf（1）是零多项式？（2）是零次多项式？例惠州学院数学系2.2多项式的整除性一、内容分布2.2.1多项式的整除概念2.2.2多项式整除性的一些基本性质2.2.3多项式的带余除法定理2.2.4系数所在范围对整除性的影响二、教学目的1．掌握一元多项式整除的概念及其性质。2．熟练运用带余除法。三、重点、难点多项式的整除概念，带余除法定理惠州学院数学系2.2.1多项式的整除概念设F是一个数域.F[x]是F上一元多项式环.定义1][,xFxgxf设，如果存在][xFxh，使得xhxgxf，则称整除，记为xfxg|，此时称xg是xf的因式，否则称xg不能整除，记为xfxgxf惠州学院数学系2.2.2多项式整除性的一些基本性质（1）xfxhxfxgxgxh||,|（2）xgxfxhxgxhxfxh||,|（3）xgxfxhxFxgxfxh|][,|（4）kkiigfgfxhkixgkixfxh11|,,2,1,,,2,1|（5）xfcxFxfFc|][,0（6）xfxcfxFxfFc|][,0（7）Fcxcgxfxfxgxgxf0|,|惠州学院数学系2.2.3多项式的带余除法定理定理][F,xxgxf设，且0xg，则存在],[F,xxrxq使得xrxqxgxf这里0xr，或者.00xgxr并且满足上述条件的)(xrxq和只有一对。注1：xrxq,分别称为)(xfxg除所得的商式和余式注2：.0|,0xrxfxgxg惠州学院数学系证：先证定理的前一部分.（i）若0xf,或xgxf00.则可以取xfxrxq,0（ii）若0xf,且.00xgxf)(xgxf和把按降幂书写:nnnnaxaxaxaxf1110mmmmbxbxbxbxg1110这里0,000ba,并且mnmnmnxbaxq11令，并记,11xgxqxfxfxf1则有以下性质：惠州学院数学系或者xfxfxf01010或若是xgxfxf01010且.则对xf1重复上面的过程。如此进行，我们得出一列多项式：,,,,21xfxfxfk,,,,21xqxqxqk及使得xgxqxfxfkkk11而xgxfxf0100由于多项式,,21xfxf的次数是递降的,故存在k使xgxfxfkk000或，于是xfxrxqxqxqkk及1便给出了所说的表示。惠州学院数学系现在证明定理的后一部分．假设f(x)有两种符合定理中要求的表示法：xrxqxgxrxqxgxf2211那么xrxrxgxqxq1221上式右边或者为零，或者次数小于;0xg而左边或者是零，或者次数不小于;0xg因此必须两边均为零，从而xrxrxqxq2121及惠州学院数学系2.2.4系数所在范围对整除性的影响FF和设是两个数域，并且FF，那么多项式环][Fx含有多项式环F[x]．因此Ｆ上的一个多项式xf也是F上的一个多项式．][F,xxgxf，则如果在F[x]里xg不能整除xf，那么在][Fx里xg也不能整除.xf事实上，若0xg，那么由于在F[x]里xg不能整除,xfxf不能等于0．因此在][Fx里xg显然仍不能整除.xf惠州学院数学系假定0xg，那么在Ｆ[x]里，以下等式成立：xrxqxgxf并且0xr．但是F[x]的多项式)(xrxq和都是][Fx的多项式，因而在][Fx里，这一等式仍然成立．于是由xr的唯一性得出，在][Fx里xg也不能整除.xf惠州学院数学系例1确定m，使.1|1252mxmxxx例2设1,23mxxxgqpxxxfqpm,,适合什么条件时，xg整除?xf。问惠州学院数学系2.3多项式的最大公因式一.内容分布2.3.1多项式公因式,最大公因式,互素概念2.3.2用辗转相除法求最大公因式.二.教学目的1.掌握最大公因式,互素概念.2.熟练掌握辗转相除法3.会应用互素的性质证明整除问题三.重点,难点辗转相除法求最大公因式.证明整除问题惠州学院数学系xf令和是F[x]的两个多项式，若是F[x]的一个多项式同时整除和，那么叫做与的一个公因式.xfxgxhxgxhxfxg定义2设是多项式与的一个公因式.若是能被与的每一个公因式整除,那么叫做与的一个最大公因式.xdxfxgxdxfxgxdxfxg定义1惠州学院数学系的任意两个多项式与一定有最大公因式.除一个零次因式外,与的最大公因式是唯一确定的,这就是说，若是与的一个最大公因式，那么数域F的任何一个不为零的数c与的乘积，而且当与不全为零多项式时，只有这样的乘积是与的最大公因式.xFxfxgxfxgxdxfxgxdxcdxfxgxfxg定理2.3.1惠州学院数学系解：对施行辗转相除法.为了避免分数系数，在做除法时，可以用F的一个不等于零的数乘被除式或除式.而且不仅在每一次除法开始时可以这样做，就是在进行除法的过程中也可以这样做.这样商式自然会受到影响，但每次求得的余式与正确的余式只能差一个零次因式.这对求最大公因式来说是没有什么关系的.xgxf与令F是有理数域.求F[x]的多项式3452,344223234xxxxgxxxxxf的最大公因式.例1惠州学院数学系把先乘以2，再用来除：xfxg654134523452688422323234234xxxxxxxxxxxxxxx乘以2151433452121