高等代数(高教版张禾瑞著)课件ppt版(第6章)

第6章向量空间6.1向量空间的定义和例子6.2子空间6.3向量的线性相关6.4基和维数6.5坐标6.6向量空间的同构6.7矩阵的秩齐次线性方程组的解空间惠州学院数学系数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系。---皮尔斯(S.Peirce,1838－1914)不懂几何者勿入内(指:柏拉图学园)---柏拉图(Plato，约公元前427年－前347年)不懂向量空间者无法进入数学圣殿的大门---匿名者惠州学院数学系向量空间（VectorSpaces）又称线性空间（LinearSpaces）.本章的特点及要求：向量空间是线性代数的最基本的、最重要的概念之一，是进一步学习数学必备的内容.向量空间产生有着丰富的数学背景，又在许多领域（包括数学本身）中有着广泛的应用，例如：线性非常组解的结构.向量空间是我们遇到的第一抽象的代数系统.所谓代数系统，就是带有运算的集合.通过本章的学习，初步熟悉用公理系统处理代数问题的思维方法、逻辑推理的方法.惠州学院数学系§6.1向量空间的定义和例子1.引例―――定义产生的背景.2.向量空间的定义――――抽象出的数学本质.3.进一步的例子―――加深对定义的理解.4.一些简单性质.惠州学院数学系1.引例―――定义产生的背景例1设F是一个数域，mnF表示上m×n矩阵的集合，回忆一下mnF上所能够施行的运算（教材P182）：只有加法和数乘两种，并且满足(教材P183)：1.A+B=B+A2.(A+B)+C=A+(B+C)3.O＋A=A4.A+(-A)=O5.a(A+B)=aA+Ab6.(a+b)B=aB+Bb7.(ab)A=a(b)A还有一个显而易见的：8.1A＝A惠州学院数学系例2设R是实数域，V3表示空间向量的集合.两个向量可以作加法（平行四边形法则），可以用R中的一个数乘一个向量，加法和数乘满足同样的8条性质.按照解析几何的方法，向量可以用的坐标（x,y,z）来表达，加法和数乘都有表达式，……类似的问题许多，……，有必要总结它们的共性：I.涉及两个集合（其中一个集合……）.II.涉及两种运算（什么样的运算？）.III.满足8条运算性质.惠州学院数学系2.向量空间的定义－抽象出的数学本质定义1设F是一个数域，V是一个非空集合.我们把V中的元素称为向量，V称为向量空间，如果下列条件成立：闭合性：(c1)V上有(闭合的)加法运算，即：对任意u,v属于V,一定有u+v属于V.(c2)F上的数对V上的向量有(闭合的)数乘运算，即：对任意F中数和V中元素v,一定有：v属于V.加法的性质：(a1)u+v=v+u，对所有u和v属于V.(a2)u+(v+w)=(u+v)+w,对所有u、v和w属于V.(a3)V中存在一个向量，记作o,它满足：v+o=v对所有V中的v.(a4)给定V中每一个向量v,V中存在一个向量u满足：u+v=0.这样的u称为v的负向量.惠州学院数学系乘法的性质：(m1).)()(FbabVaVab，，(m2).)(aVaUVUa(m3).)bUaUUba（(m4)1u=u对所有u属于V.惠州学院数学系3.进一步的例子――加深定义的理解例3按照定义1，mnF是数域F上的向量空间，称为矩阵空间.（1）11,nnFF统称为ｎ元向量空间，统一用符号nF表示.（2）nR是解析几何的坐标平面、坐标空间的推广它是常用的一类.……例4数域F上一元多项式集合F[x]按照通常的加法与数乘构成F上的向量空间，称为多项式空间.证明：根据多项式加法和数乘的定义，(c1)f(x)+g(x)F[x],任给f(x),g(x)F[x].(c2)af(x)F[x]，任给aF，f(x)F[x].(a1)f(x)+g(x)=g(x)+f(x),任给f(x),g(x)F[x].惠州学院数学系(a2)[f(x)+g(x)]+h(x)=f(x)+[g(x)+h(x)],任给f(x),g(x),h(x)F[x].(a3)0向量就是零多项式.(a4)f(x)的负向量为（-f(x)）.(m1)()abf(x)=(abf(x)).(m2)a[f(x)+g(x)]=af(x)+ag(x).(m3)()abf(x)=af(x)+bf(x).(m4)1f(x)=f(x).注1：刚开始，步骤要完整.惠州学院数学系例5C[a,b]表示区间[a,b]上连续实函数按照通常的加法与数乘构成实数域R的向量空间，称为函数空间.证明：比照例3，给出完整步骤.例6（1）数域F是F上的向量空间.（2）R是Q上的向量空间，R是否为C上的向量空间？注2：这个例子说明向量空间与F有关.惠州学院数学系例7设数域取R,集合为R+(实数)，加法和数乘定义为：,,,,kababkaaabRkRR证明关于给定的运算构成R上的向量空间.证明：……注3：运算可以是通常的，可以重新定义的.如何理解运算？……注4：取数乘为通常的乘法如何？……，向量空间与运算有关.注5：证明向量空间需要10条性质，其中：8条是验证，2条需要解方程求出零向量与负向量.惠州学院数学系例8在2R上定义加法和数乘：2(,)(,)(,)(1)(,)(,)2abcdacbdackkkabkakba证明2R关于给定运算构成R上的向量空间.证明：留作课外练习.惠州学院数学系4.简单性质（1）零向量0是唯一的.（2）一个向量v的负向量是唯一的，用（-v）表示.（3）0v＝0，a0＝0.（4）a(-v)=a)(aVV.000VaaV，或（5）惠州学院数学系6.2子空间一、内容分布6.2.1子空间的概念6.2.2子空间的交与和.二、教学目的1．理解并掌握子空间的概念.2．掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间.3．掌握子空间的交与和的概念.三、重点、难点子空间的判别，子空间的交与和．惠州学院数学系6.2.1子空间的概念设V是数域F上一个向量空间.W是V的一个非空子集.对于W中任意两个向量α，β，它们的和α+β是V中一个向量.一般说来，α+β不一定在W内.如果W中任意两个向量的和仍在W内，那么就说，W对于V的加法是封闭的.同样，如果对于W中任意向量α和数域F中任意数a，aα仍在W内，那么就说，W对于标量与向量的乘法是封闭的.惠州学院数学系定理6.2.1设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量乘法是封闭的，那么本身也作成上一个向量空间.定义1令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于V的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V的一个子空间.由定理6.2.1，V的一个子空间也是F上一个向量空间，并且一定含有V的零向量。惠州学院数学系例1向量空间V总是它自身的一个子空间。另一方面，单独一个零向量所成的集合{0}显然对于V的加法和标量与向量的乘法是封闭，因而也是V的一个子空间，称为零空间。一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。例2是不是的子空间？是不是的子空间？},0|)()({时jiaFMaAUijnij)(FMn}0||)({AFMAWn)(FMn惠州学院数学系解U中的矩阵是上三角形矩阵，显然U为向量空间的非空子集。又中的运算是矩阵的加法及数与矩阵的乘法，而两个上三角形的和仍是一个上三角形矩阵，一个数与一个上三角形矩阵的乘积仍是上三角形矩阵，所以，由子空间的定义，U是的一个子空间。)(FMn)(FMn)(FMn不是的子空间，因为n阶单位矩阵I及–I∈W，但}0|||)({AFMAWn)(FMnWOII)(在空间V2里，平行于一条固定直线的一切向量空间作成V2的一个子空间。在间间V3里，平行于一条固定直线或一张固定平面的一切向量分别作成V3的子空间(6.1,例1)。例3惠州学院数学系例4nF中一切形如Fin),0,,,,(121的向量作成的一个子空间。nF例5F[x]中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成F[x]的一个子空间。例6闭区间[a,b]上一切可微分函数作成C[a,b]的一个子空间。惠州学院数学系例7设FaaAijijnm),((1)把满足AX=0的解X表示为，nxxxX21显然。并记AX=0的解集为nFX}0|{0,AXFXVnA证明是向量空间的一个子空间。0,AVnF(2)记AX=β的解集为是否也是的一个字空间？这里,,},|{AnAVAXFXVnF0,nF惠州学院数学系证明（1）首先，nF0000，且A0=0，所以，。0,AV其次，如果那么所以，对于任何。故对于的两种运算封闭，是向量空间的一个子空间。,,,,210,21nAFXXVXX即,0,021AXAX且,0)(2121AXAXXXA0,21AVXX,,0,AVXFa0,),()(AVaXAXaaXA即有0,AVnF0,AVnF惠州学院数学系定理6.2.2向量空间W的一个非空子集W是V的一个子空间，要且只要对于任意a,b∈F和任意α,β∈W，都有aα+bβ∈W（2）可以知道，在β≠0的时候，不一定是的子空间。因为对任何，都有A(X+Y)=AX+AY=β+β≠β，故对的加法不封闭。,AVnF,,AVYX,AVnF惠州学院数学系6.2.2子空间的交与和设W1，W2是向量空间V的二个子空间，那么它们的交W1∩W2也是V的一个子空间.一般，设{Wi}是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令表示这些子空间的交。如同上面一样可以证明，也是V的一个子空间.iiW作为子集的二个子空间W1与W2的并集，一般说来不是子空间，现在考虑V的子集。},|{22112121惠州学院数学系由于0∈W1，0∈W2，所以0=0+0∈W1+W2，因此W1+W2≠ф。设a,b∈F,α,β∈W1+W2,那么,因为W1,W2都是子空间,所以,,于是2221112121,,,,,WW111Wba222Wba2122112121)()()()(WWbabababa这就证明了W1+W2是V的子空间,这个子空间叫做W1与W2的和.惠州学院数学系yzxloyzxoαβα+β1lzxπoy图6-2-1图6-2-2图6-2-3xyoαβγ1l2l图6-2-4例8在中，终点位于过原点的同一条直线l上的所有向量作成的子空间W。为叙述简便，也说W就是过原点的直线l，直线l是的子空间（图6-2-1）。这样，中过原点的直线都是的子空间。同理，中以过原点的平面π上的点为终点的所有向量作成的子空间。这样，过原点的平面都是的子空间（图6-2-2）。3V3V3V3V3V3V3V3V惠州学院数学系两个子空间的和的概念也可以推广到任意有限的子空间的情形.设W1,W2,…，Wn是V的子空间.容易证明,一切形如的向量作为V的一个子空间,这个子空间称为子空间W1,W2,…，Wn的和,并且用符号W1+W2+…+Wn来表示.niWiii1,不过原点的直线不能作成的子空间，如图6-2-3所示，为不过原点的直线，以上两点A，B为终点的向量α，β的和α+β按平行四边形法则，其终点C不在上，因此不能作成的子空间。同样，不过原点的平面也不能作成的子空间。3V1l1l1l1l3V3V惠州学院数学系6.3向量的线性相关一、内容分布6.3.1线性组合与线性表示6.3.2线性相关与线性无关6.3.3向量组等价6.3.4向量组的极大线性无关组二、教学目的1．准确理解和掌握向量的线性相关性概念及判别．2．理解向量组的等价及极大无关组的概念．3．掌握向量的线性相关性证明及极大无关组求法．三、重点、难点线性相关性（无关）、向量组的极大线性无关组等概念，替换定理的证明．惠州学院数学系6.3.1线性组合与线性