高等代数§5.3 唯一性

一、复数域上的二次型的规范形二、实数域上的二次型的规范形三、小结§5.3唯一性问题的产生：1、二次型的标准形不是唯一的，与所作的非退化线性替换有关.如：二次型123122312(,,)262fxxxxxxxxx作非退化线性替换112133113111001xyxyxy得标准形222123123(,,)226fxxxyyy得标准形22212312312(,,)223fxxxzzz1121331121112130013xzxzxz2、二次型经过非退化线性替换所得的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关.()(')()秩秩秩DCACA而秩(D)等于D的主对角线上不为零的元素的个数.∵若作非退化线性替换1(,,)'nfxxXAX',DCAC化为标准形，则有XCY'YDY3.问题：如何在一般数域P上，进一步“规范”平方项非零系数的形式？（这样产生了唯一性的问题）定义二次型的秩等于矩阵A的秩，即秩f＝秩（A）.12(,,,)'nfxxxXAX一、复数域上的二次型的规范形1.复二次型的规范形的定义标准形再作非退化线性替换2211()'(')rrfXYCACYdydy设复二次型()','CnnfXXAXAA经过非退化线性替换可逆,得,CnnXCYC这里0,1,2,idirrfA秩秩（）.则称之为复二次型()fX的规范形.111(,,,1,,1)rDdiagdd1111111rrrrrnnyzdyzdyzyz,或Y=DZ,22212()'('')rfXZDCACDZzzz注意：①复二次型的规范形中平方项的系数只有1和0两种.②复二次型的规范形是唯一的，由秩f确定.2.（定理3）任一复二次型经过适当的非退化线性替换可化为规范形，且规范形唯一.推论1.任一复对称矩阵A合同于对角矩阵0,00rE().rA其中秩推论2.两个复对称矩阵A、B合同()().AB秩秩二、实数域上的二次型的规范形再作非退化线性替换1.实二次型的规范形的定义()'(')fXYCACY22221111,pppprrdydydydy设实二次型经过()','RnnfXXAXAA可逆，得标准形非退化线性替换,RnnXCYC其中，r=秩f().A秩0,1,2,idir则()'('')fXZDCACDZ222211pprzzzz1111111()rrrrrnnyzdyzdyzyz,或Y=DZ,同前111(,,,1,,1)rDdiagdd称之为实二次型的规范形.()fX①实二次型的规范形中平方项的系数只有1，－1，0.②实二次型的规范形中平方项的系数中1的个数与－1的个数之和=秩=秩(A)是唯一确定的.f③规范形是唯一的.注意定理4任一实二次型可经过适当的非退化线性替换化成规范形，且规范形是唯一.证明：只证唯一性.2、惯性定理设实二次型AXXXf')(经过非退化线性替换化成规范形BYX（1）222211()pprfXyyyy只需证.pg（2）用反证法，设,pg由(1)、(2)，有222211()qqrfXzzzz经过非退化线性替换化成规范形XCZ（3）222211ppryyyy222211qqrzzzz111()()ZCXCBYCBY且（4）11111221121nnnnnnnnnnzgygyzgygyZGYzgygy即则G可逆，且有1()R,nnijCBGg令考虑齐次线性方程组（5）11111110000nnqqnnpngygygygyyy方程组（5）中未知量的个数为n，方程的个数为所以（5）有非零解.()(),qnpnpqn令为（5）的非零解，011(,,,,)ppnYkkkk则有而不全为0.10,pnkk12,pkkk将0Y代入（3）的左端，222211222211pprqqryyyyzzzz2210,pkk得其值为同理可证qp，故pq.矛盾.所以，.pq得001(0,0,,)qnZGYzz将其代入（3）的右端，得其值为2210grzz由11111221121(4)nnnnnnnnnnzgygyzgygyzgygy111111100(5)00nnqqnnpngygygygyyy及222211ppryyyy定义实二次型的规范形1()nfxx中正平方项的个数p称为的正惯性指数；f称为的负惯性指数；负平方项的个数frp称为的符号差.它们的差f()2prppr推论1、任一实对称矩阵A合同于一个形式为其中的个数，+1的个数1()rA秩'pXAX等于的正惯性指数；－1的个数'rpXAX等于的负惯性指数.的对角矩阵.1111000prpEE推论2、实二次型,fg具有相同的规范形fg秩秩，且的正惯性指数=g的正惯性指数.f推论3、实对称矩阵A、B合同()()AB秩秩''XAXXBX与的正惯性且二次型指数相等.例1、设，证明：存在C,'nnAAACnnB使'.ABB又D´=D,且2000000000rrrEEEDD使0',00rECACD即11()'ACDC1211111()'()''()'()ACDCCDDCDCDC则令'.ABB1,BDC证：设则存在可逆矩阵(),RArC,nnC例2、如果两实n元二次型的矩阵是合同的，则认为R上的一切n元二次1(1)(2)2nn类.它们是属于同一类的，那么实数域型可分为则r的可能取值是0，1，2，…，n，1r指数p的可能取值是0，1，…，r，共种.f的正惯性即有证：任取实n元二次型()','R,nnfXXAXAA设(),fAr秩秩而对任意给定的(0),rrn0,01,0,1,0,1,2,,rprprnpn1种2种n＋1种故共有类.112(1)(1)(2)2nnn三、小结基本概念这里，r＝秩(f).2、n元实二次型的规范形12(,)nfxxx这里，＝秩(f)，p称为f的正惯性指数；rrp称为f的负惯性指数；称为符号差.2pr22212rzzz222211ppryyyy1、n元复二次型的规范形12(,)nfxxx基本结论定理3任意一个复系数二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一复对称矩阵A合同于一个对角矩阵0,().00rErA其中秩推论两个复对称矩阵A、B合同()().秩秩AB定理4任意一个实二次型，经过一适当的非退化线性变换可变成规范形，且规范形是唯一的.即，任一实对称矩阵A合同于一个对角矩阵11111100其中的个数等于矩阵Ａ的秩.1推论两个实对称矩阵A、B合同的充要条件是正惯性指数相等.且二次型与的()(),秩秩AB'XAX'XBX