高等代数§7.5对角矩阵

§7.5对角矩阵一、可对角化的概念二、几个引理四、对角化的一般方法三、可对角化的条件定义1：设是维线性空间V的一个线性变换，An如果存在V的一个基，使在这组基下的矩阵为对A角矩阵，则称线性变换可对角化.A矩阵，则称矩阵A可对角化.定义2：矩阵A是数域上的一个级方阵.如果Pn存在一个上的级可逆矩阵，使为对角P1XAXXn一、可对角化的概念即几何重数不超过代数重数.证明.二、几个引理1.设(),LVAA是的特征值,则0dimV的重数2.(Th.8)设为n维线性空间V的一个线性变换,A如果分别是的属于互不相同的特征值12,,kA的特征向量，则线性无关.12,,k12,,k证明.证明.二、几个引理特征值的线性无关的特征向量，i1,2,,,ik则向量线性无关.11111,,,,,,krkkr3.(Th.9)设为线性空间V的一个线性变换，A是的不同特征值，而是属于12,,k12,,iiiirA在域中有个不同的特征值.则可对角化AAnP若2.(Cor.1)设为维线性空间V的一个线性变换，An则可对角化有个线性无关的特征向量.AAn三、可对角化的条件1.(Th.7)设为维线性空间V的一个线性变换，An证明.证明.3.(Cor.2)在复数域C上的线性空间中，如果线性变换的特征多项式没有重根，则可AA对角化.证明.1dim.,itiVn12t(n=dimV,而,,是的全部特征值)A4.(),LVA可对角化三、对角化的一般方法1°求出矩阵A的全部特征值12,,,.k2°对每一个特征值，求出齐次线性方程组i0,1.2.iEAXik设为维线性空间V的一个线性变换，A12,,,n为V的一组基，在这组基下的矩阵为A.A步骤:的一个基础解系（此即的属于的全部线性无关iA的特征向量在基下的坐标）.12,,,n3°若全部基础解系所含向量个数之和等于n，则（或矩阵A）可对角化.以这些解向量为列，作一个n阶方阵T，则T可逆，是对角矩阵.而且1TAT有n个线性无关的特征向量从而A12,,,,nAT就是基到基的过渡矩阵.12,,,n12,,,n下的矩阵为123,,001010100A基变换的过渡矩阵.问是否可对角化.在可对角化的情况下，写出A例1.设复数域上线性空间V的线性变换在某组基A解：A的特征多项式为2010101110EA得A的特征值是1、1、－1.解齐次线性方程组得10,EAX13xx故其基础解系为：(1,0,1),(0,1,0)所以，11322,是的属于特征值1的两个线性无关的特征向量.A再解齐次线性方程组得10,EAX1320xxx故其基础解系为：(1,0,1)所以，313是的属于特征值－1的线性无关的特征向量.A线性无关，故可对角化，且123,,A100010;001在基下的矩阵为对角矩阵123,,A123123101,,,,010.101101010,101T即基到的过渡矩阵为123,,123,,1100010.001TAT例2.问A是否可对角化？若可，求可逆矩阵T，使321222361A为以角矩阵.这里1TAT321222361EA23121624得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多项式为对于特征值2，求出齐次线性方程组123121024203630xxx对于特征值－4，求出齐次方程组123721022203630xxx的一个基础解系:（－2、1、0），（1、0、1）的一个基础解系:12(,,1)3313232110011T令则1200020004TAT所以A可对角化.是对角矩阵（即D不可对角化）.项式.并证明：D在任何一组基下的矩阵都不可能例子：在中,求微分变换D的特征多[](1)nPxn211,,,,2!(1)!nxxxn解：在中取一组基：[]nPx则D在这组基下的矩阵为0100001000010000A1000100001000nEA于是∴D的特征值为0（n重）.的系数矩阵的秩为n－1，从而方程组的基础解系故D不可对角化.又由于对应特征值0的齐次线性方程组0AX只含有一个向量，它小于的维数n（＞1）.[]nPxProof:设012dim,,,,mVm令为的基,0V()iiiA.扩充基:11,,,,,mmn则111100*(,,,,,)(,,,,,)0*mmnmmnA故00()()(),mAfgm的重数.返回定理7设为维线性空间V的一个线性变换，An则可对角化有个线性无关的特征向量.AAn证：设在基下的矩阵为对角矩阵A12,,n12n则有,1,2,.iiiinA12,,n就是的n个线性无关的特征向量.A反之，若有个线性无关的特征向量An12,,,,n那么就取为基，则在这组基下的矩阵12,,,nA是对角矩阵.定理8设为n维线性空间V的一个线性变换,A如果分别是的属于互不相同的特征值12,,kA的特征向量，则线性无关.12,,k12,,k证：对k作数学归纳法.当时，线性无关.命题成立.1k110,假设对于来说，结论成立.现设为1k12,,k的互不相同的特征值，是属于的特征向量，Aii即1,2,,.iiiin,A以乘①式的两端，得k11220.kkkkkaaa②设11220,kkiaaaaP①又对①式两端施行线性变换，得A1112220.kkkaaa③③式减②式得111222111()()()0kkkkkkaaa由归纳假设，线性无关，所以121,,k()0,1,2,,1.iikaik但互不相同，所以12,,,k1210.kaaa将之代入①，得0.kka0,0kka故线性无关.12,,,k证明：首先，的属于同一特征值的特征向量Ai的非零线性组合仍是的属于特征值的一个特征Ai向量.11111,,,,,,.krkkraaaaP令11,1,2,,.iiiiiiriraaik由④有，120.k设11111111110,kkrrkkkrkraaaa④若有某个则是的属于特征值的0,iiAi特征向量.而是互不相同的，由定理8，12,,k必有所有的0,1,2,,.iik即110.iiiiiriraa而线性无关，所以有1,,iiir10,1,2,,.iiiraaik故线性无关.11111,,,,,,krkkr6.设为n维线性空间V的一个线性变换，A若在某组基下的矩阵为对角矩阵A12nD则1）的特征多项式就是A12()nf2）对角矩阵D主对角线上元素除排列次序外是唯一确定的,它们就是的全部特征根(重根按重数计算).A