高等传热学_第二章_稳态导热

动力工程及工程热物理学科研究生高等传热学（32课时）第二章稳态导热稳态导热问题，即忽略温度随时间的变化，只考虑温度的空间分布。严格来说，完全稳定的导热现象是不存在的，但当温度随时间的变化相对很小时，可以近似地看作稳态导热。在工程实际中，像稳定运行的热工设备、电缆的散热等计算大多以稳态导热为基础。研究稳态导热的主要目标是求得物体内部的温度分布，由此可进一步导出热流密度和热流量。在一维稳态导热中温度场只是一个空间坐标的函数，同样是一种物理模型上的简化。如能抓住主要矛盾，突出重点，许多实际问题是可以简化为一维问题的。这样的模型使问题的数学处理得以大大简化，常常可以分析求解，而且常可使导热现象的一些主要特征变得更加突出，一些基本规律体现得更加明显。在更多的情况下一维导热的近似是不合适的，或不可能的。此时必须讨论二维或三维导热问题，相应的导热微分方程是偏微分方程，在常物性条件下也就是拉普拉斯方程或泊松方程。在分析求解拉普拉斯方程和泊松方程方面已经积累了许多成功的经验，本章将简要介绍其中的分离变量法和虚拟热源法。但是，迄今为止各种分析解法的效能仍是有限的，只能求解几何形状比较简单、具有线性边界条件的问题。求解更为一般的导热问题常常有赖于数值解。2-1一维稳态导热图2-1通过大平壁的导热2-1一维稳态导热2-1-1无内热源的一维导热求解导热问题的一般思路是首先从导热微分方程和相应的定解条件出发，解得温度场。对于如图2-1所示的大平壁的稳态导热，已知两表面的温度分别为t1和t2。导热微分方程简化为（2-1-1）其通解为（2-1-2）问题的边界条件为（2-1-3）220dtdx12tCxC120,,xttxtt由此可确定通解中的两个任意常数，得到该问题的温度分布（2-1-4）根据傅里叶定律可进一步确定平壁中的热流密度（2-1-5）注意到热流密度与坐标x无关，是一个常量。从导热微分方程出发求解温度分布是解决导热问题的一般方法，但对于无内热源的一维稳态导热问题这样的特例，则可以从傅里叶定律直接积分确定热流。对于一维导热，傅里叶定律可写作（2-1-6）2-1一维稳态导热121ttttx12ttdtqdxdtqdx由于是稳态导热且无内热源，q应该是不随x变化的常量，因为如果任意两个平行平面上的热流密度不等，则根据能量守恒原理，这两个平面间的温度一定会发生变化。对上式分离变量并积分：（2-1-7）对于常物性问题，可直接得到式（2-1-5）。对于变物性问题，如果已知导热系数随温度变化的函数关系，定义（2-1-8）为t1~t2温度范围内的平均导热系数，则可得（2-1-9）2-1一维稳态导热210ttqdxdt()t2121ttmdttt12mttq如果导热系数随温度的变化是如式（1-1-11）所描述的线性函数，则很显然，按式（2-1-8）定义的平均导热系数即是材料在平均温度下的导热系数，即（2-1-10）如果改变式（2-1-7）中的积分上限，写作（2-1-11）则可得大平壁中稳态温度分布的另一种形式（2-1-12）2-1一维稳态导热12()2mttt120(1)2mttb210xttqdxdt1qttx2-1一维稳态导热图2-2通过圆筒壁的导热通过长圆筒壁（图2-2）的导热由傅里叶定律直接积分的方法。若已知圆筒壁的内外壁面温度分别为t1和t2。注意到，圆筒壁的导热面积在径向上是变化的，但单位长度上的总热流量ql（单位为W/m）仍应是常量（不随r变化）。由傅里叶定律可得（2-1-13）分离变量并积分（2-1-14）对于常物性问题，整理后可得（2-1-15）对于变物性问题，同样可用式（2-l-8）定义的平均导热系数代替上式中的常物性导热系数来计算圆筒壁的热流量。2-1一维稳态导热2ldtqrdr22112rtlrtdrqdtr121221212()2()ln()ln()lttttqrrdd对于空心圆球壁，稳态径向总热流量Q为常量。同理，由傅里叶定律可写出（2-1-16）当己知两个壁面的温度时，可同样用分离变量并积分的方法自行推导得到（2-1-17）2-1一维稳态导热24dtrdr1212214()rrttrr2-1-2带有内热源的一维稳态导热导电体通电时发热是导热物体内热源的最常见的例子，计算由于这种发热引起的温升对于设计电器设备是很重要的。在浇灌大量的混凝土时，混凝土水化时的发热也会形成过高的温度，常常需要设计特殊的冷却系统。此外，在释放化学能和原子能的场合，也会涉及内热源的问题。考虑一个带有均匀分布的内热源的大平壁，其体积发热率为qV。建立如图2-3所示的坐标。对于这样一个一维稳态导热问题，导热微分方程可简化为（2-1-18）2-1一维稳态导热22Vqdtdx2-1一维稳态导热图2-3有均匀内热源的平壁中的温度分布对以上方程积分两次，可得该常微分方程的通解（2-1-19）如果首先考虑第一类齐次边界条件，即给定两个表面的温度均为零，即（2-1-20）代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，并整理得到（2-1-21）2-1一维稳态导热2122VqtxCxC0,0,0xtxt()2Vqtxx2-1一维稳态导热如果给定两个表面的温度分别为t1和t2，即代入以上得到的通解式(2-1-19)，可以确定其中的两个任意常数，并整理得到（2-1-22）以上温度分布可以看作两个温度分布的叠加：后一项是非齐次的微分方程（有热源）在齐次边界条件下的解，前两项是齐次的微分方程在非齐次边界条件下的解，也就是无内热源大平壁稳态导热的解式(2-1-4)。任一点处的热流密度可由傅里叶定律得到：（2-1-23）120,,xttxtt211()2Vqttttxxx12(2)2Vqttdtqxdx2-1一维稳态导热上式同样可以看作是两个简单问题的热流密度的叠加。由于有内热源的作用，q已不再是常量，且各点处热流的方向取决于上式中两项的相对大小。由此可看到解决非齐次问题时常用的“线性叠加原理”方法，即把复杂的线性非齐次问题分解为几个较简单的问题再把结果相加。实心长圆柱体有均匀的体积发热率qv，试求圆柱体中的稳态温度分布。导热微分方程简化为柱坐标系中的一维稳态导热方程（2-1-24）积分两次可得以上微分方程的通解（2-1-25）1()vqddtrrdrdr212ln4vqtrCrC2-1一维稳态导热r＝0处温度应该有界，即，可以作为一个边界条件，由此可得C1＝0。如果给定另一个边界条件是第一类边界条件，即r＝R，t＝t1。代入通解可得（2-1-26）如果给定另一个边界条件是第三类边界条件，即（2-1-27）代入通解可得（2-1-28）0rt221()4vqttRr,()fdtrRhttdr22()24vvfqRqttRrh2-2扩展表面——准一维问题在固体壁面与流体的对流换热系统中，例如各种换热设备中，常在换热表面上增添一些肋，以增大换热表面，达到减小换热热阻的目的。对各种助片的温度场和传热性能的分析常归结为扩展表面问题。此外，一些工程部件，如插入管道的测温元件的套管、透平叶片等，也涉及突出的细长杆与周围流体的换热，在分析其温度场时，也可归结为扩展表面问题。2-2扩展表面——准一维问题2-2-1等截面直肋分析等截面直肋中的温度分布有助于掌握分析各种扩展表面问题的一般方法。图2-4给出了一个等截面直肋的几何配置。肋根(x＝0)与热壁相连，温度为t0。肋的侧面与温度为tf的流体对流换热，表面传热系数为h。如果肋片的宽度L足够大，宽度方向的温度不均匀可以忽略不计的话，肋片内部的温度分布应该是二维的。但是可以设想，如果肋片足够薄、导热系数足够大，肋片厚度方向的温差也可以近似地忽略不计，那么肋片中的温度场仅是高度(x坐标)的函数，肋片中的导热问题简化为“准一维”问题。更精确地说，能否进行这样简化的判据应该是Bi＝hδ/λ足够小[也有把肋片厚度的一半作为特征尺寸，则Bi＝hδ/(2λ)]。无量纲量表征肋片厚度方向的导热热阻与表面对流换热热阻之比。为了作“准一维”简化，通常要求Bi＜0.1，但实际上这一判据也与肋片的几何形状参数H/δ有关。当然，进行这样简化引起的偏差必须通过与二维问题的解作比较才能确定。1Bih2-2扩展表面——准一维问题图2-4等截面直肋的导热2-2扩展表面——准一维问题由于忽略了厚度y方向的导热，y方向就不会出现边界条件，肋片表面的散热在微分方程中必须作为(负的)热源来处理。对图2-4中长度为dx的微段进行分析，可得体积发热率为（2-2-1）其中A是垂直于x轴的肋片截面面积，P＝2(L+δ)≈2L是该截面的周长。引进过余温度θ＝t-tf，该肋片的稳态导热微分方程有如下的形式：（2-2-2）这是一个二阶线性齐次常微分方程，有如下形式的通解：（2-2-3）()fvhttPdxqAdx220dhPdxA12mxmxCeCe2-2扩展表面——准一维问题其中常数C1和C2需借助于合适的边界条件求得。一个条件是已知助基温度，即（2-2-4）如果另一端以对流换热的方式把热量传给周围环境，则边界条件可写作（2-2-5）其中肋端表面传热系数h2通常不等于肋表面的对流换热表面传热系数。hPmA00,x2,dxHAhAdx2-2扩展表面——准一维问题如果肋的高度足够大，肋端过余温度很小，因而常常可把肋端的热损失忽略不计，则以上上边界条件可简化为（2-2-6）由边界条件式(2-2-4)、(2-2-6)确定常数C1和C2，整理后可得（2-2-7）则肋端过余温度为：（2-2-8）,0dxHdx0[()]()chmHxchmH0()HchmH2-2扩展表面——准一维问题单位宽度肋片的散热量可根据傅里叶定律由肋基处的温度梯度求得，或根据牛顿冷却定律由表面过余温度的积分求得：（2-2-9）双曲函数的值可在数学函数表中查得，或根据其定义计算得到：如果由边界条件式(2-2-4)、(2-2-5)确定常数C1和C2，即考虑肋端的散热损失，可得（2-2-10）000()()HxdAhPdxAhPthmHdx,,22xxxxeeeeshxchxshxthxchx202[()][()][()]()[()]()chmHxhmshmHxchmHhmshmH2-2扩展表面——准一维问题则肋端过余温度为：（2-2-11）通过肋基的热流量为（2-2-12）比较式(2-2-9)和式(2-2-12)的计算结果表明，肋端热损失的影响，可以用假想肋的高度增加其厚度的一半、即取Hc＝H+δ/2代替实际的肋高，而把肋端当成是绝热的方法来处理。这实际上相当于把肋端的散热面积展开到侧面上。这样的近似处理方法可使计算大为简化，且对于绝大多数工程实际问题已有足够的精度。02()[()]()HchmHhmshmH202()()1[()]()hmthmHAhPhmthmH2-2扩展表面——准一维问题在壁面上加肋的基本作用是为了增加换热面积以增加壁面的传热。在设计用于换热器的肋壁时需要考虑多种因素，如肋的形状、尺寸、材料和加工工艺以及肋片间的间距等。把一片肋分成若干片较薄的肋总会增加散热面积，但受到加工工艺的限制。此外，肋片间距过密也会妨碍对流换热。“最佳肋”的概念首先涉及优化的条件和判据的问题，即在如重量、体积、传热量、价格等因素中确定首先要考虑的因素。在一