任务2-9 地球椭球与高斯投影计算

任务2-9地球椭球与高斯投影计算野外测量工作是在地球表面上进行的，它是以大地水准面为基准面、以铅垂线为基准线的，而大地水准面是一个略有起伏的不规则的曲面，由于地表起伏以及地层内部密度变化造成质量分布不均匀，无法用数学公式将其表示出来，也就不确知其形状。另由于地球内部质量分布不均，从而导致铅垂线呈现不规则的变化。因此大地水准面不能作为控制测量计算的基准面。这就需要寻求一个大小和形状与大地体非常相近，且两者之间相对位置关系确定的旋转椭球来代替地球，这个椭球称为地球椭球，简称为椭球。可以将地面上所有观测元素归算至其表面上来完成计算。因此，参考椭球面是测量内业工作的基准面，其法线是内业计算的基准线。一、地球椭球及其定位任务2-9地球椭球与高斯投影计算用参考椭球体取代地球必须解决两个问题：一是椭球参数的选择；二是将椭球与地球的相关位置确定下来，即椭球的定位。1.椭球参数的选择确定椭球形状和大小的基本元素有长半轴、短半轴、扁率、第一偏心率和第二偏心率，如图2-48所示。其中a、b称为长度元素；扁率α反映了椭球体的扁平程度。偏心率是子午椭圆的焦点离开椭圆中心的距离与椭圆半径之比，它们也反映椭球体的扁平程度，偏心率愈大，椭球愈扁。图248地球椭球的基本几何参数2.椭球定位椭球定位就是将具有一定参数的椭球与大地体的相关位置确定下来，从而确定出测量计算基准面的具体位置和大地测量起算的具体数据。椭球定位一般都是通过大地原点的天文观测来实现的。因所采用的椭球不同，所依据的基准不同，椭球的定位方法也有所不同。常规做法是：首先选定某一适宜的点K作为大地原点，在该点上实施精密的天文测量和高程测量，由此得到该点的天文经度λk，天文纬度φk，至某一相邻点的天文方位角αk和正高H正k，代入下式即可推算出大地测量起算数据，即完成椭球的定位。LK=lK-hKsecjKBK=jK-xKAK=aK-hKtanjKHK=H正K+NK椭球面是测量计算的基准面。在野外的各种测量都是在大地水准面上进行，观测的基准线不是各点相应的椭球面的法线，而是各点的铅垂线，各点的铅垂线与法线存在着垂线偏差。因此不能直接在大地水准面上处理观测成果，而应将大地水准面上的观测元素（包括方向和距离等）归算至椭球面。二、将地面观测值归算至椭球面1.将地面观测的水平方向归算至椭球面将地面观测方向归算至椭球面上，有三个基本内容：一是将测站点铅垂线为基准的地面观测方向换算成椭球面上以法线为准的观测方向；二是将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间的法截线方向；三是将椭球面上的法截线方向换算成大地线方向。要完成上述三个内容的转换，则需要加入三差改正，即垂线偏差改正、标高差改正及截面差改正,具体如下:1）垂线偏差改正地面上所有水平方向的观测都是以铅垂线为依据的，而在椭球面上则要求以该点的法线为依据。把以铅垂线为依据的地面观测的水平方向值归算到以法线为依据的方向值而应加的改正定义为垂线偏差改正。垂线偏差改正的数值主要与测站点的垂线偏差和观测方向的天顶距（或垂直角）及方位角有关。一般情况下，这项改正数是很小的，只有在国家一、二等三角测量计算中，才加入该项改正。2）标高差改正标高差改正又称由照准点高度而引起的改正。不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共面的。当进行水平方向观测时，如果照准点高出椭球面某一高度，则照准面就不能通过照准点的法线同椭球面的交点，由此引起的方向偏差的改正叫做标高差改正。标高差改正主要与照准点的高程有关。经过此项改正后，便将地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应的法截弧(过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截弧)方向。一般情况下标高差改正的数值微小，在进行局部地区的控制测量时，可不必考虑此项改正。3）截面差改正在椭球面上，纬度不同的两点由于其法线不共面，所以在对向观测时相对法截弧不重合，应当用两点间的大地线(椭球面上两点间的最短程曲线叫做大地线,假如在椭球模型表面A、B两点之间，画出相对法截线如图2-49所示，然后在A、B两点上各插定一个大头针，并紧贴着椭球面在大头针中间拉紧一图249大地线条细橡橡皮筋，并设橡皮筋和椭球面之间没有摩擦力，则橡皮筋形成一条曲线，恰好位于相对法截线之间，这就是一条大地线，由于橡皮筋处于拉力之下，所以它实际上是两点间的最短线；在椭球面上进行测量计算时，应当以两点间的大地线为依据。在地面上测得的方向、距离等，应当归算成相应大地线的方向、距离。)代替相对法截弧，这样将法截弧方向化为大地线方向应加的改正叫截面差改正。通常只有在一等三角测量中，才进行截面差改正。在一般情况下，一等三角测量应加三差改正，二等三角测量应加垂线偏差改正和标高差改正，而不加截面差改正；三等和四等三角测量可不加三差改正。但当x=h10时或者H2000m时，则应分别考虑加垂线偏差改正和标高差改正。在特殊情况下，应该根据测区的实际情况作具体分析，然后再做出加还是不加改正的规定。如下表2-27所示：表2‐27三差改正三、四等酌情三差改正主要关系量是否要加改正一等二等加加垂线偏差标高差截面差不加x,hHS目前，将地面观测方向值归算至椭球面上所进行的三差改正，基本上都是在平差软件中完成的，因此，这里就不具体介绍三差改正的计算公式了。Hm2.电磁波测距边长归算至椭球面电磁波测距仪测得的长度是连接地面两点间的直线斜距，也应将它归算到参考椭球面上。空间直线的长度与端点的铅垂线没有关系，可以直接沿端点的法线归算到椭球面上。如图2-50所示，大地点Q1和Q2的大地高分别为H1和H2。其间用电磁波测距图250电磁波测距边归算至椭球面仪测得的斜距为D，现要求大地点在椭球面上沿法线的投影点Q1'和Q2'间的大地线的长度S。电磁波测距边长归算椭球面上的计算公式为：RAD324RA21Dh22DS=D--D+式中：1Hm=(H1+H2)2Dh=H2-H1①计算公式中右端第二项是由于控制点之高差引起的倾斜改正的主项，经过此项改正，测线已变成平距；②第三项是由平均测线高出参考椭球面而引起的投影改正，经此项改正后，测线已变成弦线；③第四项则是由弦长改化为弧长的改正项。利用大地测量观测成果（角度、距离），计算点在椭球上的大地坐标，或者根据两点的大地坐标，计算他们之间的大地线长和大地方位角，这类问题通常叫做大地问题解算，或称大地坐标解算。因为在球面上解算复杂，实际应用比较少，一般过程都由平差软件完成，故在此我们不做过多说明。1.投影原因野外测量是在复杂的非数学曲面——地球表面上进行的。为了测量计算的需要，选取近似于地球表面的数学曲面——参考椭球面作为测量计算的基准面。椭球面上的大地坐标系是大地测量的基本坐标系，它对于研究地球形状大小、大地问题解算、编制地图等都非常有用。可是另一方面，在椭球面上进行测量计算仍然相当复杂，人们总是期望将椭球面上的测量元素归算到平面上，以便在平面上进行计算。同时，地形图测绘也是把地球表面上的地貌、地物按一定的要求用平面图形表示出来。测绘时我们把地面看作为平面看待，也就是把一个平面上的图形通过比例缩放画到另一个平面上的问题。当测区范围较小时是可以的，然而当在较大的测区内布设整体的控制网时，就必须考虑到地面不是一个平面，而是一个曲面（椭球面）。这就产生如何将椭球面上的图形描绘到平面上的问题。三、高斯投影与高斯平面直角坐标系我们知道，将大范围的一块椭球面展平是不可能的，强行展平就必然出现折皱或破裂。如何解决这个矛盾，在测绘工作中通常使用“投影”的方法来解决。如果我们按照一定的投影规律，先将椭球面上的起算元素和观测元素化算为相应的平面元素，然后在平面上进行各种计算就简单多了，也就解决了椭球面至平面的转化问题。2.地图投影与变形地图投影就是将椭球面各元素（包括坐标、方向和长度）按一定的数学法则投影到平面上。研究这个问题的专门学科叫地图投影学。可用下面两个方程式（坐标投影公式）表示：x=F1(L,B)y=F2(L,B)式中：（BL）是椭球面上某点的大地坐标，而（x，y）是该点投影后的平面直角坐标。椭球面是一个凸起的、不可展平的曲面，将这个曲面上的元素（距离、角度、图形）投影到平面上，就会和原来的距离、角度、图形呈现差异，这一差异称为投影变形。地图投影所产生的变形的一般可分为角度变形、长度变形和面积变形3种。对于各种投影变形，人们可以根据需要来掌握和控制它。可以使某一种变形为零；也可以使全部变形都存在，但减小到某一适当程度。不过企图使全部变形同时消失，显然是不可能的。根据投影变形的性质，地图投影分为等角投影、等距投影和等积投影。（1）等角投影是指投影前后的角度相等，但长度和面积有变形；（2）等距投影是指投影前后的长度相等，但角度和面积有变形；（3）等积投影是指投影前后的面积相等，但角度和长度有变形。3.控制测量对地图投影的要求控制测量对地图投影有下列要求：（1）控制测量应当采用等角投影（又称为正形投影）；采用正形投影时，在三角测量和导线测量中大量的角度观测元素在投影前后保持不变；在测制的地图时，采用等角投影可以保证在有限的范围内使得地图上图形同椭球上原形保持相似。（2）在采用的正形投影中，要求长度和面积变形不大，并能够应用简单公式计算由于这些变形而带来的改正数。（3）能按分带投影。4.高斯投影概述1）基本概念如图2-51所示，假想有一个椭圆柱面横套在地球椭球体外面，并与某一条子午线（此子午线称为中央子午线或轴子午线）相切，椭圆柱的中心轴通过椭球体中心，然后用一定投影方法，将中央子午线两侧各一定经差范围内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面展开即成为投影面，如图2-52所示，此投影为高斯投影。高斯投影是正形投影的一种。图251横轴椭圆柱等角投影图252高斯投影平面在高斯投影平面上，中央子午线和赤道的投影都是直线。若以中央子午线与赤道的交点O作为坐标原点，以中央子午线的投影为纵坐标轴，即x轴，以赤道的投影为横坐标轴，即y轴，这样就形成了高斯平面直角坐标系。椭球面上任意一点A，其大地坐标为（B，L），投影后在平面上有一对应点a，其高斯平面坐标为（x，y）。2）高斯投影的特征（1）椭球面上的角度，投影后保持不变；（2）中央子午线投影后为一直线，且其长度保持不变；（3）赤道投影后是一条与中央子午线正交的直线；（4）椭球面上除中央子午线外，其余子午线投影后均向中央子午线弯曲，并向两极收敛；（5）椭球面上对称于赤道的平行圈，投影后成为对称的曲线，它与子午线的投影正交，并凹向两极；（6）距中央子午线越远，长度变形越大。3）分带投影高斯投影存在长度变形（除中央子午线），离开中央子午线越远，长度变性越大。限制长度变形最有效的方法是分带投影，即把投影的区域限制在中央子午线两旁的一定范围内。具体做法是先将地球椭球面沿子午线划分成若干个经差相等的瓜瓣形区域（例如6°或3°），然后分别按高斯投影规律进行投影，于是得出不同的投影带。位于各带中央的子午线即为中央子午线；用以分带的子午线叫做分带子午线，也叫边界子午线。显然在一定范围内，带分得越多，则各带所包括的范围越小，长度变形越小。分带后，各带将有自己的坐标原点和坐标轴，形成自己的坐标系。如图2-53所示。按照国际上的统一规定，投影分带主要有6°分带和3°分带。高斯投影6°带是自0°子午线起每隔经差6°自西向东分带，依次编号1,2,3,…。带号用N表示，中央子午线的经度用L0表示，它们的关系是高斯投影3°带：它的中央子午线一部分同6°带中央子午线重合，一部分同6°带的分界子午线重合，如用n表示3°带的带号，L表示3°带中央子午线经度，它们的关系L=3n，如图2-53横线以下。6°带和3°带的位置关系图如图2-53所示。我国地域辽阔，西自东经73°起，,东至东经135°止,分跨6°带的第13带～23带，3°带的24带～45带。L0=6N-3。4）高斯平面直角坐标系的建立各投影带以中央子午线的投影为纵坐标轴，赤道的投影为横坐标轴，形成自己的坐标系，为了区别各带的坐标值，我国对高斯平面直角坐标系的建立进行了规