东南大学_高数(上)_03至10年_期末试卷(附答案)

—238—03～10级高等数学（A）（上册）期末试卷2003级高等数学（A）（上）期末试卷一、单项选择题（每小题4分，共16分）1．设函数()yyx由方程yxtxdte12确定，则0xdxdy（）.e2(D);1-e(C);e-1(B);1)(eA2．曲线41ln2xxxy的渐近线的条数为（）.0(D);3(C);2(B);1)(A3．设函数)(xf在定义域内可导，)(xfy的图形如右图所示，则导函数)(xfy的图形为（）4．微分方程xyy2cos34的特解形式为（）.2siny)(;2sin2cosy)(;2cosy)(;2cosy)(****xADxBxxAxCxAxBxAA二、填空题（每小题3分，共18分）1．_____________________)(lim210xxxxe2．若)(cos21arctanxfexy，其中f可导，则_______________dxdy3．设,0,00,1sin)(xxxxxf若导函数)(xf在0x处连续，则的取值范围是__________。—239—4．若dtttxfx20324)(，则)(xf的单增区间为__________,单减区间为__________.5．曲线xxey的拐点是__________6．微分方程044yyy的通解为__________________________y三、计算下列各题（每小题6分，共36分）1．计算积分dxxx232)1(arctan2．计算积分dxxxx5cossin3.计算积分dxexx20324.计算积分0cos2xdx5.设)(xf连续，在0x处可导，且4)0(,0)0(ff，求xxdtduuftxtxsin))((lim3000—240—6.求微分方程0)2(222dxyxxydy的通解四.（8分）求微分方程xxeyyy223满足条件0,000xxyy的特解五.（8分）设平面图形D由xyx222与xy所确定，试求D绕直线2x旋转一周所生成的旋转体的体积。—241—六.（7分）设质量均匀分布的平面薄板由曲线C:ttyttx2522与x轴所围成，试求其质量m七.（7分）设函数)(xf在],[aa上有连续的二阶导数，且0)0(f，证明：至少存在一点],[aa，使得)(3)(3fadxxfaa—242—2004级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（每小题4分，共20分）1．函数xxf11的间断点是第类间断点.2.已知xF是xf的一个原函数,且21xxxFxf,则xf.3.xxxxxdee1112005.4.设tuuxfxtdd10sin14,则0f.5.设函数01d23xttxfxx,则当x时,取得最大值.二.单项选择题(每小题4分,共16分)1.设当0xx时,xx,都是无穷小0x,则当0xx时,下列表达式中不一定为无穷小的是[](A)xx2(B)xxx1sin22(C)xx1ln(D)xx2.曲线211arctane212xxxxyx的渐近线共有[](A)1条(B)2条(C)3条(D)4条3.微分方程xxyyy2e2的一个特解形式为y[](A)xxbax22e(B)xax2e(C)xbax2e(D)xxbax2e4.下列结论正确的是[](A)若badc,,,则必有badcxxfxxfdd.(B)若xf在区间ba,上可积,则xf在区间ba,上可积.(C)若xf是周期为T的连续函数,则对任意常数a都有TTaaxxfxxf0dd.(D)若xf在区间ba,上可积,则xf在ba,内必有原函数.三.(每小题7分,共35分)—243—1.3020dcoslnlimxtttxx2.设函数xyy是由方程2e22xyyyx所确定的隐函数,求曲线xyy在点2,0处的切线方程.3.xxxxdcoscos0424.13darctanxxx—244—5.求初值问题210,10sinyyxxyy的解.四.(8分)在区间e,1上求一点,使得图中所示阴影部分绕x轴旋转所得旋转体的体积最小.五.(7分)设ba0,求证baabab2ln.1e1XOYxyln—245—六.(7分)设当1x时,可微函数xf满足条件0d110xttfxxfxf且10f,试证:当0x时,有1exfx成立.七.(7分)设xf在区间1,1上连续,且0dtand1111xxxfxxf,证明在区间1,1内至少存在互异的两点21,,使021ff.—246—2005级高等数学（A）（上）期末试卷一．填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．22060sindlimxxttx；2．曲线322(1)xyx的斜渐近线方程是；3．设()yyx是由方程lnlnyyx所确定的隐函数，则ddyx；4．设f在区间[0,]上连续，且0()sin()dfxxfxx，则()fx；5．设21,0()e,0xxxfxx，则31(2)dfxx；6．2sindcosxxxx；7．曲线lnyx相应于13x的一段弧长可用积分表示；8．已知1exy与22exy分别是微分方程0yayby的两个特解，则常数a，常数b；9．0()0fx是曲线()yfx以点00(,())xfx为拐点的条件。二．计算下列各题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1．设220()sindxfxtxtt，求()fx2．2e1de4xxx3．240sinsindxxxx—247—4．21d221xxxx三．（本题满分9分）设有抛物线2:(0,0)yabxab，试确定常数a、b的值，使得（1）与直线1yx相切；（2）与x轴所围图形绕y轴旋转所得旋转体的体积最大。四．（本题共2小题，满分14分）1．（本题满分6分）求微分方程222e1ded0xxxyxy的通解。—248—2．（本题满分8分）求微分方程22exyyx满足初始条件9(0)2,(0)4yy的特解。五．（本题满分7分）试证：（1）设eu，方程lnxxu在ex时存在唯一的实根()xu；（2）当u时，1()xu是无穷小量，且是与lnuu等价的无穷小量。六．（本题满分6分）证明不等式：111ln2111ln213521nnn，其中n是大于1的正整数。—249—2006级高等数学（A）（上）期末试卷一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．200edlim(cos1)xtxxtxx；2．曲线231xtyt在2t对应的点处的切线方程为；3．函数()ln(1)fxxx在区间内严格单调递减；4．设()yyx是由方程ln1xyy所确定的隐函数，则(0)y；5．512224111d1xxxxxxx；6．设)(xf连续，且201(2)darctan2xtfxttx，已知1)1(f,则21()dfxx；7．已知)(xyy在任意点x处的增量21xxyy，当0x时，是x的高阶无穷小，已知)0(y，则_____)1(y；8．曲线1lneyxx的斜渐近线方程是；9．若二阶线性常系数齐次微分方程有两个特解312e,exxyy，则该方程为.二.计算题（本题共4小题，每小题7分，满分28分）1．计算不定积分2arccosdxxxx2．计算定积分20sindxxx3．计算反常积分211d1xxx4．设31()d1xtGxtt，求10()dGxx—250—三．（本题满分7分）求曲线lncos1sin2xtyt自0t到4t一段弧的长度。（第3页）四．（本题共2小题，第1小题7分，第2小题9分，满分16分）1．求微分方程2sincotyyxyx的通解。2．求微分方程sinyyxx的特解，使得该特解在原点处与直线32yx相切。—251—五．（本题满分7分）设1a，求积分121()edxIaxax的最大值。六．（本题满分6分）设函数)(xf在]4,2[上存在二阶连续导数，且0)3(f，证明：至少存在一点]4,2[，使得42()3()dffxx。—252—2007级高等数学（A）（上）期末试卷5．设5()22yyxx是由方程2200edcosd0yxtttt确定的隐函数，则()yx的单调增加区间是，单调减少区间是；6．曲线2exyx的拐点坐标是，渐进线方程是；7．2222lim3123nnnnnnnn；8．231cos2cossindxxxx；二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分）10.22202dxxxx11．arctan1dxx一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分）1．210limexxxx；2．设1sinxyx，则dy；3．已知(3)2f，则0(3)(3)limsin2hfhfh；4．对数螺线e在2对应的点处的切线方程是；9．二阶常系数线性非齐次微分方程2sinyyx的特解形式为*y.12。2ecosdxxx—253—三（13）．（本题满分8分）设20e,()0,xxxfxxx，221e,02()10,2xxFxxx（）问)(xF是否为)(xf在),(内的一个原函数？为什么？（2）求()dfxx四（14）．（本题满分7分）设2sin()()dxxxtfxtt，求20()limxfxx.五（15）．（本题满分6分）求微分方程(cossin2)dd0yxxxy的通解.—254—六（16）．（本题满分8分）设()fx、()gx满足()(),()2e()xfxgxgxfx，且(0)0,(0)2fg，求20()()d1(1)gxfxxxx.七（17）．（本题满分8分）设直线)10(aaxy与抛物线2yx所围成的图形面积为1S，它们与直线1x所围成的图形面积为2S（1）试确定a的值，使12SS达到最小，并求出最小值（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积八（18）．（本题满分6分）设12()sindxxfxtt，求证：当0x时，1()fxx.—255—2008级高等数学（A）（上）期末试卷5．二阶常系数线性非齐次微分方程265exyyy的特解形式是*y；6．设是常数，若对0x，有0lndln2xxttx，则；8．设()fx是连续函数，且0()sin()dfxxfxx，则0()dfxx；二.按要求计算下列各题（本题共5小题，每小题6分，满分30分）10．300sindlim(1cos)xxtttxx11.222404(1)s