n阶行列式的定义及性质

§1.3n阶行列式的定义及性质二、n阶行列式的性质一、n阶行列式的定义一、n阶行列式的定义为了给出n阶行列式的定义我们要先研究三阶行列式的结构.观察与想考a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31a11a21a31a12a22a32a13a23a33三阶行列式存在什么规律?(1)行列式右边任一项除正负号外可以写成321321pppaaa其中p1p2p3是1、2、3的某个排列.(2)各项所带的正负号可以表示为(1)t其中t为列指标排列p1p2p3所决定（称为p1p2p3的逆序数）.三阶行列式可以写成321321333231232221131211)1(ppptaaaaaaaaaaaa其中t为排列p1p2p3的逆序数∑表示对1、2、3三个数的所有排列p1p2p3取和.三阶行列式的结构一：特别规定一阶行列式|(a)|的值就是a.由n2个数aij(ij12n)构成的代数和nnppptaaa)1(2121称为n阶行列式记为nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211简记为det(aij)其中p1p2pn为自然数12n的一个排列t为这个排列的逆序数∑表示对所有排列p1p2pn取和.在n阶行列式D中数aij为行列式D的(ij)元.n阶行列式的传统定义：为了给出n阶行列式的第二种定义方式我们再进一步研究三阶行列式的结构.观察与想考a11a22a33a12a23a31a13a21a32a11a23a32a12a21a33a13a22a31a11a21a31a12a22a32a13a23a33三阶行列式存在什么规律?112233233212213323311321322231()()()aaaaaaaaaaaaaaa222321232122111213323331333132aaaaaaaaaaaaaaa三阶行列式的结构二：其中Aij(1)ijMijMij是D去掉第i行第j列全部元素后,按原顺序排成的n1阶行列式,称Mij为元素aij的余子式,称Aij为元素aij的代数余子式.n阶行列式的递归法定义：由n2个数aij(ij12n)组成的n阶行列式nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211是一个算式.当n=1时定义D=|(a11)|=a11;当n≥2时定义Da11A11a12A12a1nA1n余子式与代数余子式的一个例子55453525155444342414534333231352423222125141312111aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD5545351554443414524232125141311123aaaaaaaaaaaaaaaaMA23(1)23M23M23.例如已知则a23的余子式和代数余子式分别为方阵与行列式111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa设为n阶方阵,则A的行列式可记为|A|或detA,即111212122212det.nnnnnnaaaaaaAAaaa(3)只有方阵才有行列式!矩阵与行列式的区别(1)行列式是一个算式,一个数字行列式经过计算可求得其值.(2)矩阵仅仅是一个数表,它的行数和列数可以不同.例1证明n阶下三角行列式证对n作数学归纳法.当n=2时结论成立.假设结论对n1阶下三角行列式成立,则由定义得.112122112212000.nnnnnnnaaaDaaaaaa2232331111111112223000(1).nnnnnnnnaaaDaaDaaaaaa例2计算n阶行列式(副对角线以上元素全是0)解利用行列式定义,可得.12100000.0nnnaaDaa******11112100(1)(1),0nnnnnnnaDaaDaa***递推可得(1)2121(1).nnnnnDaaaan阶行列式的性质：性质1设A为方阵,则|AT|=|A|,即转置不改变方阵的行列式.由此性质可知行列式中的行与列具有同等的地位行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立反之亦然.性质2(行列式按行展开法则)行列式等于它的任一行各元素与其对应的代数余子式乘积的和即Dai1Ai1ai2Ai2ainAin(i=12n).•推论(行列式按列展开法则)行列式等于它的任一列各元素与其对应的代数余子式乘积的和即Da1jA1ja2jA2janjAnj(j=12n).例设12340925,71462183A.TA则(1)A的第3列元素3,2,4,8正好是AT的第3行元素;(2)A的第3列元素的余子式095124124124716,716,095,095213213213716正好是|AT|的第3行元素的余子式的转置,故|A|=|AT|=AT的第3行元素与其对应的代数余子式乘积的和=A的第3列元素与其对应的代数余子式乘积的和1072291132484563又对应元素的代数余子式的符号关系一致,性质3(线性性质）(1)行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k等于用数k乘此行列式.nnnniniinnnnniniinnnnnininiiiinaaabbbaaaaaaaaaaaaaaabababaaaa21211121121211121121221111211.(2)•推论(1)行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面.(2)某一行(列)的所有元素全为0的行列式其值为0.性质4行列式中如果有两行(列)完全相等则行列式等于零.•推论行列式中如果有两行(列)元素成比例则行列式等于零.性质5把行列式的某一行(列)的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去行列式不变.即111211112112112212121212.nniiinijijinjnjjjnjjjnnnnnnnnnaaaaaaaaaakaakaakaaaaaaaaaaaaa性质6(反对称性质)行列式的两行(列)对换行列式的值反号.证10,,,,,,ijijn11,,,,,,,,,,,,iijnjijn11,,,,,,,,,,,,ijnjin11,,,,,,,,,,,,ijnjin即初等变换与行列式•性质3(1),irkAB设以下A,B都是方阵.则|B|=k|A|.,jckAB则|B|=k|A|.•性质5,ijrkrAB则|B|=|A|.•性质6,ijrrAB则|B|=|A|.综上,我们有•命题(1),AB初则|A|与|B|要么同时为0,要么同时不为0.(2)设n阶方阵A满足|A|≠0,且A经过有限次初等行变换变成行简化阶梯矩阵R,则R=En.,ijckcAB则|B|=|A|.,ijccAB则|B|=|A|.注在计算行列式中,经常需要用初等变换来“打洞”,可以看出“打洞”中起主要作用的是性质5.性质7行列式某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即ai1Aj1ai2Aj2ainAjn0(ij)或a1iA1ja2iA2janiAnj0(ij).nkjkikjijiDAa10当当或nkkjkijijiDAa10当当.综合结论例已知1112114157.24611242D则A12A22+4A32+2A42=D=57,A21+2A22+4A23+2A24=0.例对于n阶上三角行列式,有提示利用性质1及下三角行列式的结果.1112122211220.00nnnnnnnaaaaaDaaaa上三角形,下三角形及对角形行列式的值等于主对角线上n个元素的乘积.例设1112132122233132331,aaaaaaaaa则1111121321212223313132332323_____.23aaaaaaaaaaaa2例设5阶方阵1234156725893681047910000,00aaaaaaaaAaaaaaaaaaaaa求|A|.12341567525893681047910000(1),00TaaaaaaaaAAaaaaAAaaaaaaaa解从而|A|=0.注此题中A是所谓的反对称矩阵,奇数阶反对称矩阵的行列式的值必为0(第14页例4).