ch9-3(4格林公式及其应用)

一、Green公式二、平面曲线积分与路径无关的条件Ch9-3格林公式及其应用区域连通性的分类设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD设有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成,函数),(),(yxQyxP及在D上具有一阶连续偏导数,则有LDQdyPdxdxdyyPxQ)((1)其中L是D的取正向的边界曲线,公式(1)叫做格林公式.一、格林公式定理1连成与由21LLL组成与由21LLL边界曲线L的正向当观察者沿边界行走时,区域D总在他的左边。2LD1L2L1LD}),()(),{(21bxaxyxyxD证明(1)若区域D既是X型又是Y型,即平行于坐标轴的直线和L至多交于两点.}),()(),{(21dycyxyyxDyxoabDcd)(1xy)(2xyABCE)(2yx)(1yxdxxQdydxdyxQyydcD)()(21dcdcdyyyQdyyyQ)),(()),((12CAECBEdyyxQdyyxQ),(),(EACCBEdyyxQdyyxQ),(),(LdyyxQ),(同理可证LDdxyxPdxdyyP),(yxod)(2yxDcCE)(1yx若区域D由按段光滑的闭曲线围成.如图,(2)L1L2L3LD1D2D3D两式相加得LDQdyPdxdxdyyPxQ)(将D分成三个既是X型又是Y型的区域1D,2D,3D.321)()(DDDDdxdyyPxQdxdyyPxQ321)()()(DDDdxdyyPxQdxdyyPxQdxdyyPxQ321LLLQdyPdxQdyPdxQdyPdxLQdyPdx1D2D3DL1L2L3L),(32,1来说为正方向对DLLLGD3L2LFCE1LAB(3)若区域不止由一条闭曲线所围成。添加直线段AB,CE，则D的边界曲线由B,2L,BA,AFC,CE,3L,EC及CGA构成。由(2)知DdxdyyPxQ)(CEAFCBALAB2{CGAECLQdyPdx)(}3LQdyPdx231))((LLLQdyPdx),(32,1来说为正方向对DLLL便于记忆形式LDQdyPdxdxdyQPyx。格林公式的实质:沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间的联系。xyoL例1计算ABxdy,其中曲线AB是半径为r的圆在第一象限部分。解引入辅助曲线L,（1）简化曲线积分简单应用ABDBOABOAL应用格林公式,xQP,0有LDxdydxdy,BOABOAxdyxdyxdy,0,0BOOAxdyxdy由于214ABDxdydxdyr例2计算Dydxdye2,其中D是以)1,0(),1,1(),0,0(BAO为顶点的三角形闭区域。解令2,0yxeQP,（2）简化二重积分xyoAB11D则2yeyPxQ,应用格林公式,有BOABOAyDydyxedxdye221022dxxedyxexOAy).1(211eOADAOAOOAOAdxdyyPxQ)(（例3计算,dy)y(sinedx)ycos(eIxLx11解可直接化为对x的定积分，但计算量较大。这里用格林公式。xyLsin:从到)0,0(O)0,(A（01dxdy]ysine)y(sine[xDx0sin00sinxdxedyedxxxx.2121|)cos(sin20exxex例4计算Lyxydxxdy22,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向。则当022yx时,有yPyxxyxQ22222)(。记L所围成的闭区域为D,解令2222,yxxQyxyP,L(1)当D)0,0(时,(2)当D)0,0(时,1DrlxyoLD由格林公式知Lyxydxxdy022作位于D内圆周222:ryxl,记1D由L和l所围成,应用格林公式,得yxolLyxydxxdyyxydxxdy2222xyor1DlL02222lLyxydxxdyyxydxxdy(其中l的方向取逆时针方向)2(注意格林公式的条件)drrr22222sincos20还可将结论更一般化（略）小结（1）L是D的边界，在D上yPxQ简单，而且DdxdyyPxQ)(易于计算时，可应用格林公式计算OxyL1L2L3L注此例中所作的辅助圆l是否一定要是D内的圆周（即r充分小）？（2）L不封闭时，采取“补线”的方法：lDlLlLdxdyyPxQ)(l要求右端的二重积分及曲线积分易于计算。选用直线段、折线、圆、半圆、椭圆、抛物线等。l（3）如在D上P、Q一阶偏导连续，且处处有,yPxQ则;0L如D内除点外均有则,yPxQlL),(000yxM其中是包围点的与同向的光滑的简单闭曲线，特别地是以为中心的圆、椭圆等（半径或长短半轴大小不限，只要内部没有别的“坏点”）例5计算逆时针方向。,yx:C,yxydxxdyIC142222,yxxQ,yxyP222244解,)yx(yx)yx(xx)yx(xQ222222222244484Lll),(00yx),(00yx,)4(4)4(2)4(2222222222yxyxyxyyyxyP除原点外处处有QPxy'2DLLcdxdyydxxdy取,逆时针方向，则14:22yxL格林公式:LDQdyPdxdxdyyPxQ)(取,,xQyP得LDydxxdydxdy2闭区域D的面积LydxxdyA21.取,,0xQP得LxdyA取,0,QyP得LydxA（3）计算平面面积曲线AMO由函数],0[,axxaxy表示,例6计算抛物线)0()(2aaxyx与x轴所围成的面积。解ONA为直线0y。LydxxdyA21AMOONAydxxdyydxxdy2121)0,(aANMAMOydxxdy21dxxaxdxaxaxa)()12(21020146aaxdxa)0,(aANMGyxo1LQdyPdx则称曲线积分LQdyPdx在G内与路径无关,2LQdyPdx1L2LBA如果在区域G内有否则与路径有关。二、平面上曲线积分与路径无关的条件平面上曲线积分与路径无关的等价条件具有一阶连续偏导数,则以下四个条件等价:定理8.2.2设是单连通域,在内函数DD(1)沿中任意光滑闭曲线,有0ddLPxQy。DL(2)对中任一分段光滑曲线,曲线积分LyQxPdd与路径无关,只与起止点有关.DL(3)yQxPyxudd),(d在内是某一函数的全微分,即D(4)在内每一点都有PQyx。D说明:积分与路径无关时,曲线积分可记为证明(1)(2)设21,LL21ddddLLyQxPyQxP21ddLLyQxPAB1L2L2ddLyQxP为D内任意两条由A到B的有向分段光滑曲线则(根据条件(1))BAyQxPddAByQxPdd证明(2)（3）在D内取定点因曲线积分),(),(yxuyxxuux则),(yxPxuxuxx0lim),(lim0yxxPx),(),(ddyxxyxyQxP),(),(dyxxyxxPxyxxP),(同理可证yu),,(yxQ因此有yQxPuddd和任一点,与路径无关,),(yxxC),(yxB),(00yxA有函数),(yxB证明(3)（4）设存在函数使得),(yxuyQxPuddd则)y,x(Qyu),y,x(Pxu在D内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有xQyPQP,证明(4)（1）设L为D中任一分段光滑闭曲线,DD(如图),上因此在DxQyP利用格林公式,得ydx)xQxQ(ydQxdPLDdDDL0所围区域为证毕yx说明:根据定理2,若在某区域内,xQyP则2)求曲线积分时,可利用格林公式简化计算,Dyx),(00及动点,),(Dyxyd)y,x(Qxd)y,x(P)y,x(u)y,x()y,x(00xxxd)y,x(P00或yyyd)y,x(Q)y,x(u000y0x则原函数为yyyd)y,x(Q0xxxd)y,x(P0若积分路径不是闭曲线,可添加辅助线;取定点1)计算曲线积分时,可选择方便的积分路径;3)可用积分法求在域D内的原函数:QdyPdxduyAxoL例7计算其中L为上半从O(0,0)到A(4,0).解为了使用格林公式,添加辅助线段,AOD它与L所围原式yxyxyxAOLd)(d)3(22Dyxdd4OAyxyxyxd)(d)3(22402dxx圆周区域为D,则3648例8验证是某个函数的全微分,并求出这个函数.证设,,22yxQyxP则xQyxyP2由定理2可知,存在函数u(x,y)，使yyxxyxuddd22。)0,0(。),(yx)0,(xxxx0d0yyxyd02yyxyd02例9验证22ddyxxyyx在右半平面内存在原函数,并求出它.证令2222,yxxQyxyP则)0()(22222xyQyxxyxP由定理2可知存在原函数xx1d0oxyyyxyx022d)0,(x)0,1(),(yx)0(xoxy)0,(x)0,1(),(yxyyy021dyxarctan2或),1(y内容小结1格林公式LyQxPdd2等价条件在D内与路径无关.yPxQ在D内有yQxPudddyxyPxQDddLyQxPdd对D内任意闭曲线L有0ddLyQxP在D内有设P,Q在单连通域D内具有一阶连续偏导数,则有思考与练习1设且都取正向,问下列计算是否正确?lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41Do2y1x2LlDd5415lyxxyyx22ddlxyyxdd41Dd2412提示:时022yxyPxQ)1(yPxQ)2(2设提示),(dyxuxxyxd)4(34yyyxd)56(422yox),(yx)0,(xxxxd04yyyxyd)56(0422C551x322yxCy5xxyxd)4(34yyyxd)56(422CCCCDyxoaaC备用题1设C为沿yxaxyxaxxayCd)ln(2d22222222ayx从点),0(a依逆时针),0(a的半圆,计算解添加辅助线如图,利用格林公式.原式=aayayd)ln2(D222xayyxddC到点