ch9.1 定积分概念

1第九章定积分§1定积分的概念§2牛顿-莱布尼茨公式§3可积条件§4定积分的性质§5微积分学基本定理定积分的计算（续）2§1定积分的概念不定积分和定积分是积分学中的两大基本问题。求不定积分是求导数的逆运算，定积分则是某种特殊和式的极限，它们之间既有本质的区别，但也有紧密的联系。现在先从两个例子来看定积分概念是怎样提出来的。一、问题提出31.曲边梯形的面积曲边梯形：设曲边梯形是由连续曲线以及两直线所围成,求其面积A.?A)(xfy矩形面积梯形面积4abxyoabxyo思路：用已知代未知，利用极限由近似到精确。一般地，小矩形越多，小矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）用矩形面积近似曲边梯形面积：5观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．6观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．7观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．8观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．9观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．12观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．13观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．14观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．15观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．16观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．17观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．18观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．19观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．20观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．2122解决步骤:1)分割在区间[a,b]中任意插入n–1个分点bxxxxxann1210],[1iiixx用直线ixx将曲边梯形分成n个小曲边梯形;2)近似在第i个窄曲边梯形上任取作以],[1iixx为底,)(if为高的小矩形,并以此小梯形面积近似代替相应窄曲边梯形面积得)()(1iiiiiixxxxfAxyo()yfxab1x1ixix1nxi——分割T233)求和niiAA1niiixf1)(4)取极限令则曲边梯形面积01limniTiAA01lim()niiTifxxyo()yfxab1x1ixix1nxi——T的模或细度242.变力作功若F为变力:()Fx常力F所作的功为:()WFba()Fx()Fxab1ixix(1)分割：把[,]ab任意分为n个小段:112[,](,,,).iixxin(2)近似：在1[,]iixx上任取一点,i物体从1ix移到ix时()Fx作的功1()()iiiiWFxx()iiFx(3)求和：物体从a移到b时()Fx作的功近似为:1()niiiWFx(4)取极限：当无限细分时,上述和式的极限就是所求的功，即01lim()niiTiWFx2501lim()niiTiWFx01lim()niiTiAfx总结：上面两个例子，一个是计算曲边梯形面积的几何问题，另一个是求变力作功的力学问题，它们最终都归结为一个特定形式的和式逼近。不同的问题，有相同的数学结构（数学模型）！在科学技术中还有许多同样类型的数学问题，解决这类问题的思想方法概括说来就是“分割，近似，求和，取极限”。这就是产生定积分概念的背景。26就随之而确定；可用来反映[a,b]被分割的细密程度.具有同一细度分割T一旦给出，因此的分割T却有无限多个.0121nnaxxxxxb,0112,,,,,,.nnTxxx或1max,iinTx,1,2,,,ixTinTTT二、定积分的定义定义1设闭区间[a,b]内有n-1个点，依次为它们把[a,b]分成n个小区间△i=[xi-1,xi],i=1,2,…，n.这些分点或这些闭子区间构成对[a,b]的一个分割，记为小区间△xi的长度为△xi=xi-xi-1,并记称为分割T的模.注：由于另外，但是，27对于[a,b]的一个分割又与所选取的点集有关.任取点12{}nT,,,.ii,1()niiifxi定义2设f是定义在[a,b]上的一个函数.i=1,2,…,n,并作和式称此和式为函数f在[a,b]上的一个积分和，也称黎曼和.注：显然，积分和既与分割T有关，28J是一个确定的实数.使得对[a,b]的任何分割T，，只要以及在其上任意选取的点集，总存在某一正数若对任给的正数数J称为f在[a,b]上的定积分或黎曼积分，a,b分别称为这个定积分的下限和上限.,i||T||1(),niiifxJ().baJfxdx定义3设f是定义在[a,b]的一个函数，，就有则称函数f在区间[a,b]上可积或黎曼可积；记作其中，f称为被积函数，x称为积分变量，[a,b]称为积分区间，29baxxfd)(01lim()niiTifx积分上限积分下限被积函数被积表达式积分变量积分和称为积分区间],[ba定积分仅与被积函数及积分区间有关,而与积分变量用什么字母表示无关,即baxxfd)(battfd)(bauufd)(30lim()().nbiiaT0i1Jfxfxdx以上定义是定积分抽象概念的完整叙述.下面是与定积分概念有关的几点补充注释.注1把定积分定义的说法和函数极限的说法相对照，便会发现两者有相似的陈述方式，因此我们也常用极限符号来表达定积分，即把它写作定积分定义中的两个任意性:(1)分割T的任意性;(2)i的任意性.T每一个并不唯一对应积分和的一个值，这使得积分和的极限要比通常的函数极限复杂得多.31积分和的极限01||||lim()niiTifxJ与普通函数极限0lim()xxhxA的区别：(1)积分和1()niiifx不是T的函数,而()hx是x的函数;(2)01||||lim()niiTifxJ与0lim()xxhxA的定义结构基本相同.01||||lim():niiTifxJ0,0,使得对[,]ab上的任意分割T及任意ii12(,,,),in当||||T时,恒有1|()|.niiifxJ0lim():xxhxA0,0,当00||xx时,恒有|()|.hxA32时必定同时有0T,nnT,0T0.n一般不能用因为来代替时未必有但注2则该函数在所论区间上是不可积的.唯一重要的是分割的细度i{}T,T注3极限的存在与分割T的形式无关，与的选择也无关；当足够小时，总能使积分和与某一确定的数J无限接近.若能构造出两个不同方式的积分和，使它们的极限不相同，01||||lim()niiTifxJ33例1讨论狄利克雷函数10,(),Dxx为有理数x为无理数在区间[,]ab上的可积性.解:设12{,,,}nT为区间[,]ab上的分割.()Dx在区间[,]ab上的关于分割T的积分和为1(),niiiDx12(,,,)iiin由实数的性质,在每一i上,既有有理数,也有无理数.当i取有理数时111(),nniiiiiDxxba01||||lim(),niiTiDxba当i取无理数时1100(),nniiiiiDxx010||||lim()niiTiDx所以该函数在区间[,]ab上不可积.34Dirichlet函数不Riemann可积。注：D(x)的下方图形可看成由[0,1]中每个有理点长出的单位线段组成。11iniixT，有分划1lim)(10||||iniiTbaxMdxxf上积分0lim)(10||||iniiTbaxmdxxf下积分QxQxxD]1,0[1]1,0[0)(0135则对每个特殊分割T以及点集00,,0ni1,mi1,'T,T,iijjTTfxfx.0()()ni1T0baf(x)dx一般地，f在[a,b]上不可积以及虽然但注4反之，若f在[a,b]上可积，的特殊选择，所得的积分和当时，必以为极限.36在[a,b]上形成的曲边梯形面积为稍后(定理9.3)就会知道连续函数是可积的，质点从a位移到b所作的功为yfx()0baSf(x)dx;baWF(x)dx.注5可积性是函数的又一分析性质.于是本节开头两个实例都可用定积分记号表示：1）连续曲线2）在连续变力F（x）作用下，37注6定积分的几何意义设()yfx为[,]ab上连续函数.(1)当0()([,])fxxab时,oxy()yfxab()bafxdx为曲线0(),,,yfxxaxby围成的面积.(2)当0()([,])fxxab时,oyx()yfxab()bafxdx为曲线0(),,,yfxxaxby围成的面积的负值.(3)一般情形:oxy()yfxab()bafxdx为曲线()yfx在x轴上方的正面积与在x轴下方的负面积的代数和.38为曲边的曲边三角形的面积（图9-5）.2yx例2求在区间[0,1]上，以抛物线iiii,,i,,,n.nnn111222311111lim().lim(1)nnnniiiSinnn3(1)(21)1lim.63nnnnn122001lim.niiTiSxdxx2yx解因在[0,1]上连续，故所求面积为取则有