1求数列通项公式的十种方法

求数列通项公式方法大全一、累加法适用于：----------这是广义的等差数列累加法是最基本的二个方法之一。，例1已知数列满足，求数列的通项公式。解：由得则所以。，例2已知数列满足，求数列的通项公式。解法一：由得则所以3解法二：两边除以，得，则，故-1-1n.因此，则练习1.已知数列的首项为写出数列的通项公式.1，且2答案：nn练习2.已知数列满足，，求此数列的通项公式nn答案：裂项求和，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函评注：已知数、分式函数，求通项.n①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。1例3.已知数列中,且,求数列的通项公式解:由已知得化简有,由类型(1)有又得,所以,又,,n111则此题也可以用数学归纳法来求解二、累乘法af(n)a.适用于：----------这是广义的等比数列累乘法是最基本的二个方法之二。-2-n{a}{a}2(1)5，3例4已知数列满足，求数列的通项公式。1n102(1)52(1)5，3解：因为，所以，则，故1n1132n112212112[2(21)5][2(11)5]3[2(11)5][2(21)5]211(1)(2)2[n(1)32]53n(1)132!52n(1)1{a}325!.2所以数列的通项公式为2210an（=1，2，3，…）例5.设是首项为1的正项数列，且，11nna则它的通项公式是=________.()(1)0解：已知等式可化为：111001*,即()(n+1)111211121n112=.时，=1211aa评注：本题是关于和的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到1aaa与的更为明显的关系式，从而求出.11,1练习.已知,求数列{an}的通项公式.1n1(1)!(1)答案：-1.n11,转化为评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式11(1),1若令,则问题进一步转化为形式，进而应用累乘法求11n出数列的通项公式.-3-三、待定系数法适用于基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如,其中)型n1n1a（1）若c=1时，数列{}为等差数列;na}为等比数列;（2）若d=0时，数列{na且dc10（3）若时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列n来求.待定系数法：设,n1nacad,得,与题设比较系数得n1nn1nddd,(c0)ac(a)(c1)dnn1c1c1c1,所以所以有：ddaan1c1c1构成以为首项，以c为公比的等比数列，因此数列ddddn1n1a(a)ca(a)cn1n1c1c1c1c1.即：所以ddc(a)ann1c1c1,构造成公比为c的等比数列规律：将递推关系化为n1ndddn1{a}ac(a)nn11c11cc1从而求得通项公式逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系中把n换成n-1有,n1nnn1两式相减有从而化为公比为c的等比数列,进而求得通项公式.n1nnn1n1nnaac(aa),再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.1n21{a}例6已知数列中，，求数列的通项公式。-4-解法一：又是首项为2，公比为2的等比数列，即1nnn解法二：两式相减得，故数列是首项为2，公比为2的等比数列，再用累加法的……练习．已知数列中，求通项。n2答案：2．形如：(其中q是常数，且n0,1)①若p=1时，即：，累加即可.②若时，即：，求通项方法有以下三种方向：i.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列p即：,然后类型1，累加求通项.,令，则ii.两边同除以.目的是把所求数列构造成等差数列。即：.然后转化为类型5来解，,令,则可化为iii.待定系数法：目的是把所求数列构造成等差数列.通过比较系数，求出，转化为等比数列求通项.设注意：应用待定系数法时，要求pq，否则待定系数法会失效。，，求数列的通项公式。例7已知数列满足，比较系数得，解法一（待定系数法）：设-5-则数列，公比为2的等比数列，是首项为所以，即解法二（两边同除以，下面解法略）：两边同时除以得：32222，下面解法略解法三（两边同除以）：两边同时除以得：练习.（2003天津理）an设为常数，且．证明对任意≥1，5；．形如(其中k,b是常数，且方法1：逐项相减法（阶差法）方法2：待定系数法通过凑配可转化为，公比为p解题基本步骤：1、确定=kn+b2、设等比数列、列出关系式,即a的通项公式6、解得数列的通项公式4、比较系数求x,y5、解得数列例8在数列中，求通项.（逐项相减法）解：，①时，，令,则两式相减得利用类型5的方法知即nn2222再由累加法可得.亦可联立①②解出.-6-3,263a11{a}2例9.在数列中，,求通项.（待定系数法）nn2()(1)解：原递推式可化为12比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为191911()6n9n112222,公比为.即：所以是一个等比数列，首项n11699()9()69nn22故.2(其中a,b,c是常数，且)4．形如1n基本思路是转化为等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。2{a}{a}2345，1例10已知数列满足，求数列的通项公式。1n1)解：设223(1)10(1)182(31018)3,10,18比较系数得，所以1n223110118131320310180由，得1n23(1)10(1)18212{31018}则，故数列为以n231018n2311011813132为首项，以2为公比的等比数列，因此1214231018322231018，则。nnapaqaaf(n)5.形如时将作为求解n2n1nn()()分析：原递推式可化为的形式，比较系数可求得，数列211为等比数列。56a,1,2{a}{a}例11已知数列满足，求数列的通项公式。21n12nn-7-解：设比较系数得或，不妨取，（取-3结果形式可能不同，但本质相同）则，则是首项为4，公比为3的等比数列，所以求.练习.数列中，若,且满足n答案：四、迭代法(其中p,r为常数)型，，求数列的通项公式。例12已知数列满足解：因为，所以又，所以数列的通项公式为。1nn注：本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。的各项都是正数,且满足:例13.（2005江西卷）已知数列，（1）证明（2）求数列的通项公式所以解：（1）略（2）-8-1111112n1n2222212222,()()()b令则121222222又bn=－1，11nn2121(),即22()nnn22所以.1212方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.解法3：设c，则c,转化为上nn面类型（1）来解0五、对数变换法适用于(其中p,r为常数)型p0，的通项公式.（n≥2）.求数列例14.设正项数列满足，n，则解：两边取对数得：，，设是以2为公比的等比数列，，，，∴21练习数列中，，（n≥2），求数列的通项公式.222答案：n5n{a}7{a}23例15已知数列满足，，求数列的通项公式。n11n50，023，7解：因为，所以。11n1lg5lglg3lg2两边取常用对数得1nlg(1))设（同类型四）1nlg3lg3lg2,比较系数得，4164lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg3lg3lg2lg1lg710lg0由，得，1n416441644164lg3lg3lg2lg3lg3lg2}lg7{lg是以为首项，以5为公比的等比数列，所以数列n41644164-9-则，因此n41644641111n15165则。n六、倒数变换法适用于分式关系的递推公式，分子只有一项例16已知数列满足，求数列的通项公式。解：求倒数得为等差数列，首项，公差为，七、换元法适用于含根式的递推关系1，例17已知数列满足，求数列的通项公式。24代入得解：令，则即因为，则，即，可化为，为公比的等比数列，因此所以是以为首项，以n1121111，则，即，得。n3423八、数学归纳法通过首项和递推关系式求出数列的前n项，猜出数列的通项公式，再用数学归纳法加以证明。-10-，例18已知数列满足，求数列的通项公式。解：由及，得1由此可猜测，下面用数学归纳法证明这个结论。（1）当时，，所以等式成立。（2）假设当时等式成立，即，则当时，*由此可知，当时等式也成立。根据（1），（2）可知，等式对任何都成立。九、阶差法（逐项相减法）Sa1、递推公式中既有，又有nn-11-aS分析：把已知关系通过转化为数列或的递推关系，然后采用相应的nnn方法求解。例19已知数列的各项均为正数，且前n项和满足，且成nnnnn2496{a}等比数列，求数列的通项公式。n1解：∵对任意有⑴∴当n=1时，，解得或当n≥2时，⑵⑴-⑵整理得：∵各项均为正数，∴当时，，此时成立当时，，此时不成立，故舍去所以练习。已知数列中,且,求数列的通项公式.答案：2、对无穷递推数列，例20已知数列满足求的通项公式。，1n123n解：因为①所以.用②式－①式得则故所以③-12-取得a由，，则，又知，。所以，的通项公式为则，代入③得nn2n22十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法f(x)xDf(xxxDf(x)不动点的定义：函数的定义域为，若存在，使成立，则称为0000(x,f(x))f(x)f(x)的不动点或称为函数的不动点。00分析：由求出不动点，在递推公式两边同时减去，在变形求解。00aqad类型一：形如a例21已知数列中，，求数列的通项公式。n解：递推关系是对应得递归函数为，由得，不动点为-2(∴，aabna类型二：形如n1cadn分析：递归函数为（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得，其中，∴（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得。，其中例22.设数列满足,求数列的通项公式.分析：此类问题常用参数法化等比数列求解.解：对等式两端同时加参数t,得：,令,解之得t=1,-2代入得-13-aannaannaannaaaannn即{}是首项为，相除得aaaannn1nanna公比为的等比数列,=,解得.nnanana方法2：，nan2aann，两边取倒数得3(aaaannnnb转化为累加法来求.令b，则bnnn3an21an{a}{a}a，a例23已知数列满足，求数列的通项公式。nnn4an21xx2xf(xx，xxx解：令，得，则是函数的两个不124xx动点。因为21anaaaaaaannnnnnn。所以数列是21aaaaaaannnnnnn4anaann以为公比的等比数列，故为首项，以，则aan。n13n9ana}{a}aaan练习1：已知满足，求的通项1nnnn2annna答案：nnnan{a}{a}aaanN)练习2。已知数列满足，求数列的通项1nnnn4an-14-答案：＝a＝a}.练习3.（2009陕西卷文）已知数列满足，’2n＋令，证明：是等比数列；Ⅱ)求的通项公式。答案：（1）是以1为首项，为公比的等比数列。（2）。十一。特征方程法形如是常数）的数列形如是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项，其特征方程为若①有二异根，则可令是待定常数）n1212n若①有二重根，则可令是待定常数）再利用可求得，进而求得例24已知数列满足，求数列的通项2解：其特征方程为，解得，令，由，得，例25已知数列满足，求数列的通项2解：其特征方程为，解得，令，由，得，练习1．已知数列满足，求数列的通项练习2．已知数列满足，求数列的通项-15-2x说明：(1)若方程有两不同的解s,t,则,,由等比数列性质可得,,由上两式消去可得.(2)若方程有两相等的解，则，,即是等差数列，由等差数列性质可知，．所以求数列的通项。例26、数列满足，且……①解：令，解得，将它们代回①得，