2013.7高一数学三角与向量期末复习

一.基本概念1.向量及向量的模、向量的表示方法1)图形表示2)字母表示3)坐标表示ABaAB有向线段AB:||||aAB向量的模(,)axiyjxy(,)(,)aOAxyAxy点(,)BABAaABxxyy一.基本概念2.零向量及其特殊性3.单位向量(1)0//a(2)0(3)0a00||1a4.平行向量，相等向量，相反向量5.两个非零向量的夹角ab与[0,]//,////abbcac题例1:以下各种判断中正确的是(1)长度为0的向量都是零向量;(2)零向量的方向都是相同的;(3)单位向量的长度都相等;(4)单位向量的方向都是相同的;(5)任意向量与零向量都共线;(6)平行向量的方向都是相同的;(7)共线向量一定要在同一直线上作出;(8)模相等的两向量是相等向量;(9)向量的模是实数，模大的向量也大;(10)(1)(3)(5)二.基本运算ABBCAC()aRa向量与共线ABACCBababa1.向量线性运算2.两个非零向量的数量积ab与ab||||cosabba叫做向量在方向上的投影||cosb例：（1）化简.ABDABDBCCA（3）已知向量不共线，求证：A、B、D三点共线。12,ee12ABee121228,3()BCeeCDee（2）点C在线段AB上，且，则52ACCB___,___.ACABBCAB222(1)()2abaabb22(2)()()ababab3()()abcabc（）4abacbc（）(5)bcabac(6)00aba或b=0222(7)()abab判断：1122(,),(,),1)2)3)4)axybxyababaab若则)yy,xx(2121)yy,xx(2121)y,x(11二.基本运算（坐标途径）2121yyxx5)||6)cos||||aaaabab2121yx222221212121yxyxyyxx1.//baba向量和非零向量2.ab非零向量和则若),y,x(b),y,x(a22110yxyx12210yyxx2121三.两个等价条件ba有唯一的实数，使0abab四、向量垂直的判定01baba）（022121yyxxba）（五、向量平行的判定(共线向量的判定)）（）（0//1aabba122111222//0baxyxyaxybxy（），其中（，），（，）||32211AByxByxA），则，（），，（）若（||a22xy221221）（）（yyxx2axy（）设（，），则六、向量的长度21||aaa（），2||aa七、向量的夹角cos||||abab向量表示坐标表示向量表示坐标表示222221212121yxyxyyxx例已知e1、e2不共线，a=e1+e2b=3e1－3e2a与b是否共线。解：假设,a与b共线则e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe21=3λ1=-3λ这样λ不存在。∴a与b不共线。典型例题分析:解：设a=(x,y)则x2+y2=100-4x-3y=0x=6x=-6y=-8y=8a=(6,-8)或(-6,8)例已知|a|=10b=(3,-4)且a∥b求a例（1）设，则下列命题中错误的是A.B.C.D.1122(,),(,)axybxy2211||axy1212abxxyy12120abxxyy1221//0abxyxy(2)已知，若与平行,则(1,2),(,1)abx2ab2ab___.x例:已知(1)求与的夹角的余弦；(2)若向量与垂直,求λ的值.(4,3),(1,2)ababab2ab解：法1a=(x1y1)b=(x2,y2)x12+y12=1x22+y22=13a-2b=3(x1,y1)-2(x2,y2)=(3x1-2x2,3y1-2y2)∴9(x12+y12)+4(x12+y12)-12(x1x2+y1y2)=9x1x2+y1y2=3a+b=3(x1,y1)+(x2,y2)=(3x1+x2,3y1+y2)|3a+b|2=(3x1+x2)2+(3y1+y2)2=9(x12+y12)+(x22+y22)+6(x1x2+y1y2)=12∴(3a+b)=2331例、设|a|=|b|=1|3a-2b|=3则|3a+b|=____法29=9a2+4b2-12a·b∴a·b=又,(3a+b)2=9a2+b2+6a·b=12∴|3a+b|=2313例:已知(1)求与的夹角的余弦；(2)若向量与垂直,求λ的值.(4,3),(1,2)ababab2ab9.,,_______.ABCOAOBOBOCOCOAOABC例已知在中则是的心[解]()0,0,,,.OAOBOBOCOBOAOCOBCAOBCAOCABOABCOABC由得：即同理故是的垂心四.一个基本定理2.平面向量基本定理.eeeea,,,a,ee2122112121基底平面内所有向量的一组叫做表示这一、把不共线的向量使有且只有一对实数任一向量那么对于这一平面内的向量共线的是同一平面内的两个不、如果利用向量分解的“唯一性”来构建实系数方程组练习1、已知e1与e2是夹角为60。的单位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求a·b及a与b的夹角α。解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。∴e1e2=|e1||e2|cos60。=∴ab=(2e1+e2)·(-3e1+2e2)=-6|e12|+e1·e2+2e22=-3而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7|b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-12e1e2+4e22=7|a|=|b|=∴cosα=α=120。21217721||||baba2、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角；(2)已知|a|=,|b|=，且a与b的夹角为，试求a+2b与a-b的夹角θ的余弦值大小。解：（1）(a+3b)·(7a-5b)=0(a-4b)·(7a-2b)=07a+16a·b-15b=07a2-30a·b+8b2=0a2=b22a·b=b2∴cosθ=θ=60。32621||||baba（2）a2=3b2=4|a|·|b|=2a·b=|a|·|b|cosθ=·cos30。=33331312|||2|)()2(222222cos1.2)(||3144)2(|2|babababaQbbaababababababa3、已知△ABC中，A(2,4),B(-1,-2),C(4,3),BC边上的高为AD。（1）求证：AB⊥AC；（2）求点D和向量AD的坐标；（3）求证：AD2=BD·DC解：（1）A(2,4)B(-1,-2)C(4,3)AB=(-3,-6)AC=(2,-1)AB·AC=(-3)×2+(-6)×(-1)=0AB⊥AC（2）D(x,y)AD=(x-2,y-4)BC=(5,5)BD=(x+1,y+2)AD⊥BC∴AD·BC=05(x-2)+5(y-4)=0又B、D、C共线∴5×(x+1)-5(y+2)=0x+y-6=0x=D(,)x-y-1=0y=AD=(,-)272527252323（3）AD=(,-)BD=(,)DC=(,)|AD|2=+=BD·DC=+=∴AD2=BD·DC212949232329214929494929概念y=sinx公式图象变换综合应用y=cosxy=tanx任意角弧度制三角函数线三角函数定义三角函数复习要抓住的两条主线1、函数概念学习及公式变换2、函数图象、变换及性质应用三角恒等变换函数图象性质返回弧度制与角度制弧度的计算：弧度制与角度制的互化：πrad=180°弧度制下扇形的弧长及面积公式:弧长；面积S=211||22lrr||lr||lr任意角三角函数的定义三角函数的基本关系式（注意变形应用）P(x,y)yxO11以单位圆圆心为平面直角坐标系原点建系，设角α的终边交单位圆于点P(x,y),则sin,cos,yxtanyx22sincos1;sintancosα例4半径为R的扇形周长为4R,求该扇形的面积.例6若角α的终边过点P(2，3)，则sinα=___;cosα=___;tanα=___.单位圆中的三角函数线xO11PyαMTAsinyMPtanyATxcosxOM注:借助单位圆中的三角函数线我们可以实现描点作图，同时还能得出许多重要的三角函数性质例求满足下列各条件的角的集合3(1)sin2x3(2)cos2x(3)tan3x例作出函数的图象,并分别写出函数的周期、单调区间、最值及取最值时的角。3sin(2)6yx五点法列表：xy26x基本三角函数的图象与性质正弦函数y=sinx的图象与性质五点法作图（思考怎样列表描点）余弦函数y=cosx的图象与性质五点法作图正切函数y=tanx的图象与性质思考该函数图象与正、余弦函数图象的区别三角函数的图象变换sin()yAx函数的图象sinyx函数的图象sin()yx函数的图象sin()yx函数的图象例函数的图象可由函数的图象怎样变换得到？sin()6yxsin()6yx三角函数的诱导公式公式一：2kπ+αα（k∈Z）公式二：π+αα公式三：-αα公式四：π-αα公式五：-αα公式六：+αα22口诀：奇变偶不变，符号看象限公式作用：化任意角三角函数求值为锐角三角函数求值例化简cos()2sin()cos()5sin()2三角恒等变换公式余弦两角和差公式：cos(α±β)=cosαcosβsinαsinβ正弦两角和差公式：sin(α±β)=sinαcosβcosαsinβ正切两角和差公式：tan(α±β)=tantan1tantan倍角公式：sin2α=2sinαsinβ;2222cos2cossin12sin2cos1例化简或求值22(1)cos75sin75;(2)cos3sin;xxcos(60)cos(60)(3);cos(4)12sin40cos40例已知函数(1)求函数的最小正周期(2)求函数的最小值及相应角的集合2()2cos23sincos1fxxxx