高中数学《3.1.1两角差的余弦公式》课件2新人教A版必修

3．1两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．1.1两角差的余弦公式【课标要求】1．熟悉用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用．2．了解差角公式产生的背景．3．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．【核心扫描】1．两角差的余弦公式．(重点)2．用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．(难点)自学导引两角差的余弦公式名称简记符号公式使用条件两角差的余弦C(α－β)cos(α－β)＝任意角都成立cosαcosβ＋sinαsinβ想一想：当α＝π2，β＝π4时，cos(α－β)＝cosα＋cosβ成立．那么当α、β∈R时，cos(α－β)＝cosα＋cosβ恒成立吗？提示不恒成立，如α＝π3，β＝π6时．名师点睛正确理解C(α－β)公式中的α、β为任意角公式中的α、β不仅可以是任意具体的角，也可以是一个“团体”，比如cosθ＋φ2－θ－φ2中的“θ＋φ2”相当于角α，“θ－φ2”相当于角β，可用两角差的余弦公式展开．因此对公式的理解要注重结构形式，而不要局限于具体的角，完全可以把α、β视为一个“代号”，将公式记作cos(△－□)＝cos△cos□＋sin△sin□.提醒(1)由公式C(α－β)推导公式C(α＋β)，正是利用α、β的任意性以－β代换β，再利用诱导公式推出的．(2)公式C(α－β)的结构特点①同名函数相乘：即两角余弦乘余弦，正弦乘正弦．②把所得的积相加．题型一运用公式求值【例1】求cos105°＋sin195°的值．[思路探索]195°＝90°＋105°，而105°＝135°－30°.解cos105°＋sin195°＝cos105°＋sin(90°＋105°)＝cos105°＋cos105°＝2cos105°＝2cos(135°－30°)＝2(cos135°cos30°＋sin135°sin30°)＝2－22×32＋22×12＝2－62.规律方法在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数值时，关键在于把待求的角转化成已知特殊角(如30°，45°，60°，90°，120°，150°，…)之间和与差的关系问题．然后利用公式化简求值．【变式1】求下列三角函数式的值．(1)cosπ12；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°；解(1)cosπ12＝cosπ4－π6＝cosπ4cosπ6＋sinπ4sinπ6＝22×32＋22×12＝2＋64.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.题型二给值求值【例2】(2012·台州高一检测)设cos(α－β2)＝－19，sinα2－β＝23，其中α∈π2，π，β∈0，π2，求cosα＋β2.[思路探索]解答本题可先用同角三角函数关系求sinα－β2，cosα2－β.然后利用两角差的余弦公式求cosα＋β2.解∵α∈π2，π，β∈0，π2，∴α－β2∈π4，π，α2－β∈－π4，π2，∴sinα－β2＝1－cos2α－β2＝1－181＝459.cosα2－β＝1－sin2α2－β＝1－49＝53.∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2sinα2－β＝－19×53＋459×23＝7527.规律方法三角变换是三角运算的灵魂与核心，它包括角的变换、函数名称的变换、三角函数式结构的变换．其中角的变换是最基本的变换．常见的有：α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)，α＝12，α＝12等．【变式2】已知cos(α＋β)＝－13，cos2α＝－513，α、β均为锐角，求cos(β－α)．解∵α、β均为锐角，∴0α＋βπ，02απ，∴由cos(α＋β)＝－13知sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝223.由cos2α＝－513知sin2α＝1213，∴cos(β－α)＝cosα＋β－2α＝cos(α＋β)cos2α＋sin(α＋β)sin2α＝－13×－513＋223×1213＝5＋24239.题型三已知三角函数值求角【例3】已知α、β均为锐角，且cosα＝255，cosβ＝1010，求α－β的值．审题指导本题主要考查两角差的余弦公式的综合应用．可先求出cos(α－β)的值，结合α－β的范围，进而求出α－β的值．[规范解答]∵α、β均为锐角，∴sinα＝55，sinβ＝31010.(4分)∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×1010＋55×31010＝22.(8分)又sinαsinβ，∴0αβπ2，(10分)∴－π2α－β0.故α－β＝－π4.(12分)【题后反思】解答已知三角函数值求角这类题目，关键在于合理运用公式并结合角的范围，对所求的解进行取舍，其关键环节有两个：一是求出所求角的某种三角函数值，二是确定角的范围，只要这两个环节做好，然后结合三角函数图象就易求出角的值．【变式3】已知α、β为锐角，cosα＝17，sin(α＋β)＝5314.求角β的值．解∵α为锐角，cosα＝17，∴sinα＝1－cos2α＝437.又β为锐角，∴α＋β∈(0，π)．∵sin(α＋β)＝5314sinα，∴α＋β∈π2，π.∵cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－1114.∴cosβ＝cosα＋β－α＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.∵β∈0，π2，∴β＝π3.误区警示不考虑角的范围而出错【示例】已知α，β，γ是锐角，sinα＋sinβ＝sinγ，cosα＋cosβ＝cosγ，求α－γ的值．[错解]由已知得，sinα－sinγ＝－sinβ，cosα－cosγ＝－cosβ，两式分别平方得，sin2α－2sinαsinγ＋sin2γ＝sin2β，cos2α－2cosαcosγ＋cos2γ＝cos2β，两式相加得，1－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＋1＝1，即cos(α－γ)＝12，故α－γ＝±π3.没有考虑角的范围，出现了不易发现的错误．[正解]由已知得，sinα－sinγ＝－sinβ，cosα－cosγ＝－cosβ，两式分别平方得，sin2α－2sinαsinγ＋sin2γ＝sin2β，cos2α－2cosαcosγ＋cos2γ＝cos2β，两式相加得，1－2(cosαcosγ＋sinαsinγ)＋1＝1，即cos(α－γ)＝12.由于α，β，γ是锐角，所以由sinα－sinγ＝－sinβ0可知，αγ，故α－γ＝－π3.对于求角的题，一定要先考虑角的范围，这样才不会出错．