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教学准备1.教学目标了解集合间的关系能够区分元素与子集、属于与包含的符号关系2.教学重点/难点重点是通过类比识记集合间关系符论，及Venn图法.难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.3.教学用具课件4.标签集合之间的关系、符号应用教学过程1.2集合之间的关系与运算1.2.1集合之间的关系教材思路解读思路导读教材先通过给出的几组集合，归纳出两个集合元素之间的关系，从而引出子集的概念，详细介绍了集合的包含关系、不包含关系，及相应的关系符号和Venn图表示法，通过对元素与集合，集合与集合关系符号的比较，使我们对这两种关系有了更清晰的认识，最后介绍了包含关系的相关结论，利用包含关系推出集合相等的定义。本节重点是通过类比识记集合间关系符论，及Venn图法.难点是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别.思维导图知识与技能解读集合间的基本关系一、集合关系的引入神舟系列飞船是我们中国人的骄傲，飞向太空，飞抵月球，飞出太阳系，飞出银河系，飞向我们未知的宇宙世界是我们人类梦寐以求的梦想.地球是围绕太阳公转的星球，太阳系是由围绕它公转的一些列星球组成的，如果将它看成一个集合，将银河系也看作一个集合，这两个集合有什么关系呢？不难发现太阳系的元素都属于银河系，所以可以称太阳系包含于银河系，集合与集合的关系其实就是包含关系.在生活和学习中，通过研究集合和集合的关系，我们可以发现它们之间的共性和区别，便于我们探寻它们所具有的规律和特征，发现和创新新的事物.二、集合间的基本关系与实数间的关系比较研究对象关系及符号比较集合关系含于（被包含）真含于包含真包含等于不包含符号=实数关系大于等于大于小于等于小于等于不等于符号≥＞≤＜=≠通过比较，我们能较好的理解集合间的关系，并能够找到很好的学习和记忆本节知识的方法——类比法！与集合关系相关概念和推论一、与集合间关系有关的概念1.子集如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A就叫做集合B的子集，记作：读作：A包含于B或B包含A.比如：集合A={正方形}是集合B={矩形}的子集，记作AB;对于整数集Z和实数集R，显然Z是R的子集，记作ZR.如果集合A包含于集合B，或集合B包含于集合A，则称集合A与集合B具有包含关系。如整数集与实数集之间具有包含关系。包含关系具有传递性：对于集合A,B,C，如果AB,BC,则AC.如集合{正方形}{长方形}，{长方形}{平行四边形}，则{正方形}{平行四边形}。如果集合A中存在着不是集合B中的元素，那么集合A不包含于集合B或称为集合B不包含集合A，分别记作AB或BA.如集合{菱形}{正方形}2.Venn图用平面内一条封闭曲线的内部表示一个集合，这个区域叫Venn图.Venn图所用的封闭曲线组成的图形没有形状和大小的限制，形状可以是矩形、椭圆、圆等，由于圆和椭圆比较美观，所以数学中常用圆或椭圆表示集合.其大小只以表示的关系能看清楚为限！比如数集N、Z、Q、R的包含关系，用文氏图表示：３.集合相等一般地，对于两个集合A与B，如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素都是集合A的元素，那么我们说集合A等于集合B，记作A=B.符号表示：且，则A=B；若A=B则且。警视区：我们在上一节也学习了集合相等，是通过以元素为对象来研究的，而现在则是从集合间的相互包含关系来研究的，它们的适用性是有区别的，以元素为对象判断集合相等，通常适用于有具体元素的集合，以集合间的相互关系为对象适用于判断抽象的集合.４.真子集一般地，如果集合A是集合B的子集，并且集合B中至少有一个元素不属于集合A，那么我们称集合A是集合B的真子集.记作：（或），读作A真含于B或B真包含A.比如：A={2，4，6}，B={小于10的正偶数}，实际上B={2，4，6，8}，2、4、6B，8B且8A，所以A是B的真子集，记作AB.５.空集不包含任何元素的集合叫空集，记作。二、相关推论1.关系符号和概念辨析（１）与集合有关的关系符号的比较关系符号研究对象反映的关系例子、元素与集合元素与集合间的关系如：１Ｎ.不能写成１Ｎ、、、、集合与集合集合与集合间的关系如：{1}{1，2，3}、QZ、{Ｎ}等.不能写成QZ警示区:在第一节集合概念学习中，刚刚接触了元素与集合之间的属于关系，现在又出现了子集、集合和集合之间的包含关系概念，由于对概念的本质认识不深刻，容易弄混这些概念，在使用符号，表示时经常混用．因此在学习中对于这些符号，应理解其意义，注意本质区别在个体与整体、整体与整体的关系，从而达到正确应用概念和使用术语、符号的目的.（２）概念辨析①{0}与：不要把数集{0}或数0与空集混淆，数0不是集合，{0}是含有一个元素0的集合，Φ是不含任何元素的集合，更不要把空集错误的写成{空集}或{}.如{0}，不能写成={0}，∈{0}.②∈{}、{}表述方法中∈{}，此时作为元素，而{}则为元素的集合；{}中和{}均作为集合来理解.2.相关推论①空集是任何集合A的子集，A；②空集是任何非空集合A的真子集。若A≠，则A；③如果，，则；④任何一个集合是它本身的子集.AÍA.技能应用解读1.集合相等例题1以下有四种说法：（1）M={（1，2）}与N={（2，1）}表示同一个集合；（2）M={1，2}与N={2，1}表示同一个集合；（3）已知集合M={1，2，3，4，5}与N={1，2}，所以集合N＜M；（4）M={y|y=x2+1,x∈R}与N={t|t=(x+1)2+1,x∈R}表示同一个集合.其中正确的个数有（）A．3个B．2个C．1个D．0个分析：此题考查集合相等和集合间关系描述的题目.由题意知（1）、（2）、（4）考查两个集合相等的问题，而判断两个集合相等的方法是元素个数相同并且元素也相同，（3）是考查集合间关系描述的问题，要注意集合间关系与实数间关系的区别.详解:（1）M与N分别表示由点（1，2）和点（2，1）组成的集合，两个点不同，即元素不相同.则集合M与集合N不表示同一个集合.因此，（1）错误；（2）由集合中元素的无序性可知集合M和集合N中都有两个元素，且都分别是1和2，所以集合M与集合N表示同一个集合.因此，（2）正确；（3）由集合M={1，2，3，4，5}、N={1，2}知，集合N中的元素与分别属于集合M中的元素，且M中有不属于N的元素，在集合关系描述中只能用相等，包含或包含于来描述，而大于、小于或等于则是实数间的关系，因此表述错误，实际上集合M包含集合N，或描述成集合N包含于集合M.（4）集合M的元素y满足条件y=x2+1,x∈R，即为特征表达式y=x2+1,x∈R中y的取值范围，由集合M的几何意义知，M表示大于或等于1的实数组成的集合.同理，集合N亦表示大于或等于1的实数组成的集合.所以集合M与集合N表示的是同一个集合.因此（4）正确.综上，正确的说法有2个.因此，选择B.评注:判断两个集合是否表示同一个集合有两种方法：一是从元素的角度进行判断，“元素个数相同并且元素也相同”的两个集合表示同一个集合；二是从集合的关系来理解，“如果两个集合互为子集”，即“AB，同时BA”，此时这两个集合表示同一个集合.注意描述集合间的关系与实数间的关系的术语是不相同的，平时注意训练！变式练习1已知，且Ｐ=Ｑ，则a＝；答案：-1例题2设A={x|x=2k-1,k∈Z}，B={x|x=4k±1k∈Z}，求证：A=B.分析：此题考查集合相等的概念及其证明.证明两个集合相等，一般情况是根据集合相等的定义，从两个集合之间的包含关系入手，也就是，“如果两个集合A和B，满足AB，且BA，那么A=B”.而证明“AB”的方法是设a为集合A中的任意一个元素，即a∈A，根据集合A中元素的性质，证明元素a也具有集合B中的元素性质，即a∈B，从而证明出集合A中的任何一个元素都属于集合B，即“AB”.同理再证明“BA”，问题得证.解析:从集合相等的定义出发，AB且BA两方面进行证明（1）设a为集合A中的任意一个元素，即a∈A，∴存在k∈Z，使得a=2k-1,①若k为偶数，设k=2m(m∈Z),则a=2(2m)-1=4m-1∈B；②若k为奇数，设k=2m-1(m∈Z),则a=2(2m-1)-1=4(m-1)+1∈B.所以，当k∈Z时，a∈B，即，AB；（2）设b为集合B中的任意一个元素，即b∈B，∴存在k∈Z，使得b=4k±1,①若b=4k+1,则b=2(2k+1)-1∈A；②若b=4k-1,则b=2(2k-1)+1∈A.所以，当k∈Z时，b∈A，即，BA.综上（1）、（2）所述，A=B.评注:要证AB，则需要证对任意一个a∈Aa∈B成立，对于含有字母的题目，应在准确领会集合相等概念的基础上进行分析与转化．变式练习2设集合S={x|x=12m＋8n，m、n∈Z}，P={x|x=20p＋16q，p、q∈Z}，求证：S=P.2.子集与包含关系例题1已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|x2-ax+2=0}，若BA，求a的取值集合.分析:此题结合一元二次方程根的判别式考查子集的概念和求法，由于集合A可用列举法表示为{1，2}，且BA，所以集合B与集合A可能相等，即，B=A={1，2}；集合B也可能是集合A的真子集，即B=Φ，或B={1}，或B={2}.综合以上四种情况，可以求出a的取值集合.详解:∵A={x|x2-3x+2=0}={1，2}，又∵BA，∴B可能是{1，2}、{1}、{2}、Φ四种情况.当B={1，2}时，关于x的方程x2-ax+2=0应该有两个不相等的实数根，根据韦达定理1+2=—（—a），解得，a=3；当B={1}或{2}时，关于x的方程x2-ax+2=0应该有两个相等的实数根，根据韦达定理可得这样的a不存在；当B=Φ时，关于x的方程x2-ax+2=0无实数根，即△=a2-80，即a28，∴|a|2，从而-2a2.综上所述，a的取值集合为{a|-2a2或a=3}.评注:全面正确理解子集的含义是完整解答与之有关题目的关键.BA，且B中元素的个数没有确定时，不能遗漏空集Φ，注意培养慎密的思维品质.解决含待定系数的集合问题时，常用到分类讨论的方法，因而要注意检验是否符合全部条件，合理取舍，谨防增解．变式练习3若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0，m∈R},且BA，则m的取值范围是________.答案：0，变式练习4若集合，则实数a的值是.答案：0，-1，1.例题2已知集合A={x|x=a2+1,a∈N*}，集合B={y|y=b2-4b+5,b∈N*}.求证：AB.分析:此题结合代数式的相互转化考查真子集的概念.欲证AB，可分两步进行，第一步先证集合A是集合B的子集，即AB；第二步再说明存在一个x0∈B，而x0A，从而证得AB，本题可以运用转化的数学思想把a2+1转化为b2-4b+5的形式.证明:∵b2-4b+5=(b-2)2+1,令a=b-2,则b=a+2.∴a2+1=(a+2)2-4(a+2)+5=b2-4b+5.即AB；然后再证明存在一个x0∈B，而x0A.易见b=2,此时y=1,即1∈B，而1A.因此，AB.评注:要证AB，则需要证对任意一个a∈Aa∈B成立；若欲证AB，则在AB的基础上，再在集合B中找一个元素b∈B，而bA即可.上面是一组关于集合的包含关系的问题，解答关键是正确理解问题中的集合以及子集的具体意义，理解得越准确越有利于问题的解决，然后才能正确选择解答问题的数学方法.变式练习5若集合P={x|x=3k–1，kÎZ}，Q={x|x=3l+2,lÎZ},则P、的关系是()(A)PÍQ(B)PÊQ(C)P≠Q(D)P=Q答案：D3.辨析空集例题1判断正误(1)；(2)=；(3)；(4)；(5)；(6).分析:此题考查空集及以作为元素的集合{}，以0为元素的集合{0}及它们之间的关系.表示以为元素的单元素集合,为任何集合的子集,成立;当把视为元素时,也成立.表示元素,表示以为元素的单元素集合,不能混淆它们的含意.答案:(1);(2);(3);(4);(5);(6).评注: