1.3.1-函数的单调性与导数 -求参问题

1.3.1函数的单调性与导数高二数学选修2-2第一章导数及其应用ab(,)在某个区间内,fx'()0fxab()(,)在内单调递增fx'()0fxab()(,)在内单调递减注意：1、函数的单调性是函数的局部性概念；2、应正确理解“某个区间”的含义，它必是定义域内的某个区间。如果恒有，则是常数。()fx'()0fx的单调性。则个别点不影响函数点使得注意：f(x)0,)f(x如果只有个别01.讨论二次函数的单调区间.)0()(2acbxaxxf解:2()(0)fxaxbxca()2.fxaxb0)1(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab0)2(a由,得,即函数的递增区间是;相应地,函数的递减区间是0)(xfabx2)(xf),2(ab)2,(ab[解]f(x)的定义域为(－∞，＋∞)，f′(x)＝ex－a.若a≤0，则f′(x)＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0；[跟踪训练]2．设f(x)＝ex－ax－2，求f(x)的单调区间.【导学号：31062038】当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．综上所述，当a≤0时，函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增；当a＞0时，f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增.例5、()ln3()()fxaxaxaRfx已知函数，求的单调区间。(1)0a当时，(2)0a当时，(3)0a当时，/()0fx()(0,)fx在上不具单调性；/()0fx由01x；/()01fxx由//()01()001fxxfxx由；由。综合上述/()afxax(1)axx(0)x1.（全国卷Ⅰ）已知函数在R上是减函数，求a的取值范围.1323xxaxf(x)a的取值范围是（-∞，-3]A[∵f′(x)＝3x2－2ax－1，且f(x)在(0,1)内单调递减，∴不等式3x2－2ax－1≤0在(0,1)内恒成立，∴f′(0)≤0，且f′(1)≤0，∴a≥1.]4．若函数f(x)＝x3－ax2－x＋6在(0,1)内单调递减，则实数a的取值范围是()【导学号：31062040】A．[1，＋∞)B．a＝1C．(－∞，1]D．(0,1)322(),,,30()()()()()fxxaxbxcabcabfxRABCD函数其中为常数，当时，在上()增函数减函数常数既不是增函数也不是减函数A题型二：已知单调性，求参数；325ax-xx-例1：若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围。325f(x)ax-xx-,解：在(-,+)上单调递增23210f'(x)ax-x在(-,+)上恒成立。04120aa13a325ax-xx-例1：若函数f(x)在(-,+)上单调递增，求a的取值范围。已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．[思路探究]fx单调递增―→f′x≥0恒成立―→分离参数求a的范围[解]由已知得f′(x)＝3x2－a，因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立，因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0.[解]由f′(x)＝3x2－a，①当a≤0时，f′(x)≥0，∴f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．母题探究：1.(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1,1)，求a的取值范围．②当a＞0时，令3x2－a＝0，得x＝±3a3，当－3a3＜x＜3a3时，f′(x)＜0.∴f(x)在－3a3，3a3上为减函数，∴f(x)的单调递减区间为－3a3，3a3，∴3a3＝1，即a＝3.[解]由题意可知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1,1)上恒成立，∴f′－1≤0f′1≤0，即3－a≤03－a≤0，∴a≥3.即a的取值范围是[3，＋∞)．2．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上单调递减，求a的范围．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．[解]∵f(x)＝x3－ax－1，∴f′(x)＝3x2－a，由f′(x)＝0，得x＝±3a3(a≥0)，∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，∴0＜3a3＜1，即0＜a＜3.故a的取值范围为(0,3)．3．(变条件)若函数f(x)＝x3－ax－1在(－1,1)上不单调，求a的范围．已知函数f(x)＝x3－ax－1为单调递增函数，求实数a的取值范围．例3：求证：方程只有一个根。102xsinx12110201002f(x)x-sinx,x(,)f'(x)cosxxxfxxsinxx.f()在（，）上是单调函数，而当时，（)=0方程有唯一的根三、方程根的问题提示:运用导数判断单调性,根据函数的单调性比较函数值大小练习:已知1x，求证：ln(1)xx本题用到一个重要的转化：maxminm≥f()恒成立()()恒成立()xmfxmfxmfx四、不等式证明问题