1.3.1单调性与最大(小)值2

主讲人：于欢欢中国•洛阳学府教育【2】画出函数y=|x2-2x－3|的图象.解:当x2-2x-3≥0,即x≤－1或x≥3时,y=x2-2x－3=(x-1)2－4.当x2-2x－3＜0,即－1＜x＜3时,y=－(x2-2x-3)=－(x-1)2+4.2223,1,3,23,13.xxxxyxxx或≤≥xyo4-431-1中国•洛阳学府教育前面我们学习了函数的单调性，知道了在函数定义域的某个区间上函数值的变化与自变量增大之间的关系，请大家看某市一天24小时内的气温变化图.(1)说出气温随时间变化的特点.从图象上看出0时4时之间气温下降,4时14时之间气温逐步上升,14时~24时气温逐渐下降.中国•洛阳学府教育(2)某市这一天何时的气温最高和何时的气温最低？14时气温达到最高,4时气温达到最低.(3)从图象上看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值,从图象上看出,图象在这一点的位置最高.这就是本节课我们要研究函数最大、最小值问题.点明本节课的内容，并板书课题：单调性与最大(小)值(三).中国•洛阳学府教育设函数f(x)的定义域为Ｉ,如果存在实数M满足:(1)对于任意的xI,都有f(x)≤M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.则称M是函数的最大值(maximumvalue)1.函数的最大值：上面我们从直观的感受知道了最值的概念,下面给出严格的定义.2.函数最大值应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的x∈I,都有f(x)≤M．注意:1.函数最大值首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得f(x0)=M；中国•洛阳学府教育定义中的两个条件缺一不可,只有(1)没有(2)不存在最大值点,而只有(2)没有(1),M不一定是函数y=f(x)的最大值.比照最大值的定义,最小值是如何定义的?中国•洛阳学府教育(1)对于任意的xI,都有f(x)≥M;(2)存在x0I,使得f(x0)=M.则称M是函数的最小值(minimumvalue)设函数f(x)的定义域为Ｉ,如果存在实数M满足:2.函数的最小值：函数的最大值从图象上看是在指定的区间里最高位置对应的点的纵坐标,好象有一种一览众山小的情景.同样函数的最小值从图象上看是在指定的区间里最低位置对应的点的纵坐标，好像有一种坐井观天的情景.中国•洛阳学府教育(1)()1;fxx2(2)();fxx请大家思考,是否每个函数都有最大值,最小值？举例说明.一个函数不一定有最值.有的函数可能只有一个最大(或小)值.如果一个函数存在最值，那么函数的最值都是唯一的,但取最值时的自变量可以有多个.32-2-1xyo32-2-1xyo2(3)()21,[0,3)fxxxx中国•洛阳学府教育例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?2()4.914.718,httt中国•洛阳学府教育例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?2()4.914.718,httt解:作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象.则函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.中国•洛阳学府教育由二次函数的知识,对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:当时，14.71.52(4.9)t答:烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m)?2()4.914.718,httt24(4.9)1814.729.4(4.9)h函数有最大值中国•洛阳学府教育【1】求函数y=x2-2x-1的值域和最值.(1)x∈[0,3](2)x∈(2,4](3)x∈[-2,-1]ymin=f(1)=-2,ymax=f(3)=2.值域[-2,2]ymax=f(4)=7.值域(-1,7]ymax=f(-2)=7.值域[2,7]ymin=f(-1)=2,几何画板中国•洛阳学府教育例2.求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．21yx解:设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数,且x1x2,则2211(21)(1).()xxxx由2x1x26,得x2-x10,(x1-1)(x2-1)0,12()()0,fxfx121222()()11fxfxxx21212[(1)(1)](1)(1)xxxx于是xyoxyoxyo中国•洛阳学府教育因此,函数在区间[2,6]上的两个端点上分别取得最大值和最小值.12()().fxfx所以,函数是区间[2,6]上的减函数.21yx当x=2时取最大值21yxmax2(2)2;21yf当x=6时取最小值min22(6).615yf即00.511.522.533.5012345678xyo123456132中国•洛阳学府教育【3】在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞,-2]上递减,在[-2,+∞)上递增,则f(x)在[1,2]上的值域__________.[21,49]16,m2()4161fxxx24(2)15.x中国•洛阳学府教育,1212[2,10],,xxxx且分析:设则1212121616()()()()fxfxxxxx121212()(16)xxxxxx确定正负号的关键,是确定12()()fxfx的正负号.1216xx由于x1,x2在同一区间内,要使则需1216,xx12,[4,10],xx要使则需1216,xx12,[2,4],xx【4】求函数的最大值.16(),[2,10]fxxxx中国•洛阳学府教育【4】求函数的最大值.16(),[2,10]fxxxx解:任取x1,x2,x1,x2∈[2,4],且x1x2,1212121616()()()()fxfxxxxx121212()(16)xxxxxx当时,1224xx≤≤12120160.xxxx，1212()()0,()().fxfxfxfx即所以函数f(x)在[2,4]上是减函数.同理函数f(x)在[4,10]上是增函数.中国•洛阳学府教育解：∵函数16()fxxx在[2,4]上是减函数.所以f(x)在[2,4]上有最大值,max16()(2)210;2fxf∵函数16()fxxx在[4,10]上是增函数.所以f(x)在[4,10]上有最大值,max1658()(10)10.105fxf(10)(2),ff所以函数f(x)在[2,10]上的最大值是58(10).5f几何画板中国•洛阳学府教育1.函数的最大(小)值的定义及几何意义．2.三类函数的最值的求法．利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值.利用图象求函数的最大(小)值.利用函数单调性求函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b).函数在其定义域上的最大值,其几何意义是图象上最高点的纵坐标;最小值为图象上最低点的纵坐标.中国•洛阳学府教育1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值2.利用图象求函数的最大(小)值3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,则函数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b).利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法中国•洛阳学府教育(1)课本P.39A5(2)学案P.27-28P.39Ｂ2学府教育