虚功原理及其应用

对于理想约束体系iiirR0iiiziiyiixzFyFxF0)(W0iiirF受有理想约束的力学体系，其平衡的充要条件是此力学体系的所有主动力在任意虚位移中所作元功之和等于零.虚功原理:正是虚位移的引入消去这些约束反力优点：消去约束反力，可由虚功原理求出主动力在平衡时所满足的平衡条件。01niiiziiyiixzFyFxF)(W01iinirFzyx,,不是独立的上式如果是独立变化的，则0iziyixFFF但是体系受k个几何约束W0iiirF不好用！！zyx,,n个质点组成的力学体系，受k个几何约束，此体系自由度为3n-k,其位形由s=3n-k个互相独立的广义坐标qi(i=1,2,…s)来描述，即：),,,,(tqqqrrsii21),,,,(),,,,(),,,,(tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisii2121213、广义坐标形式下的虚功原理体系的位形可表示为：),,,,(21tqqqrrsii；虚位移用广义坐标的表示式为：skkkissiiiiqqrqqrqqrqqrr12211代入虚功原理：1siikikkrWFqq定义广义力：NikiikqrFQ101ikkiiqqrF)(s1k0kkkWQq对于完整力学体系来说，由于kq是独立变分(互相独立的)，故:),,,(skQk210说明：①广义力是广义坐标qk的函数，由定义得：kQ0qQW可知：00kQQ0kQ零矢量。即量都正交的矢量一定是任意的，故和任意矢正交，但由于虚位移是广义坐标下虚功原理的表达式niniiiziiyiixiikqzFqyFqxFqrFQ11)(平衡条件②虚功原理是分析力学的基本原理，仅对惯性系成立;③理想约束理想约束概念是分析力学的基本假设，是从客观实践中抽象出来的。例如光滑约束，刚性约束等都是理想约束。此假设不仅运用于静力学，对动力学同样成立。④对于保守力学系统：)(kzVjyVixViiiVFii11NiiiNiiiiiiiWFrVVV[(xyz)]xyzVVii如果用广义坐标来表示V,即：),,(sqqqVV21skkkssqqVqqVqqVqqVV122110WV0kkkVWVqq保守力学体系平衡条件为：0V由此得保守体系广义力：kkVQq0kkkWQq结合：虚功原理——一个受理想、定常、完整（几何）约束的力学体系，其平衡的充分必要条件是：作用于质点系的所有主动力在任何虚位移中所作的虚功的和等于零。总结：虚功原理表示式：W0iiirF0kkkWQq引用广义坐标和定义广义力：对于保守力学体系：0WV保守力学系统：0ikiikrQFq(1,2,,)ks质点系平衡的必要与充分条件是：系统中所有广义力都等于零。保守力学系统处于平衡位形的充要条件：势能函数对每个广义坐标的偏导数都等于零，或者势能在平衡位置取驻值。力学系统平衡条件0V求力学系统平衡条件下广义力的几种方法a、定义：ikiikqrFQb、虚功原理：ikkkiiqQrFW0c、保守力学系统：kkqVQ),,,(skQk210xyR例1:求套在铅直平面内光滑圆环上、质量为m的小珠的平衡位置。解：自由度为1，取q方法一：主动力：yFmg－有用坐标：sinRyzFyFxFQzyxikiikqrFQ0cosmgR∴2方法二：因体系是保守系，取原点势能为零，则体系势能函数为：sinmgRmgyV20cosmgRVQ应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤a、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，c、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力；并用广义坐标表示力作用点的有用坐标，即：将表示为广义坐标qk(k=1,2,…s)的函数，并求出：如果求某一约束力,则可把其划入主动力,不再考虑这一约束,但其它约束必须是理想约束。iiizyx,,d、应用虚功原理列出平衡方程，由广义力等于零求出平衡条件。ir例2半径为r的光滑半球形碗，固定在平面上。一均匀棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为c，试证棒的全长为：crc)2(422解：1个自由度q取设棒的质心坐标为:(xD,yD)yxomgr(/2)sinDycli0iDiWFrmgy[(2cos/2)sin](sin2/2sin)(2cos2cos)2Dyrlrllr2coscr224(2)crlc(2cos2cos)02lmgr2cos2cos2lrQ[(2cos)sin]22cos2cos20iiikDrQFqlrymgmglryxomgr例3解：自由度数为1qsinsin21rlrxxy3o题5.2.1图120sinsin232xrlrxcos2coscoscos321rarlyrlyrlysin2sinsinsin321rrlyrlyrly重力是主动力由虚功原理:01iniirF0sin2sinsinsin0332211rrlrlrlyPyPyP①xy3o题5.2.1图12因在约束条件下是任意的，要使上式成立，必须有：0sin2sin3rrlsin3sin2rlr又由coscos21rlrx得：coscos2rlr由②③可得：②③tan3tansinsin21rlrx例4：如下图示，已知P、l，求：轻杆所受的力？解：自由度为1，广义坐标取为,体系所受主动力如图所示，有用坐标为：sinDxlcosEylxyBDCA4PETDiiirFW由虚功原理：sinBxl40BDETxTxPy40BDETxTxPycosBxlcoscos4sin0TlTlplcosDxlsinEyl2Tptg(2cos4sin)0TlplsinDxlcosEylsincoscoscos)sin(PlTlTlTllPxTxTyPrFQBDEinii42441由广义坐标表示的虚功原理可知，体系平衡条件为：广义力为零.0Q所以：2Tptg由定义求：广义力sinBxl解：两个自由度21qqyxo12ABFp1p211（x,y）22（x,y）33（x,y）112123121sin21sinsin2coscosxlxllyll111cos2xl2121coscos2xll312sinsinyllyxo12ABFp1p211（x,y）22（x,y）33（x,y）1121122211coscossincossin022PlPlFlPlFl122222PPtgFPtgF广义力Q1广义力Q2由虚功原理112230PxPxFy应用虚功原理求系统平衡条件的解题步骤a、明确系统的约束类型，看是否满足虚功原理所要求的条件；b、确定系统的自由度，选取合适的广义坐标，c、建立坐标系，分析并图示系统受到的所有主动力；并用广义坐标表示力作用点的有用坐标，即：将表示为广义坐标qk(k=1,2,…s)的函数，并求出：如果求某一约束力,则可把其划入主动力,不再考虑这一约束,但其它约束必须是理想约束。iiizyx,,d、应用虚功原理列出平衡方程，由广义力等于零求出平衡条件。ir例5:图示椭圆规机构,连杆A、B长为l,，杆重和摩擦力不计，试求:在图示位置平衡时主动力FA和FB之间的关系。coslxBlsinyA0δδBBAAxFyF解：δsinδlxBδδlcosyAxyOBFAFrBrAtan:BAFF则例6:已知各杆长均为L，重为W,试求维持平衡所需力F的大小?0)δδ(iiyiixyFxF0δ)cos4sin4(FLWL解：0δ不计摩擦W2W2W2W2Fxy12345tanWF自由度：1,cos24321Lyyyyδsin2δ1Lysin45Lxδcos4δ5Lx5142xFyWQ或广义力平衡条件：][n1ijiizjiiyjiixjqzFqyFqxFQ0cos4sin4FLWLtanWF选θ为广义坐标例7、图示平面缓冲机构,各杆的重量和摩擦不记,弹簧原长为l,刚性系数为k.求:平衡的位置解：,)sin2(21)cos2(2lkhlPV,V0,0sincos4sin22klPl,0,0sin1,2cosklP,2arccos2klP,0θ当,arccosklPθ2当lllllP0ACBkyx初始平衡位置。平衡位置。一个自由度时，稳定平衡条件：0qV022qV0,0sin11,2cos2klPklP2arccos2222222sin4cos4cos2klklPlV稳定平衡则当2042012Pkl.klPl,042,2arccos2222klkPkPklP当稳定平衡.2klPlllll0ACBkyxP,)sin2(21)cos2(2lkhlPV