第三章-计算机控制系统设计方法

第三章计算机控制系统设计方法第三章1----1计算机控制系统属于数字控制系统。所以，计算机控制系统控制器的设计属于数字控制器的设计。关于数字控制器的设计，有直接法和模拟法两种，这两种方法各有其特色，本章将分别给予介绍。第一节连续域——离散化设计一、设计的基本原理和步骤连续域——离散化设计分以下五个步骤完成：第1步：根据系统的性能和要求，选择采样频率。第2步：教材3-2所示，由于保持器会引入延迟，根据系统预定的性能指标，采用连续域的设计方法，设计出数字控制器的等效传递函数。保持器常采用零阶保持器，其一阶和二阶近似式表示如下：第三章1----2211sTTsesT12)(2112sTsTTsesT（3-1）（3-2）图3-2连续域内等效设计框图第3步：选择适当的离散化方法，将D(s)离散化获得性能尽量等效的脉冲传递函数D(z)。第4步：针对由D(z)构成的离散闭环控制系统，检验其闭环性能。如图3-3所示。第5步：将D(z)编制成数字算法，在计算机上编程实现。二、前向差分法设模拟控制器传递函数为ssRsCsD1)()()((3-3)转换成微分方程为)()(trdttdc(3-4)以一阶前向差分近似该微分，并代入（3-4）式，得)()()1(kTrTkTCTkC(3-5)令k+1=n,上式的z变换为)()()1(11zRTzzcz或11)()()(11zTzTzzRzCzD（3-6）比较式（3-6）和式（3-3）可见，连续传递函数中的s在离散传递函数中的置换公式为1zsT推而广之，即给定模拟控制器传递函数D(s)，其等效离散传递函数D(z)为：1()()|zsTDzDs(3-7)下面讨论s平面和z平面之间的映射关系。因为平面上的虚轴（轴）是稳定与不稳定区域的分界线，所以应着重研究轴在z平面内的映象。jj由得：Z=1+TS1zsT令代入后可见，s平面上轴映射在z平面上将右移1个单位，所以，采用前向差分法离散化，D(s)稳定，D(z)不一定稳定。jsj前向差分法的特点总结如下：1、直接代换，具有串联性，变换方便；2、整个s左半平面映射到z平面z=1以左的区域，故D(s)与D(z)不具有相同的稳定性；3、因为D(s)|s=0=D(z)|z=1，故稳态增益维持不变；4、当采样周期T较小时，等效精度较好。三、后向差分法设模拟控制器传递函数为图3-5前向差分法s平面稳定域在z平面内的映象ssRsCsD1)()()((3-8)转换成微分方程)()(trdttdc(3-9)以一阶后向差分近似微分，得TTkckTCdttdc)1()()((3-10)代入式（3-9）得)()1()(kTrkCkC对上式进行z变换，经整理为1)()()(zTzzRzCzD(3-11)比较式（3-11）与式（3-8），得s和z的置换公式为Tzzs1(3-12)推广而言，后向差分的离散化公式为TzzssDzD1|)()((3-13)Tzzs1因为则TsTsz112121当时，可得js2121z四、双线性变换法（Tustin变换法）1、离散化公式图3-7中曲线r(t)以下的积分面积dttrtCt)()(0可采用个梯形面积之和来近似表示)1()(2)1()(krkrTkCkC(3-15)其中前个梯形面积之和表示为C(k-1)。对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得1121)()()(zzTzRzCzD显然，s平面的虚轴以左映射为z平面单位圆之内的一个小圆，如图3-6所示。所以，稳定的D(s)对应的D(z)也必定稳定。图3-6后向差分法s平面稳定域在z平面内的映象图3-7梯形规则数值积分对式（3-15）两端求z变换，经整理，可得1121)()()(zzTzRzCzD对比模拟控制器传递函数显然此时的转换关系为ssRsCsD1)()()(211zsTz（3-16）由此可得双线性变换（梯形积分规则或Tustin变换）的离散化公式为211()()|zsTzDzDs（3-17）2、映射由式（3-16）可得令s=jω，可得|z|=1，相位随ω而变化，此即z平面的单位圆，如图3-8所示。可见，若D(s)稳定，D(z)也一定稳定。1212TszTs图3-8双线性变换法S平面稳定域在z平面内的映象3、频率畸变与预修正令s=jω，z=ejωdt。这里，ω表示s域的角频率，ωd表示z域的角频率。根据置换公式，可得11211zsTz则22222112TjTjTjTjTjTjddddddeeeeTeeTj2tan2TTjd即（3-18）或2tan2TTd2arctan2TTd式（3-18）表明，s域的角频率ω与z域的角频率ωd是一个非线性关系，双线性变换产生了频率畸变。当时，有2tan2TTdTdjezjszDsD)()(（3-19）式（3-19）表明，D(s)在频率ω处的幅值D(z)等于在的幅值，如图3-9所示。2arctan2TTd图3-9双线性变换的频率畸变由图3-9可见，双线性变换将s域0~∞频段均压缩到z域的有限区间0~π，在系统校正装置的设计过程中，当D(z)用取代D(s)时，如果要保证在某个特征频率ω1处离散后，，则必需进行频率预修正。进行预修正的步骤如下：（1）在特征频率ω1（如转折频率，自然振荡频率等）处，计算s域预修正频率)((11TjeDjD2tan2'11TT（2）将模拟控制器传递函数修正为)'(1sD（3）将转换成D(z)，令)'/(1sD21|11()()'zsTzsDzkD（4）根据稳态增益相等的原则，按进行增益匹配。总结以上各步骤，也可一步写出预修正双线性变换公式如下：1|0)(|)(zszDsD1111tan2()()|zsTzDzkDs例3-1已知连续传递函数15.01)(2sssDT=1s时，要求对其进行双线性变换，且在自然振荡频率ωn=1rad/s处离散前后的幅值相等。解：第1步：取自然振荡频率ωn为特征频率ω1，并计算s域预修正频率ω1′nsradTT/092.12tan2'11第2步：修正原传递函数D(s)为由D(s)可知)'/(1sD'12''111(/)()21Dsss1092.15.0)092.1(12ss192.1546.0192.12ss第3步：代入进行双线性变换112zzTs1211()(/)|zsTzDzkDs192.1546.0192.12ss第4步：确定的增益根据稳态增益相等的原则：可得10)()(zszDsD2100.192(11)()()|110.8940.652zsDzkDs解得k=1所以652.0894.0)1(192.0)(22zzzzD4、双线性变换的特点（1）s域左半平面映射到z平面的单位圆内（一一对应）；（2）变换具有串联性，即针对相互串联的连续环节，可分别对各个环节作双线性变换，然后相乘；（3）D(z)和D(s)具有相同稳定性；（4）频率特性发生畸变；（5）变换后稳态增益不变。五、零极点匹配法1、转换规则令Z=esT，将D(s)离散化为D(z)11()()()miinjjKszDsspkzezezzDmnnjTPmiTZii)1()()()(11（3-20）式(3-20)表明，在z=esT时，D(s)的零点和极点均一一对应地映射到z平面，若时，则D(z)的分子上应添加(z+1)n-m因子。为保证变换前后增益不变，需进行增益匹配。D(z)的增益一般可按下式匹配：10)()(zszDsD例3-2已知连续传递函数为21()115Dsss试采用零极点匹配法离散化，设采样周期T=1s。解：先将分解为零极点形式因T=1s，按转换公式1()(0.10.995)(0.10.995)Dssjsj(0.10.995)10.4930.759jTzej(0.10.995)20.4930.759jTzej根据公式（3-20），得22(1)()0.9850.819kzDzzz由可得10)()(zszDsD0.209k所以2、特点（1）D(z)和D(s)有相同稳定性；（2）D(s)的零、极点均按照Z=esT的关系与平面的零、极点一一对应；（3）稳态增益匹配，一般按关系匹配。六、几种离散化公式的比较以脉冲传递函数对原连续传递函数的保真度作为衡量标准，表3-1对上述几种离散化方法的主要特点进行了比较。220.209(1)()0.9850.819zDzzz10)()(zszDsD第二章1---30表3-1几种离散化方法的主要特性比较第二节最少拍数字控制系统的设计在离散系统中，通常把一个采样周期称作一拍。最少拍系统，也称为最小调整时间系统或最快响应系统。一、闭环脉冲传递函数的选择图3-10是一个典型的计算机反馈控制系统。为了讨论问题方便，首先假设被控对象是稳定的。系统的闭环脉冲传递函数为)()(1)()()(zGzDzGzDz由式（3-21）可以导出数字控制器的脉冲传递函数为)(1)()()(zzGzzD（3-21)（3-22)图3-10典型的计算机控制系统从式（3-22）可以看出，G(z)是零阶保持器和被控对象所固有的，不能改变。现在只需确定满足系统性能指标要求Φ(z)的，就可以求得满足要求的数字控制器的脉冲传递函数。下面就讨论怎样确定Φ(z)和D(z)。首先，最少拍系统要求稳态偏差e(∞)=0。由图3-10可知，偏差的z变换为)()(1)()()()()()(zRzzRzzRzCzRzE（3-23）根据终值定理，系统的稳态偏差为)()(1)1(lim)()1(lim)(lim)(1111zRzzzEzteezzt（3-24）设典型输入信号的一般形式为kzzAzR)1()()(1（3-25）式中,A(z)为z-1的多项式，它不包含(1-z-1)因子，当k=1,2,3时，分别对应单位阶跃、单位速度和单位加速度输入。将式（3-25）代入式（3-24）则有:kzzzAzze)1()()(1)1(lim)(111由于A(z)不含有(1-z-1)因子，所以1-Ф(z)中必定含有(1-z-1)的至少k次的因式，才能使e(∞)=0，即)()1()(11zFzzp)(kp（(3-26）式中，F(z)是z-1和n次多项式。另一方面21)2()1()0()()(1)(zezeezRzzE要使误差尽快为零，则上式右端应该是z-1最少多项式，因此应使[1-Ф(z)]中(1-z-1)与分母中的(1-z-1)完全相约，即p=k，于是)()1()(11zFzzk(3-27)不难看出，Φ(z)具有z-1的最高幂次为k+n，其中n为F(z)的z-1的最高幂次，则可写成)(2211)(nknkzzzz(3-28)式（3-28）表明，闭环系统在单位脉冲作用下，其输出响应将在k+n个采样周期后变为零，或者说，在典型输入作用下，系统将经过k+n个采样周期达到稳态并实现跟踪。当n=0，即F(z)=1时，系统可经过最短时间（k个采样周期）达到稳态。kzz)1(1)(1(3-29)二、一般对象的最少拍系统的设计下面我们讨论在被控对象的脉冲传递函数稳定且没有纯滞后的情况下，如何根据不同的典型输入R(z)，确定数字控制器的脉冲传递函数D(z)。1、单位阶跃输入当r(t)=1时，，这时，可选择111)(zzR1,1)(kzA111)1(1)(zzz(