向量法求空间角(高二数学-立体几何)

实用文档ABCDPQ向量法求空间角1．（本小题满分10分）在如图所示的多面体中，四边形ABCD为正方形，四边形ADPQ是直角梯形，DPAD，CD平面ADPQ，DPAQAB21．（1）求证：PQ平面DCQ；（2）求平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小．2．（满分13分）如图所示，正四棱锥P－ABCD中，O为底面正方形的中心，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为26．（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．DBACOEP实用文档3．（本小题只理科做，满分14分）如图,已知AB平面ACD,DE//AB,△ACD是正三角形,AD=DE=2AB,且F是CD的中点.（1）求证:AF//平面BCE;（2）求证:平面BCE平面CDE;（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小.4．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCDP中,PD底面ABCD,且底面ABCD为正方形,GFEPDAD,,,2分别为CBPDPC,,的中点．（1）求证://AP平面EFG;（2）求平面GEF和平面DEF的夹角.实用文档HPGFEDCBA5．如图，在直三棱柱111ABCABC中，平面1ABC侧面11AABB且12AAAB.（Ⅰ）求证：ABBC；（Ⅱ）若直线AC与平面1ABC所成的角为6,求锐二面角1AACB的大小.6．如图，四边形ABCD是正方形，EA平面ABCD，EAPD，2ADPDEA，F，G，H分别为PB，EB，PC的中点．（1）求证：FG平面PED；（2）求平面FGH与平面PBC所成锐二面角的大小.实用文档参考答案1．（1）详见解析；（2）4【解析】试题分析：（1）根据题中所给图形的特征，不难想到建立空间直角坐标，由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．表示出图中各点的坐标：设aAB，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,,(aaQ，)0,2,0(aP，则可表示出),0,0(aDC，)0,,(aaDQ，)0,,(aaPQ，根据数量积为零与垂直的充要条件进行证明，由0PQDC，0PQDQ，故PQDC，PQDQ，即可证明；（2）首先求出两个平面的法向量，其中由于DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为)1,0,0(1n；设平面BCQ的一个法向量为),,(2zyxn，则02QBn，02QCn，故,0,0azayaxazay即,0,0zyxzy取1zy，则0x，故)1,1,0(2n，转化为两个法向量的夹角，设1n与2n的夹角为，则2221||||cos2121nnnn．即可求出平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小.试题解析：（1）由已知，DA，DP，DC两两垂直，可以D为原点，DA、DP、DC所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设aAB，则)0,0,0(D，),0,0(aC，)0,,(aaQ，)0,2,0(aP，故),0,0(aDC，)0,,(aaDQ，)0,,(aaPQ，因为0PQDC，0PQDQ，故PQDC，PQDQ，即PQDC，PQDQ，又DCDQD所以，PQ平面DCQ．（2）因为DC平面ADPQ，所以可取平面ADPQ的一个法向量为)1,0,0(1n，点B的坐标为),0,(aa，则),,0(aaQB，),,(aaaQC，实用文档设平面BCQ的一个法向量为),,(2zyxn，则02QBn，02QCn，故,0,0azayaxazay即,0,0zyxzy取1zy，则0x，故)1,1,0(2n．设1n与2n的夹角为，则2221||||cos2121nnnn．所以，平面BCQ与平面ADPQ所成的锐二面角的大小为4考点：1.空间向量的应用；2.二面角的计算；3.直线与平面的位置关系2．（1）60;（2）5102;（3）F是AD的4等分点，靠近A点的位置.【解析】试题分析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，由正四棱锥的性质知∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角，∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角∴tan∠PAO＝26，设AB＝a，则AO＝22a，PO＝23a，MO=12a,tan∠PMO＝3,∠PMO＝60°;（2）依题意连结AE，OE，则OE∥PD，故∠OEA为异面直线PD与AE所成的角，由正四棱锥的性质易证OA⊥平面POB,故AOE为直角三角形，OE＝21PD＝2122DOPO＝45a∴tan∠AEO＝EOAO＝5102；（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG，易得BC⊥平面PMN，故平面PMN⊥平面PBC，而△PMN为正三角形，易证MG⊥平面PBC，取MA的中点F,连EF,则四边形MFEG为平行四边形，从而MG//FE,EF⊥平面PBC,F是AD的4等分点，靠近A点的位置.试题解析：（1）取AD中点M，连接MO，PM，依条件可知AD⊥MO，AD⊥PO，则∠PMO为所求二面角P－AD－O的平面角（2分）MDBACOEP实用文档∵PO⊥面ABCD，∴∠PAO为侧棱PA与底面ABCD所成的角．∴tan∠PAO＝26设AB＝a，AO＝22a，∴PO＝AO·tan∠POA＝23a，tan∠PMO＝MOPO＝3．∴∠PMO＝60°．（4分）（2）连接AE，OE，∵OE∥PD，∴∠OEA为异面直线PD与AE所成的角．（6分）∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．∵OE＝21PD＝2122DOPO＝45a，∴tan∠AEO＝EOAO＝5102．（8分）（3）延长MO交BC于N，取PN中点G，连BG，EG，MG．MDBACOEPMDBACOEPNGF实用文档∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN∴平面PMN⊥平面PBC．（10分）又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN为正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．（12分）F是AD的4等分点，靠近A点的位置（13分）考点：立体几何的综合问题3．（1）见解析；（2）见解析；（3）45.【解析】试题分析：（1）取CE中点P，连接FP、BP，根据中位线定理可知FP||DE，且且FP=.21DE，而AB||DE，且AB=.21DE则ABPF为平行四边形，则AF||BP，AF平面BCE，BP⊂平面BCE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；（2）根据AB平面ACD，DE||AB，则DE平面ACD，又AF⊂平面ACD，根据线面垂直的性质可知DEAFAFCDCDDED．又，，满足线面垂直的判定定理，证得AF平面CDE，又BP||AF，则BP平面CDE，BP平面BCE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；（3）由（2），以F为坐标原点，FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系F﹣xyz．设AC=2，根据线面垂直求出平面BCE的法向量n，而m=（0，0，1）为平面ACD的法向量，设平面BCE与平面ACD所成锐二面角为α，根据||cos||||mnmn可求出所求．试题解析：（1）解:取CE中点P,连结FP、BP,∵F为CD的中点,∴FP||DE,且FP=.21DE又AB||DE,且AB=.21DE∴AB||FP,且AB=FP,∴ABPF为平行四边形,∴AF||BP又∵AF平面BCE,BP平面BCE,∴AF||平面BCE（2）∵△ACD为正三角形,∴AFCD.∵AB平面ACD,DE||AB,∴DE平面ACD,又AF平面ACD,∴DEAF.又AFCD,CD∩DE=D,∴AF平面CDE实用文档又BP||AF,∴BP平面CDE.又∵BP平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE（3）法一、由（2）,以F为坐标原点,FA,FD,FP所在的直线分别为x,y,z轴（如图）,建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2,则C（0,—1,0）,).2,1,0(,),1,0,3(EB设(,,)nxyz为平面BCE的法向量，300,0,220xyznCBnCEyz，令n=1,则(0,1,1)n显然,)1,0,0(m为平面ACD的法向量.设面BCE与面ACD所成锐二面角为,则||12cos.||||22mnmn45.即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45法二、延长EB、DA,设EB、DA交于一点O,连结CO.则面EBC面DACCO.由AB是EDO的中位线,则ADDO2.在OCD中22ODADAC,060ODC.CDOC,又DEOC.OC面,ECD而CE面ECD,为所求二面角的平面角ECDCEOC,在RtEDC中，EDCD，045ECD即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．4．证明见解析【解析】实用文档试题分析：：（1）利用已知的线面垂直关系建立空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算.其中灵活建系是解题的关键.（2）证明线面平行，需证线线平行，只需要证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；（3）把向量夹角的余弦值转化为两平面法向量夹角的余弦值;（4）空间向量将空间位置关系转化为向量运算，应用的核心是要充分认识形体特征，建立恰当的坐标系，实施几何问题代数化.同时注意两点：一是正确写出点、向量的坐标，准确运算；二是空间位置关系中判定定理与性质定理条件要完备.试题解析：（1）如图，以D为原点,以,,DADCDP为方向向量建立空间直角坐标系,xyzD则)0,0,2(),1,0,0(),1,1,0(),0,2,1(),0,2,0(),2,0,0(AFEGCP.)11,1(),0,1,0(),2,0,2(EGEFAP.设平面EFG的法向量为(,,)nxyz0,0,nEFnEG即.0,0zyxy.0,yzx令1x则(1,0,1)n.1(2)00120,.nAPnAP又AP平面//,APEFG平面.EFG（2）底面ABCD是正方形,,DCAD又PD平面ABCD.ADPD又DCDPD,AD平面PCD向量DA是平面PCD的一个法向量,)0,0,2(DA又由（1）知平面EFG的法向量(1,0,1)n.22cos,.2||||22DAnDAnDAn二面角DEFG的平面角为045.考点：（1）证明直线与平面平行；（2）利用空间向量解决二面角问题.5．（Ⅰ）详见解析;（Ⅱ）3.【解析】试题分析：（Ⅰ）取1AB的中点D，连接AD，由已知条件推导出AD⊥平面1ABC，从而ADBC，由线面垂直得1AABC．由此能证明ABBC．（Ⅱ）方法一：连接CD，实用文档由已知条件得ACD即为直线AC与平面1ABC所成的角，AED即为二面角1AACB的一个平面角，由此能求出二面角1AACB的大小．解法二（向量法）：由（1）知ABBC且1BBABC底面，所以以点B为原点，以1BCBABB、、所在直线分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系Bxyz，设BCa，则(0,2,0)A，(0,0,0)B，(,0,0)Ca，1(0,2,2)A，(,0,0)BCa，1(0,2,2)BA，(,2,0)ACa，1(0,0,2)AA，求出平面1ABC的