第2章电测深曲线正演数学模型及程序设计08

1第二章电测深曲线正演数学模型及程序设计§2-1电测深正演数学模型一﹑电测深视电阻率褶积分表达式对称四极0MN时：（视电阻率褶积积分表达式的导出过程）已知：drJTrrs)()()(1012（1）（为了将上式变换成可以用计算机计算的离散形式，对)(rs和)(1T的自变量取对数，引入新变量x和y）设dyedeyerrxyyx,)1ln(ln（2）代入①式（意注意推导过程）dyeeeeJeTeeyyyxyxxS)()()()(112dyeeJeTyxyxy))()()(211令：)()(xxSex)()(1yeTyT)(21)()(yxyxeeJyxF2dyyxFyTxS)()()(（3）)(xT——输入信号)(xs——输出信号)(yxF——滤波器脉冲响应结论：电测深曲线正演计算可采用空间域数字滤波过程来完成。也可写成褶积表达式：)(*)()(xFxTxS采用对数变量后，其它常用装置系统的视电阻率)(rs褶积运算的表达形式分别为：二极装置：deeJyTyxyxst)()(00温纳装置：dyeeJeJyTyxyxyxsw)]2()()[(2000式中：axln偶极装置：xPsssd式中0P是为方位装置（090时为赤道偶极）；2/1P时为径向装置（00时为轴向偶极）3二﹑电测深视电阻率离散化数学模型1﹑)(yT离散式：nnynySinnTyT)()()()(（4）——采样间隔)(nT——第n个采样点上核函数值2﹑将（4）式代入（3）式dyyxFnynySinnTxnS)()()()()(dyyxFnynySinnTn)()()()(令uny，dudy，当00nxx时duunnFuuSinnTnnS])[()()(00令：duunnFuuSinnnC])[(])[(00)(])[()(00nCnnTnns（5）改写成编程使用的正演计算模型为：)(]))[()(iCijTjnS（6）j第j个计算点序列号4i第i个滤波点序号)(iC正演滤波系数如果给出滤波系数)(iC，再根据递推公式计算出相应点的核函数值，则可由上述公式计算出相应采样点的视电阻率)(rs的值。（滤波系数)(iC计算过程将在下一节详细说明）3﹑)(iT的计算：iyee取6)10ln(每个对数节取6个点，间隔固定。6)10ln(ie，6)10ln(1ie由递推公式计算)(iT由以上分析可知，只要给出地电断面层参数iih,的值，由递推公式求得一系列核函数采样值)(0jnT。5§2-2滤波系数计算方法及正演滤波系数在电测深正演和反演问题中用到三种滤波系数：1）、由核函数计算视电阻率函数值的正演滤波器；2）、由视电阻率函数确定核函数（视电阻率转换函数）的反演滤波器；3）、由一种装置的视电阻率函数确定另一种装置的视电阻率函数的变换滤波器。（正演和反演滤波系数计算方法相同，目前常用的计算方法有三种：）一﹑频率域中的付氏变换法：由上节分析已经得出了各种装置电测深视电阻率函数和核函数在空间域中的褶积积分形式：dyyxFyTxS)()()(1（1）D．P．Ghosh首次采用付氏变换计算电测深滤波系数，给出满足上式的三对函数，其中之一为：yeyxxseeyTeex31)()1()(2523（2）对（2）式中的函数进行付氏变换，分别求出)(xs的频谱)(fR以及)(yT的频谱)(fT，则（1）式的褶积可表示为：6)()()(fFfTfR∴)()()()()(fiefAfTfRfF（3）)(fF为滤波器滤波函数的频谱；式中：)(),(ffA滤波器振幅，相位频率响应。对（3）式进行反付氏变换：（得到滤波器的脉冲响应）NcdffxffAfxF0]2)(cos[)(1)(（4）式中：21cf奈奎斯特频率对)(),(yTxx作付氏变换时的采样间隔yx为了缩短滤波器的长度，减小截断误差的影响，滤波系数取样尽量与脉冲响应的节点（脉冲响应曲线与横轴的交点）重合。为此在用上（4）式计算滤波系数时，取样点向左移动一段距离s，使取样点位于)(xC的节点处，其位移值s为：)()/(cfs（5）7计算)(sx点上的滤波系数时，（4）式应变为：NcdfsxfffAfsxF0)](2)(cos[)(1)(（6）将（5）式中的s值代入（6）式得：NcccdffxfffffAfsxF0]2)()(cos[)(1)(式中：cf——截止频率)(cf——频率为cf时的相位响应值。利用付氏变换，可计算各种装置类型的电测深滤波系数。对于反演滤波系数，仍可选择满足褶积公式的成对函数，采用付氏变换法求取。若设计由一种电测深装置转换到另一种装置的视电阻率滤波系数，则只要分别选取这两种装置相应的视电阻率函数，一个为输入，一个为输出，仍可采用付氏变换法计算其变换滤波系数。8二﹑最小二乘法基本原理：调整滤波系数，使滤波器实际输出与理想输出之间的偏差平方和最小。视电阻率线性滤波公式：)(]))[()(21iCijTjnniS（7）设待求滤波系数共)1(n个，记为),,1,0(niCi。选择输入函数T和输出函数s变换对作线性组合，作为（7）式的输入函数和输出函数对。记输入函数),,2,1,0,,,2,1,0(ninmjTij，由上式可得滤波器的实际输出为：inniijSjCT21ˆ，),,2,1,0(nmj（8）设滤波器的理论输出函数度采样值为sj，则实际输出sjˆ和理论输出sj之差的平方和记为：200]ˆ)([nmjnisjiijCT（9）为使目标函数值达到最小，令对所有的滤波系数kC的偏导数为零，即：0]ˆ)([00kjnmjnisjiijTCT，),,2,1,0(nk（10）（10）式可变为：9ninmjnmjkjsjkjijiTTTC000ˆ[（11）令：kinmjkjijaTT0，knmjkjsjgT0ˆ则（11）式可变为：knikiigaC0，),,2,1,0(nk也可列出以下方程组形式：nnnnnnnngCaCaCagCaCaCagCaCaCa011111100101100（12）该方程组系数矩阵为正定矩阵，称托布里兹矩阵。因此，计算滤波系数问题最终归结为求解方程组。10三﹑数值积分法：（课后自己看，讨论）前面讲到由)()(rTs时，有：duunnFuuSinnnC])[()])[(00duuiFuuSiniC)()(dueeJuuSinuiui)(21)(条件：①上式存在能写出的滤波器输出函数的精确表达式。②确定滤波系数的无穷积分必须存在。滤波系数的精度：1﹑代数和为1：1)(nnC2﹑二层理论曲线计算的)(rS位与滤波得到的)(rS值比较，3﹑利用Ghosh给出的一组式对函数计算比较。11四﹑各种装置的正演滤波系数1﹑对称四极电测深曲线正演滤波系数12表2-2温纳2﹑二极装置133﹑偶极装置14§2-3电测深理论曲线正演计算实用程序数学模型)(])[()(iCijTjMis（1）计算步骤：1﹑输入层参数等。2﹑递推公式计算])[(ijT3﹑滤波计算：由①式计算：)(js4﹑存盘，显示等。程序见P172，附表一。附录一：程序设计P173①)()()(1810iCijTjis)10()10()17()17()18()18(CjTCjTCjT②)18()1(jTTTjmxjjs01)(110001)18(xT③)()18(300280qhTjT610ln1ie15)(])([)()(11610ln610lniiiFyTeyTyeTiT∴)18()(1TyT,)1()(11TFyT④420～430)()1(jTjT16§2-4线性滤波法用于电测深正演计算的其它应用在讨论线性滤波法正演计算视电阻率曲线原理的基础上，这里介绍用同一滤波系数计算不同装置的视电阻率方法；同时为了理论研究的需要，也简要地讨论利用线性滤波法计算电位、电场强度及电流密度的基本方法。一、用二极装置滤波系数计算各种装置视电阻率值二极装置视电阻率函数式drJTrrst)()()(00（1）采用对数变量时：dyeeJyTreyxyxxst)(0)()()(（2）因此，二极装置滤波函数)(0)(yxyxeeJ称为零阶贝塞尔函数滤波器。经过数学变换，各种装置视电阻率函数都可以表示为某一输入函数和二极装置滤波函数的褶积，因而可用用已知的二极装置滤波系数计算任意装置的电测深曲线。171、对称四极装置dbrJbrJTbbrs)()()[(200022令：rba/（称为偏心率），则有：darJarJTraars)1()1()[(21)(0002darJTaraadarJTaraa)1()()1(2)1()1()()1(2)1(0000（3）由此可以看出，对称四极装置视电阻率值是两个二极装置视电阻率)]1([arst和)]1([arst的线性组合。)])1(([2)1()])1(([2)1()(araaaraarststsw（4）182、温纳装置3/1/rba)2()(2)(aarststsw（5）3、偶极装置由第一章可知偶极装置视电阻率表达式为（式1-86）：rrrPrrsssd)()()(（6）（式中)(rs为对称四极梯度装置0MNdrJTrs)()(1012）将二极装置的表达式drJTrrst)()()(00两边对r求导并且同剩以r：drJTrdrJTrrrrst)()()()()(10200（7）（二极装置）（对称四极梯度装置）)()()(rrrrrsstst可变换为rrrrrststs)()()(（8）将（8）式代入（6）式：19222)()()()(rrPrrrrrrstststsd（9）二、用理论对称四极装置滤波系数计算各种装置视电阻率drJTrs)()(1012其滤波函数为)(21)(yxyxeeJ称为一阶贝塞尔函数滤波器。经过数学变换，可把各种装置视电阻率表示为某一输入函数和理论对称四极装置滤波函数的褶积，从而可用理论对称四极滤波系数计算其它装置的视电阻率值（具体过程略，只列出其表达式）。1、二极装置drJTst)()(10*（10）式中：)()(1)())(()(2*ddTTTddT将（10）式写成对数形式：dyeJeyTxyxyst)()()()(12*dyeeJyTexyxyxxst)(2)(1*2)()]([)(2、偶极装置（书P35）20三、线性滤波法计算水平层状介质中的电位层状介质中各层的电位i