《计量经济学》第五章 异方差性

1第五章异方差性计量经济学2本章讨论四个问题：●异方差的实质和产生的原因●异方差产生的后果●异方差的检测方法●异方差的补救第五章异方差性3第一节异方差性的概念本节基本内容：●异方差性的实质●异方差产生的原因4一、异方差性的实质同方差的含义同方差性：对所有的有：或（5.1）因为方差是度量被解释变量的观测值围绕回归线（5.2）的分散程度，因此同方差性指的是所有观测值的分散程度相同。(1,2,...,)iin2Var()=iuσY22()iE2312233E(|,,,)...ikiikkiYXXXXXX5设模型为如果对于模型中随机误差项有：则称具有异方差性。进一步，把异方差看成是由于某个解释变量的变化而引起的，则异方差性的含义iu12233...1,2,...,iiikkiiYXXXuin2Var(),1,2,3,...,iiuin22Var()()iiiufX(5.4)(5.3)6图形表示XY概率密度7（一）模型的设定误差假设正确的计量模型是：假如略去，而采用当被略去的与有呈同方向或反方向变化的趋势时,随的有规律变化会体现在（5.5）式的中。3iX12233iiiiYXXu3iX*122iiiYXu3iX2iX*iu（5.5）*iu2iX二、产生异方差的原因8模型的设定主要包括变量的选择和模型数学形式的确定。模型中略去了重要解释变量常常导致异方差，实际就是模型设定问题。除此而外，模型的函数形式不正确，如把变量间本来为非线性的关系设定为线性，也可能导致异方差。（二）数据的测量误差样本数据的观测误差有可能随研究范围的扩大而增加，或随时间的推移逐步积累，也可能随着观测技术的提高而逐步减小。3iX*iu9（三）按照边错边改学习模型人们在学习过程中，其行为误差会随着时间而减少。例如打字错误与打字练习的小时数的关系。（四）收入的增加使人们对如何支配收入有更大的选择范围3iX*iu10（五）异方差还会因为异常值的出现而产生，尤其是小样本时（六）模型中一个或多个回归元的分布偏态，例如收入、财富和教育等经济变量3iX*iu消费价格（百分比变化）股票价格20个国家在二战后直至1969年期间的每年股票价格和消费者价格的变化率的描点（智利的观测值为一异常值）智利11（七）截面数据中总体各单位的差异通常认为，截面数据较时间序列数据更容易产生异方差。这是因为同一时点不同对象的差异，一般说来会大于同一对象不同时间的差异。不过，在时间序列数据发生较大变化的情况下，也可能出现比截面数据更严重的异方差。12举例：1958年按厂家或企业就业职工人数划分的10个非耐用品制造行业的每个职工的工薪数据行业（略）就业人数（平均职工人数）1－45－910－1920－4950－99100－249250－499500－9991000以上平均工薪339637874013401441464241438845384843标准差743.7851.4727.8805.06929.91080.61243.21307.71112.57008009001,0001,1001,2001,3001,4003,2003,6004,0004,4004,8005,200WAGESEWAGE薪金的标准误随薪金平均值的提高而提高13第二节异方差性的后果本节基本内容：●对参数估计统计特性的影响●对参数显著性检验的影响●对预测的影响14一、对参数估计统计特性的影响（一）参数估计的无偏性仍然成立参数估计的无偏性仅依赖于基本假定中的零均值假定（即）。所以异方差的存在对无偏性的成立没有影响。（二）参数估计的方差不再是最小的同方差假定是OLS估计方差最小的前提条件，所以随机误差项是异方差时，将不能再保证最小二乘估计的方差最小。E()0iu15二、对参数显著性检验的影响由于异方差的影响，使得无法正确估计参数的标准误差，导致参数估计的t统计量的值不能正确确定，所以，如果仍用t统计量进行参数的显著性检验将失去意义。16尽管参数的OLS估计量仍然无偏，并且基于此的预测也是无偏的，但是由于参数估计量不是有效的，从而对Y的预测也将不是有效的。三、对预测的影响17四、使用OLS、OLS且考虑异方差性以及GLS的回归系数方差（标准误）的比较对于模型的OLS估计量为（一）OLS下回归系数的方差（二）使用OLS但考虑异方差性的方差12iiiYX2222var()ix22222var()()iiixx^2222()iiiiiiiiinXYXYxynXXx18GLS（广义最小二乘法）的估计先将原始变量转换成满足经典模型假设的转换变量，然后对它们使用OLS程序就是GLS，GLS是满足标准最小二乘假定的转换变量的OLS。19GLS（广义最小二乘法）的估计双变量模型可写为：假定相异的方差已知，用通除上式得进一步写为其中12iiiYX1020,1iiiiiYXXiX其中对每个均有＝012iiiiiiiiXYX（）（）（）ii******102iiiiYXX**22222211var()()()()1iiiiiiiiEEE20GLS（广义最小二乘法）的估计双变量模型SPF为然后最小化：即：的GLS估计量为：方差为：******102iiiiYXXe22******102iiiieYXX22**012iiiiiiiiXYX（）*222()()()()()()()iiiiiiiiiiiiiXYXYXX*222var()()()()iiiiiiXX其中：21ii21GLS与OLS的区别OLS要求最小化GLS要求最小化：在GLS中，我们最小化以为权重的一个加权残差平方和，而在OLS中我们最小化一个无权的或等权的残差平方和21ii2212ˆˆmin()min()iiieYX22*****102iiiiieYXX22蒙特卡罗实验引用戴维森和麦金农的蒙特卡罗实验来说明。考虑一个简单的双变量模型，假定和。根据20000次重复实验，并令取不同的值，得到使用OLS、使用OLS并考虑异方差以及使用GLS的两个回归系数的标准误。121,1~(0,)iiNX23蒙特卡罗实验值的标准误的标准误OLSOLShetGLSOLSOLShetGLS0.50.1640.1340.1100.2850.2770.2431.00.1420.1010.0480.2460.2470.1732.00.1160.0740.00730.2000.2200.1093.00.1000.0640.00130.1730.2060.0564.00.0890.0590.0030.1540.1950.01712可见，不管是否考虑对异方差的修正，OLS一致地高估了由GLS程序得到的真实标准误，尤其以大的的值为甚24第三节异方差性的检验常用检验方法:●图示检验法●帕克检验●格莱泽检验●Goldfeld-Quanadt检验●White检验25在经济研究中，对应于一个具体的值，多数情况都只有一个样本值。所以没有任何办法能从仅仅一个观测值去获得。因此在大多数的计量经济调查研究中，异方差不过是一种直觉，深思熟虑的猜测，先前经验或纯粹猜想。YXY2i26设一元线性回归模型为：运用OLS法估计,得样本回归模型为：由上两式得残差：绘制出对的散点图◆如果不随而变化，则表明不存在异方差；◆如果随而变化，则表明存在异方差。（一）残差图形分析12iiiYββXu12ˆˆˆiiY=β+βXˆ-iiieYY2ieiXiXiX2ie2ie27二、帕克检验基本思想：帕克认为是解释变量的某个函数。他所建议的函数形式是：或其中为随机干扰项。由于未知，帕克建议用代替变量并作以下回归如果是显著的，就表明数据中有异方差。作用：检验异方差由哪个解释变量所引起问题：误差项可能不满足CLRM，而且本身可能存在异方差2iiX22iiiXe22lnlnlniiiXi2i2ie22lnlnlniiieXi28三、Glejser检验（一）检验的基本思想由OLS法得到残差，取得绝对值，然后将对某个解释变量回归，根据回归模型的显著性和拟合优度来判断是否存在异方差。（二）检验的特点不仅能对异方差的存在进行判断，而且还能对异方差随某个解释变量变化的函数形式进行诊断。该检验要求变量的观测值为大样本。29（三）检验的步骤1.建立模型并求根据样本数据建立回归模型，并求残差序列2.寻找与的最佳函数形式用残差绝对值对进行回归，用各种函数形式去试，寻找最佳的函数形式。iXieˆiiie=Y-YieXie30基本思想类似于帕克检验。区别在于函数形式不一样格莱泽建议的函数形式包括：121212122121iiiiiiiiiiiiiiieXeXeXeXeX313.判断根据选择的函数形式作对的回归，作为的替代变量，对所选函数形式回归。用回归所得到的、、等信息判断，若参数显著不为零，即认为存在异方差性。问题：误差项可能不满足CLRM，而且本身可能存在异方差，最后两个函数形式估计困难，且适用于大样本FXie2ieβtβi32四、Goldfeld-Quanadt检验作用：检验递增性异方差。基本思想：将样本分为两部分，然后分别对两个样本进行回归，并计算两个子样的残差平方和所构成的比，以此为统计量来判断是否存在异方差。（一）检验的前提条件1、要求检验使用的为大样本容量。2、除了同方差假定不成立外，其它假定均满足。33（二）检验的具体做法1.排序将解释变量的取值按从小到大排序。2.数据分组将排列在中间的约1/4的观察值删除掉，记为，再将剩余的分为两个部分，每部分观察值的个数为。3.提出假设222220112H:,=1,2,...,;H:inσ=σinσσ...σ(-)/2ncc344.构造F统计量分别对上述两个部分的观察值求回归模型，由此得到的两个部分的残差平方为和。为前一部分样本回归产生的残差平方和，为后一部分样本回归产生的残差平方和。它们的自由度均为，为参数的个数。22ie[(-)/2]-nck21ie22ie21iek35在原假设成立的条件下，因和自由度均为，分布，可导出：（5.13）[(-)/2]-nck2χ22222211[]2()22[]2ii*iin-ce/-ken-cn-cF==~F-k,-kn-cee/-k21ie22ie365.判断给定显著性水平，查F分布表得临界值计算统计量。如果则拒绝原假设，接受备择假设，即模型中的随机误差存在异方差。--(-,-)22()ncnckkF*F*--(-,-)22()ncnckkFF37●要求大样本●异方差的表现既可为递增型，也可为递减型●检验结果与选择数据删除的个数的大小有关●只能判断异方差是否存在，在多个解释变量的情下，对哪一个变量引起异方差的判断存在局限。c（三）检验的特点38举例：假想的消费支出与收入的数据删除居中的4个观测值39举例：假想的消费支出与收入的数据●对开头的13个和末尾的13个观测值分别做OLS回归，并计算残差平方和，结果为开头和末尾的回归分别为：可以得到213.40940.6968(8.7049)(0.0744)0.8887,377.17,11iiYXtRRSSdf2228.02720.7941(30.6421)(0.1319)0.7681,1536.8,11iiYXtRRSSdf210.05/1536.84.07/377.17(11,11)2.82RSSdfRSSdfF40五、White检验（一）基本思想：不需要关于异方差的任