正弦定理二

学习目标：1.掌握正弦定理及其基本应用；2.能用正弦定理解三角形，并能判断三角形的形状。复习回顾正弦定理:在一个三角形中，各边和它所对角的_____的比值相等，即______＝______＝_______=_____正弦AasinBbsinCcsin2R课前练习：1、在中，一定成立的等式是（）ABCBbAaAsinsin.　BbAaBcoscos.　AbBaCsinsin.　AbBaDcoscos.　C2、在△ABC中已知a=18,B=60°,C=75°,求b=____96D3、△ABC中，B=30°，c=150，b=50，则△ABC的形状是（）3A等边三角形B等腰三角形C直角三角形D等腰或直角三角形5、判断满足下列的三角形的个数:(1)b=11,a=20,B=30o(2)c=54,b=39,C=120o(3)b=26,c=15,C=30o(4)a=2,b=6,A=30o两解一解两解无解4、已知c＝2，A＝120°，a＝，则B＝_______.3230°知识探究：反之成立吗？是不是一定有若中、在?,sinsin,ABCbaBA31、判断三角形解的个数可由“三角形中大边对大角”来判定(A为锐角)：若a≥b,则A≥B，从而B为_____，有_____解；若ab，则AB，此时，由正弦定理得的值.你认为此时的角B是否一定存在？如果存在，有几解？bsinAsinBa①sinB1，无解；②sinB=1，一解；③sinB1，两解.锐角一BacAbcCabSABCsinsinsin2121212、证明例1、在△ABC中，c＝6，C＝π3，a＝2，求A、B、b.【思路点拨】由c＞a可得A为锐角，由正弦定理求出sinA，从而求出角A，再由内角和定理求出角B，最后由正弦定理求得b.4A125B133sin125sin6sinsinCBcb变式把本例中C＝π3改为A＝π4,其他条件不变,求C、B、bC＝π3或2π3；当C＝π3时，B＝5π12，b＝asinBsinA＝3＋1.当C＝2π3时，B＝π12，b＝asinBsinA＝3－1.例2、△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A-C）＋cosB=1，a=2c，求C。6C例3、在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且试判断△ABC的形状.【分析】将式中的a、b、c分别用2RsinA、2RsinB、2RsinC来代替是解决本题的关键.abccosAcosBcosC，判断三角形形状的方法已知三角形中的边角关系式，判断三角形的形状，可考虑使用正弦定理，把关系式中的边化为角，再进行三角恒等变换求出三个角之间的关系式，然后给予判定.在正弦定理的推广中，a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC(R为三角形外接圆的半径)是化边为角的主要工具.正弦定理及三角函数知识是判断三角形形状的主要方法，要注意灵活运用正弦定理的变形.点评：.20sin10)sin1(21,0)(410)sin1(21)(41sin21)(412222为等腰直角三角形且解：ABCcbAAcbAbccbAbccbAbccbS的形状。试确定的面积、已知例ABC),c(b41SABC422例5、在任意△ABC中，求证：a(sinB-sinC)+b(sinC-sinA)+c(sinA-sinB)=0.1.在△ABC中，a=5，b=3，C=120°，则sinA∶sinB的值是()(A)(B)(C)(D)533757达标检测：35A2.在△ABC中，已知c=10，A=30°，则B=()(A)105°(B)60°(C)15°(D)105°或15°a52，D3.在△ABC中，若B=2A，则A=_______.ab13∶∶，30°4.在△ABC中，B＝135°，C＝15°，a＝5，则此三角形的最大边长为多少？52.5、在△ABC中，已知c=1，B=45°，求a、A、C.b2，62a2，A=105°，C=30°2、判断三角形的形状，实质是判断三角形的三边或三角具备怎样的关系．由于正弦定理非常好地描述了三边与三角的数量关系，所以可利用正弦定理实现边角的统一，便于寻找三边或三角具备的关系式．利用正弦定理判定三角形的形状，常运用正弦定理的变形形式，将边化为角，有时结合三角函数的有关公式(如诱导公式、和差公式)，得出角的大小或等量关系．归纳延伸：3、由于正弦定理及其变形形式都是等式,在求解三角形中的某个元素时,可运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形.只要涉及三角形的两角及对边的4个元素知3即可解三角形,即求出另3个元素．正弦定理的运用非常广泛,包括一些抽象性很强的平面几何结论,都可用正弦定理进行分析与证明．BacAbcCabSABCsinsinsin1212121、面积公式作业：221.tantan,.ABCaBbAABC在中，已知试判断的形状的形状。试判断已知中在ABC,,,,ABC.0303332Bcb的形状。的对角，试判断为的变为且和，的两根之积等于两根之已知方程ABCb,BA,,ABC,cos)cos(-.abaBaxAbx042的形状。试判断若所对的角，为为边长中在ABC,sinsinsin,,,,,,,,ABC.AcCbBacbaCBAcba53.12057,.ABCAABBCABCS在中，若，，求的面积预习余弦定理（探究余弦定理的证明方法）