中考复习：等腰三角形与直角三角形

第四单元图形的认识第2讲三角形2.2等腰三角形与直角三角形【知识回顾】知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结1．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的两底角；（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角、底边上的、底边上的相互重合（“三线合一”）（3）等边三角形三个内角都相等，并且每一个角都等于；（4）对称性：等腰三角形是对称图形，底边的垂直平分线是它的对称轴；等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴．相等平分线中线高60°轴三【知识回顾】2.等腰三角形的判定（1）定义：的三角形是等腰三角形;的三角形是等边三角形；（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成）；（3）角都相等的三角形是等边三角形；（4）有一个角等于60°的三角形是等边三角形．3.直角三角形的性质（1）直角三角形两锐角；（2）直角三角形中，30°的銳角所对的直角边等于斜边的；两条边相等三条边都相等“等角对等边”三等腰互为余角一半知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【知识回顾】（3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的；（4）勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c，那么．4.直角三角形的判定（1）定义：的三角形是直角三角形；（2）勾股定理的逆定理：如果三角形三边长a,b,c满足，那么这个三角形是直角三角形；（3）如果三角形的中线等于这条边的，那么这个三角形是直角三角形．一半a2+b2=c2有一个角是直角一条边上一半a2+b2=c2知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【典例精析】例1在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,∠ABC的平分线BE交高CD于F．(1)求证：△CEF是等腰三角形；(2)过C作CG⊥BE于H，交AB于G，试判断△BCG的形状，并证明你的结论.CABDEFGH6712345(1)证明:∵∠ACB=90º∴∠A+∠ABC=90º∵CD是Rt△ABC的高∴∠CDB=90º∴∠3+∠ABC=90º∴∠A=∠3∵∠1=∠A+∠5,∠2=∠3+∠4,∠4=∠5∴∠1=∠2∴CE=CF∴△CEF是等腰三角形．(2)解:△BCG是等腰三角形.证明如下:∵CE=CF,CG⊥BE∴∠6=∠7∵∠BGC=∠A+∠6,∠BCG=∠3+∠7,∠A=∠3，∴∠BGC=∠BCG∴BG=BC∴△BCG是等腰三角形知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【典例精析】例2.如图,矩形ABCD中,AB=4,AD=8,将△BCD沿对角线BD折叠,得到△BC´D,BC´交AD于E.(1)求证:△BED是等腰三角形;(2)求AE的长(1)证明:由折叠知识可知△BC´D≌△BCD．∴∠C´BD=∠DBC．∵四边形ABCD是矩形∴AD//BC∴∠EDB=∠DBC∴∠C´BD=∠EDB∴BE=DE∴△BED是等腰三角形C´ADCBE(2)解:设AE=x则DE=AD–AE=8–x由(1)得BE=DE=8–x∵四边形ABCD是矩形∴∠A=90º∴AB2＋AE2=BE2∴42＋x2=(8–x)2解得x=3∴AE的长为3知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课堂演练】1.在△ABC中,AB=6,AC=8,BC=10,则该三角形为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等腰直角三角形ＡＢＣＤ3.如图,△ABC中,AC=AD=BD,∠DAC=80º,则∠B的度数是()A.40ºB.35ºC.25ºD.20º2.如图,在△ABC中,AB=AC,D为AC边上一点,且BD=BC=AD.则∠A等于().A.30ºB.36ºC.45ºD.72ºBBC（第3题图）BDCA知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结5.如图,点A的坐标是(2,2),若点P在x轴上,且△APO是等腰三角形,则点P的坐标不可能是().A.(4,0)B.(2,0)C.D.(1,0)【课堂演练】1234-112xyA0（第5题图）4.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36º,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形有()A.5个B.4个C.3个D．2个)02(，AD(第4题图)ＡＢＣＤE知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结7.如图,等腰△ABC中,AB=AC,AD是底边上的高,E为AC中点,若AD=8cm,BC=12cm,则DE=cm.【课堂演练】21DCBA（第8题图）6.已知等腰三角形的一个内角的度数为30º,则这个等腰三角形的顶角为.8.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90º,CD⊥AB,D为垂足.在不添加辅助线的情况下,请写出图中一对相等的锐角:.(只需写出一对即可)120º或75º5∠A=∠2或∠1=∠BACDB（第7题图）E知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课堂演练】9.如图,△ABC和△CDE都是边长为2的等边三角形,点B、C、D在同一条直线上,连接BD,则BE的长为.AEBCD（第9题图）3210.如图,已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是.n)2((第10题图)FEDCBAG知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课堂演练】11.如图,在Rt△ABC中,∠C=90º,∠A=30º,BD是∠ABC的平分线,CD=5cm,求AB的长.解:∵在Rt△ABC中,∠A=30º∴AB=2BC,∠ABC=90º–∠A=60º∵BD是∠ABC的平分线DCBA□3021ABCCBDABD∴在Rt△CBD中,BD=2CD=2×5=10(cm)∵∠ABD=∠A=30º∴AD=DB=10cmcmCDBDBC355102222cmBCAB3102知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课堂演练】12．如图所示，△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．（1）用尺规作图的方法，过D点作DM⊥BE，垂足是M（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：BM=EM．ABCDEM解:(1)作图如图所示．(2)∵△ABC是等边三角形,D是AC的中点∴∠ABC=∠ACB=60ºBD平分∠ABC，ABCCBD21∵CE=CD∴∠E=∠CDE又∵∠ACB=∠CDE+∠EACBE21∴∠CBD=∠E∴BD=DE∵DM⊥BE∴BM=EM知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课堂演练】FBADCE*13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BC＝AC,点D为AB上一点,过D点作DE⊥AB交BC于E,连接AE;F为AE的中点,连接DF,CF,CD.求证：△DFC是等腰直角三角形．证明:∵∠ACB=90º,F为AE的中点AFAECF21∴∠1=∠2∴∠6=∠1+∠2=2∠1∵DE⊥AB∴∠ADE=90º同理可得DF=AF,∠5=2∠3∴DF=CF∠5+∠6=2(∠1+∠3)=2∠BAC又∵∠ACB=90º,AB＝BC∴∠BAC=∠B=45º∴∠DFC=90º∴△DFC是等腰直角三角形知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课后训练】1.如图,点E、F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O.(1)求证:AB＝DC;(2)试判断△OEF的形状,并说明理由(1)证明:∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF,即BF=CE又∵∠A=∠D,∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE(AAS)∴AB=DC．(2)△OEF为等腰三角形.理由如下:∵△ABF≌△DCE∴∠AFB=∠DEC∴OE=OF∴△OEF为等腰三角形ADBEFCO知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课后训练】2.如图,△ACD和△BCE都是等腰直角三角形,∠ACD=∠BCE=90º,AE交DC于F,BD分别交CE,AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系,并说明理由.FGHDABCE解:猜测AE=BD,AE⊥BD.理由如下:∵∠ACD=∠BCE=90º,∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,即∠ACE=∠DCB∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形∴AC=CD,CE=CB.∴△ACE≌△DCB(SAS)∴AE=BD,∠CAE=∠CDB,.∵∠ACD=90º∴∠CAE+∠AFC=90º∵∠AFC=∠DFH∴∠CDB+∠DFH=90º∴∠DHF=90º∴AE⊥BD知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课后训练】3.如图,Rt△ABC中,∠C=90º,AC=4,BC=3,以△ABC的一边为边画等腰三角形,使它的第三个顶点在△ABC的其它边上.请在图①、图②、图③中分别画出一个符合条件的等腰三角形,且三个图形中的等腰三角形各不相同,并在图下方的横线上写明所画等腰三角形的腰和腰长(如左图所示,不要求尺规作图)ABC图②ABC图③ABCBC=BD=3DABC图①知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结ABCBC=CD=3图②ABCBD=CD=2.5图③ABCAC=AD=4图①DABCAD=CD=2.5DDD825BDADABCD知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结【课后训练】4．如图，△ABC是等边三角形，AB=4,D点是AB边的一动点（不与A、B重合），过D点作DE⊥BC于E，过E点作EF⊥AC于F，过F点作FG⊥AB于G．（1）设BD=x，AG=y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，点D与点G重合？此时△DEF是什么三角形？说明理由．FEGDBAC解:(1)∵△ABC是等边三角形∴AB=BC=AC=4，∠A=∠B=∠C=60º∵DE⊥BC,EF⊥AC，FG⊥AB∴∠1=90º−∠B=30º,∠2=90º−∠C=30º∠1=90º−∠A=30ºAFAGCECFxBDBE21,21,2121知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结xBEBCCE214xCF412241)412(4xxCFACAF181xAG)40(181xxyxy的函数关系式为与（2）当点D与点G重合时，BD＋AG=AB4181xx则38x解得重合与点时，点当GDx38此时△DEF是等边三角形,理由如下：∵DE⊥BC，∴∠DEC=90º∴∠DEF=∠DEC−∠2=90º−30º=60º同理∠DFE=∠EDF=60º∴∠DEF=∠DFE=∠EDF∴△DEF是等边三角形123FE（G）DBAC【小结】知识回顾典例精析课堂演练课后训练小结