4.3《数学归纳法及其应用举例》课件(新人教选修4-5)

新课标人教版课件系列《高中数学》选修4－54.3《数学归纳法及其应用举例》教学目标1．初步理解数学归纳法原理：只有两个步骤正确，才能下结论：对一切n∈N*，命题正确(强调缺一不可)．2．会用数学归纳法证明一些简单的命题．3．理解为证n＝k＋1成立，必须用n＝k成立的假设．4．会用数学归纳法证明整数(整式)整除问题．5．会用数学归纳法证明一些简单的几何问题．6．了解数学归纳法应用的广泛性，进一步掌握数学归纳法的证明步骤．7．掌握为证n＝k＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等数学归纳法及其应用举例第一课时①观察：6＝3＋3，8＝5＋3，10＝3＋7，12＝5＋7，14＝3＋11，16＝5＋11，……78＝67＋11，……我们能得出什么结论?②教师根据成绩单，逐一核实后下结论：“全班及格”．米诺骨牌.swf问题数学归纳法的两个步骤：(Ⅰ)证明当n＝n0(n＝1)(如n＝1或2等)时，结论正确；(Ⅱ)假设n＝k(k∈N*且k≥n0)时结论正确，证明n＝k＋1时结论也正确．对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们的正确性：先证明当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，然后假设当n=k(k∈N,k≥n0)时命题成立证明当n=k+1时命题也成立，这种证明方法叫做数学归纳法.定义注意:运用数学归纳法证题,以上两步缺一不可数学归纳法的基本思想：在可靠的基础上利用命题本身具有传递性,运用“有限”的手段来解决“无限”的问题数学归纳法的核心:在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法，实现了有限到无限的飞跃。例1用数学归纳法证明1＋3＋5+…＋(2n－1)＝n2初步应用例2用数学归纳法证明：123nn(n1)(2n1)2222＋＋＋…＋＝＋＋．16例3用数学归纳法证明*)(2131211Nnnn初步应用例4.下面是某同学用数学归纳法证明命题的过程.你认为他的证法正确吗?为什么(1).当n=1时,左边=,右边=(2).假设n=k时命题成立即那么n=k+1时,左边=右边,即n=k+1时,命题也成立.由(1)(2)知,对一切自然数,命题均正确.212111)1(1321211nnnn211111)1(1321211kkkk1)1(211)2111()3121()211(kkkkk课堂练习，巩固提高1.用数学归纳法证明：如果{an}是一个等差数列，那么：an=a1+(n-1)d对一切n∈N＊都成立.证明：（1）当n=1时，左=a1，右=a1+(1-1)d=a1，所以等式成立(2)假设当n=k(k∈N)时等式成立，即ak=a1+(k-1)d那么ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d∴当n=k+1时，等式成立由(1)(2)知对任何n∈N＊等式成立2、1+2+3+…+n=n(n+1)/2(n∈N)；证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+3+…+k=k(k+1)/2那么，1+2+3+…+k+(k+1)=k(k+1)/2+(k+1)=(k+1)[(k+1)+1]/2这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N都成立。课堂练习，巩固提高课堂练习，巩固提高3、1+2+22+…+2n-1=2n-1(n∈N*)证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。(2)假设当n=k时等式成立，就是1+2+22+…+2k-1=2k-1那么，1+2+22+…+2k-1+2k=2k-1+2k=2×2k-1=2k+1-1这就是说，当n=k+1时，等式也成立。因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何n∈N*都成立。归纳小结①归纳法：由特殊到一般，是数学发现的重要方法；②数学归纳法的科学性：基础正确；可传递；③数学归纳法证题程序化步骤：两个步骤，一个结论；④数学归纳法优点：克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点，又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足，是一种科学方法，使我们认识到事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷．数学归纳法及其应用举例第二课时复习旧课，提出任务①数学归纳法证明有哪些步骤？②数学归纳法通常解决什么问题？(与正整数有关命题)例题选讲例1用数学归纳法证明：34n+2＋52n+1能被14整除．证明：(i)当n＝1时，34×1+2＋52×1+1＝754＝14×16，∴当n＝1时，34n+2＋52n+1能被14整除．(ii)设n＝k(k≥1，k∈N*)时，34k+2＋52k+1能被14整除．那么当n＝k＋1时34(k+1)+2＋52(k+1)+1＝34k+2·34＋52k+1·52＝81·34k+2＋25·52k+1＝(25＋56)·34k+2＋25·52k+1＝25·(34k+2＋52k+1)＋56·34k+2．∵(34k+2＋52k+1)能被14整除，56能被14整除，∴34n+2＋52n+1能被14整除．即n＝k＋1时，命题成立．根据(i)、(ii)可知,34n+2＋52n+1能被14整除．例2：用数学归纳法证明：x2n－y2n能被x＋y整除．例3平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数为:)1(21)(nnnf例题选讲n图形f(n)1234…kK+1f(1)=0f(2)=1=f(1)+1f(3)=3=f(2)+2f(4)=6=f(3)+3f(k)f(k+1)=f(k)+k……例题选讲,1)2(,1)(分析1221211222nnnnfxfxxx的大小，与2试比较),),已知4例*1122g(n))f(N(ng(nf(x)nnxxxxnnnn并说明理由.的大小。与2的大小既比较)(与)2(比较2nngfn例5设),(113121Nnann是否存在的整式,n)(ng使得等式)1()(1321nnangaaaa对大于1的一切自然数都成立?并证明你的结论.n例题选讲当n=2时，由2)2(]1)[2(21gaga当n=3时，由3)3(]1)[3(321gagaa猜想：g(n)=n（n2），用数学归纳法证明（略）例题选讲研究题研究题：1．平面内有n条直线，任意两条不平行，任意三条不共点，求它们彼此分成的线段数H(n)．(H(n)＝n2，证明略)2．对n∈N*，n3＋5n＋6能被6整除吗？为什么？(能．用数学归纳法证明略)