新视野大学英语(第二版)读写教程第二册课后习题答案

6.4无穷区间上的反常积分简介6.4.1无穷区间上的反常积分的概念6.4.2无穷区间上反常积分计算举例例1求由曲线y=e-x，y轴及x轴所围成开口曲边梯形的面积.解这是一个开口曲边梯形，为求其面积，任取b[0,+)，在有限区间[0,b]上，以曲线y=e-x为曲边的曲边梯形面积为.e11ede00bbxbxxby=e-xyxO(0,1)开口曲边梯形的面积一、无穷区间上的广义积分xAbaxbdelim.1e11limbby=e-xyxbO(0,1)即当b+时，阴影部分曲边梯形面积的极限就是开口曲边梯形面积，定义1设函数f(x)在[a,+)上连续，取实数ba，如果极限babxxfd)(lim则称此极限为函数f(x)在无穷区间[a,+)上的广义积分，.d)(limd)(babaxxfxxf这时也称广义积分收敛，,d)(axxf记作即存在，否则称广义积分发散.定义2设函数f(x)在(-,b]上连续，取实数ab，如果极限baaxxfd)(lim则称此极限值为函数f(x)在无穷区间(-,b]上的广义积分，xxfxxfbbaad)(limd)(这时也称广义积分收敛，,d)(bxxf记作即存在，否则称广义积分发散.定义3设函数f(x)在(-,+)内连续，且对任意实数c，如果广义积分xxfxxfccd)(d)(与则称上面两个广义函数积分之和为f(x)在无穷区间(-,+)内的广义积分，,d)(d)(d)(ccxxfxxfxxf这时也称广义积分收敛，,d)(xxf记作即都收敛，否则称广义积分发散.若F(x)是f(x)的一个原函数，并记),(lim)(xFFx).(lim)(xFFx则定义1，2，3中的广义积分可表示为axxfd)(axF)(，)()(aFFbxxfd)(bxF)(，)()(FbFxxfd)()(xF.)()(FF例2求.d1102xx解xxd11020arctanx.202.dcos0的收敛性xx例3判断解.sindcos00xxx由于当x+时，sinx没有极限，所以广义积分发散.例4计算.de0xxx解用分部积分法，得0dexxxxxde000deexxxx.1e0xxxxxxxelimelim其中,0e1limxx.0e0xx即例5判断.lnde的收敛性xxx解elnlndxxelndxxxelnlnx故该积分发散.例6证明反常积分1,d1xxp当p1时，收敛；当p≤1时，发散.证p=1时，则11lndxxx所以该反常积分发散.11111dppxpxx.1,,1,11ppp当当当p1时，综合上述，该反常积分收敛.当p≤1时，该反常积分发散.p1时，则定义4设函数f(x)在区间(a,b]上连续，取e0，如果极限xxfbad)(lim0ee则称此极限值为函数f(x)在区间(a,b]上的反常积分，.d)(limd)(0xxfxxfbabaee这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.,)(limxfax且,d)(xxfba记作即存在，二、无界函数的广义积分定义5设函数f(x)在区间[a,b)上连续，取e0，如果极限.d)(lim0xxfbaee则称此极限值为函数f(x)在区间[a,b)上的反常积分.xxfxxfbabad)(limd)(0ee这时也称反常积分收敛，否则称反常积分发散.,)(limxfbx且，xxfbad)(记作即存在，定义6设函数f(x)在[a,b]上除点c(a,b)外连续，,)(limxfcx且如果下面两个反常积分xxfxxfbccad)(d)(与则称这两个反常积分之和为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分，.d)(d)(d)(xxfxxfxxfbccaba这时也称反常积分收敛，否则，称反常积分发散.,d)(xxfba记作即都收敛，若F(x)是f(x)的一个原函数，，并记)(lim)(xFaFax).(lim)(xFbFbx)(lim)(xFcFcx).(lim)(xFcFcx或则定义4，5，6中的反常积分可表示为xxfbad)().()()(aFbFxFbaxxfxxfxxfbccabad)(d)(d)(bccaxFxF)()().()()()(cFbFaFcFxxfbad)()()()(aFbFxFba例7判断.1d10收敛性xx解故积分的收敛.101dxx.21210x例8讨论反常积分.d10的收敛性pxx解当p=1时，则.lnd11010xxx故积分发散.当p1时10dpxx.1,1,11时当发散时，当ppp10111pxp综上所述，得：当p1时，该反常积分收敛，.111时，该反常积分发散；当其值为pp≥