无穷小无穷大 极限运算法则

第一章二、无穷大三、无穷小与无穷大的关系一、无穷小第四节机动目录上页下页返回结束无穷小与无穷大当一、无穷小定义1(P39).若时,函数则称函数例1(P39):函数当时为无穷小;函数时为无穷小;函数当)x(或为时的无穷小.时为无穷小.)x(或机动目录上页下页返回结束说明说明(P39):2、0是可以作为无穷小的唯一常数时,函数(或)x则称函数为定义1.若(或)x则时的无穷小.机动目录上页下页返回结束1、无穷小不是很小的数定理1其中为0xx时的无穷小量.定理1(P39).(无穷小与函数极限的关系)Axfxx)(lim0Axf)(,证:Axfxx)(lim0,0,0当00xx时,有Axf)(Axf)(0lim0xx对自变量的其它变化过程类似可证.机动目录上页下页返回结束无穷大二、无穷大定义2(P40).若任给M0,一切满足不等式的x,总有则称函数当时为无穷大,使对若在定义中将①式改为①则记作))(lim()(0xfxxx)(Xx)(x))(lim(xfx(正数X),记作,))((Mxf总存在机动目录上页下页返回结束注意注意(P40):1.无穷大不是很大的数,它是描述函数的一种状态.2.函数为无穷大,必定无界.但反之不真!例(P42题6),函数当但所以时,不是无穷大!机动目录上页下页返回结束例2例2(P40).证明证:任给正数M,要使即只要取,1M则对满足的一切x,有所以若则直线0xx为曲线的铅直渐近线.渐近线说明(P41):机动目录上页下页返回结束无穷小无穷大关系三、无穷小与无穷大的关系若为无穷大,)(1xf为无穷小;若为无穷小,且,0)(xf则)(1xf为无穷大.则据此定理,关于无穷大的问题都可转化为无穷小来讨论.定理2(P41).在自变量的同一变化过程中,说明:机动目录上页下页返回结束定理2证明,)(lim0xfxx,0,0,01M||00xx证设取当时，有,1|)(|Mxf,)(1xf)(1xf0xx即所以为当时的无穷小.0)(lim0xfxx,0)(xf,0M,0,1M||00xx反之，设且取当时，有,1|)(|Mxf,0)(xf,|)(1|Mxf)(1xf0xx由得所以为当时的无穷大.内容小结内容小结1.无穷小与无穷大的定义2.无穷小与函数极限的关系3.无穷小与无穷大的关系思考与练习P42题1,3P42题3提示:第五节目录上页下页返回结束第一章二、极限的四则运算法则三、复合函数的极限运算法则一、无穷小运算法则第五节机动目录上页下页返回结束极限运算法则时,有,,min21一、无穷小运算法则定理1(P43).有限个无穷小的和还是无穷小.证:考虑两个无穷小的和.设,0当时,有当时,有取则当00xx22因此这说明当时,为无穷小量.机动目录上页下页返回结束说明说明:无限个无穷小之和不一定是无穷小!例如，nnnnnn2221211lim1(P56,题4(2))机动目录上页下页返回结束类似可证:有限个无穷小之和仍为无穷小.定理2定理2(P43).有界函数与无穷小的乘积是无穷小.证:设Mu又设,0lim0xx即,0当时,有M取,,min21则当),(0xx时,就有uuMM故即是时的无穷小.推论1(P44).常数与无穷小的乘积是无穷小.推论2(P44).有限个无穷小的乘积是无穷小.机动目录上页下页返回结束例1例1(P48例8).求解:01limxx利用定理2(P43)可知xxysin机动目录上页下页返回结束极限四则运算法则二、极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有定理3(P44).若机动目录上页下页返回结束说明(P45):定理3可推广到有限个函数相加、减、乘的情形.推论推论1(P45).)(lim)](lim[xfCxfC(C为常数)推论2(P45).nnxfxf])(lim[)](lim[(n为正整数)例2(P46).设n次多项式试证).()(lim00xPxPnnxx证)(lim0xPnxx机动目录上页下页返回结束定理4定理4(P45).若,lim,limByAxnnnn则有)(lim)1(nnnyxnnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAyxnnnlimBABA提示:因为数列是一种特殊的函数,故此定理可由定理3(P44)直接得出结论.机动目录上页下页返回结束例3x=3时分母为0!31lim3xxx例3(P46).设有分式函数其中都是多项式,试证:证:)(lim0xRxx)(lim)(lim00xQxPxxxx说明(P47):若不能直接用商的运算法则.例如.)3)(3()1)(3(lim3xxxxx若机动目录上页下页返回结束例4例4(P47).求解:x=1时3245lim21xxxx031241512分母=0,分子≠0,但因机动目录上页下页返回结束由P41定理2有例5例5.求解:时,分子22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x则分母“抓大头”原式机动目录上页下页返回结束有理分式极限一般结果一般有如下结果(P48)：为非负常数)(如P47例5)(如P47例6)(如P47例7)mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110机动目录上页下页返回结束复合函数极限运算定理6(P48).设且x满足时,,)(ax又则有])([lim0xfxx说明(P49):若定理中,)(lim0xxx则类似可得])([lim0xfxxAufu)(lim机动目录上页下页返回结束例7三、复合函数的极限运算法则例7.求解:令932xxu已知ux3lim61(见P47例3)∴原式=6166(见P34例5)机动目录上页下页返回结束例8例8.求解:方法1,xu则,1lim1ux令11112uuxx1u∴原式)1(lim1uu2方法21)1)(1(lim1xxxx)1(lim1xx2机动目录上页下页返回结束内容小结内容小结1.极限运算法则(1)无穷小运算法则(2)极限四则运算法则(3)复合函数极限运算法则注意使用条件2.求函数极限的方法(1)分式函数极限求法0)1xx时,用代入法(分母不为0)0)2xx时,对00型,约去公因子x)3时,分子分母同除最高次幂“抓大头”(2)复合函数极限求法设中间变量机动目录上页下页返回结束思考与练习思考及练习1.是否存在?为什么?答:不存在.否则由利用极限四则运算法则可知存在,与已知条件矛盾.解:原式22)1(limnnnn)11(21limnn212.问机动目录上页下页返回结束3题3.求解法1原式=xxxx1lim21111lim2xx21解法2令,1xttttt1111lim2021则原式=22011limttt111lim20tt0t机动目录上页下页返回结束4题4.试确定常数a使解:令,1xt则tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a机动目录上页下页返回结束因此作业备用题设解:利用前一极限式可令bxaxxxf2322)(再利用后一极限式,得xxfx)(lim30可见是多项式,且求)(lim0xbax故机动目录上页下页返回结束