无穷小量定义

一、无穷小量1、定义:极限为零的变量称为无穷小量.§5无穷小量与无穷大量设f在某U°(x0)内有定义,若则称f为当x→x0时的无穷小量。0)(lim0xfxx)()1()(0xxoxf记为若函数g在某U゜(x0)内有界，则称g为x→x0时的有界量。)()1()(0xxOxf记为类似可定义x→x0+,x→x0-,x→+∞,x→–∞以及x→∞时的无穷小量与有界量。任何无穷小量都是有界量。例1，0sinlim)1(0xx；即时的无穷小，是当)0((1)sin0sinxoxxx1sinlim2xx，0；)2((1)sinxoxxxsinlim，0。)((1)sinxox注意（1）无穷小是一种变量,不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的常数.,0)1()2(nxnn)1()1(onxnn。)(n问：无穷小是否为很小的数？很小的数是否为无穷小？二、无穷小量与极限的关系。变化过程，有的对自变量(1))()(limoAtfAtft同一定理1意义：（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小量);).1(,)()(20oAxfxxf误差为式附近的近似表达在）给出了函数（三、无穷小量的性质性质1有限个相同类型的无穷小量的和、差、积仍是无穷小量.性质2（同一过程中的）有界量与无穷小量的乘积是无穷小，即O(1)·o(1)=o(1).用迫敛性可以证明。证法1：证法2。时，恒有，使得当，则对Mxxx)(000202来证。这种自变量的变化过程仅对0xx，恒有时，则当，取|)()(||-|0},min{021xxuxx性质2（同一过程中的）O(1)·o(1)=o(1).即O(1)·o(1)=o(1).)()1()(0xxOxu设)()1()(0xxox设)(,o(1))()(0xxxxu。时，恒有使得当即MxuxxM)(0,0,0101)1(1sin)1(0，，时，例如，当Oxoxx；，即01sinlim(1)1sin0xxoxxx，，，(1)1arctan)1(1tanrc)1(22oxxOxaox。即01tanlim20xarcxx注意无穷多个无穷小量的代数和未必是无穷小；无穷多个无穷小量的乘积未必是无穷小.;,1,,51,41,31,211,:}{)1(nxn，例如不是无穷小。，)()()2()1(knnnnxxxy;,1-1,,41,31,211,2,:}{)2(nxn;,2-1,,31,211,2,3,:}{)3(nxn;,11,,4-,3-,2-1,-,:}{)(n-kkkkkkxkn不是无穷小。，)()()2()1(knnnnxxxz四、无穷小量阶的比较无穷小量之比的极限（0/0）可以出现各种情况：出现不同情况的原因是无穷小趋向于零的速度不同.例如,xxx20limxxxsinlim0201sinlimxxxx.1sin,sin,,,02都是无穷小时当xxxxxx;2快得多比xx;sin大致相同与xx不可比.,0,1xxx1sin1lim0.不存在且无界观察各极限型）（0020limxxx;2慢得多比xx,设当x→x0时，f与g均为无穷小量，1．若则称当x→x0时,f为g的高阶无穷小量,或称g为f的低阶无穷小量，记作,0)()(lim0xgxfxx)())(()(0xxxgoxf例如，当x→0时，x,x2,…,xn(n为正整数)等都是无穷小量，有)0()(1xxoxkkxxxsincos1lim02cos2sin22sin2lim20xxxx.02tanlim0xx)0()(sincos1xxox故若存在正数K和L，使得在某U°(x0)上有,|)()(|LxgxfK则称f与g为当x→x0时的同阶无穷小量。,0)()(lim0cxgxfxx特别当f与g必为同阶无穷小量。)())(()(,|)()(|0xxxgOxfLxgxf则记若2.注若f(x),g(x)是同阶无穷小量，则可记作f(x)=O(g(x)),但若f(x)=O(g(x)),则f(x)与g(x)不一定是同阶无穷小量。20cos1limxxx2202sin2limxxx.21)0()(cos12xxOx故)0()(1sinxxOxx|1sin|xxx|1sin|x,1并不是同阶无穷小量。与但xxx1sin.0)()(lim))(()(xgxfxgoxf.|)()(|))(()(LxgxfxgOxf反之不然。)),(()())(()(xgOxfxgoxf))(()())(()(xgOxfxgoxf属于函数类}0)()(lim|)({))((xgxfxfxgo)}(,|)()(||)({))((0xUxLxgxfxfxgOo3．若则称当x→x0时,f与g是等价无穷小量，记作,1)()(lim0xgxfxxf(x)~g(x)(x→x0).注：并不是任何两个无穷小量都可以进行这种阶的比较。例如，当x→0时，xsin1/x和x2都是无穷小量，xxxxx1sin11sin2但当x→0时不是有界量，xxxxx1sin1sin2当x→0时不是有界量，故当x→0时，xsin1/x和x2不能比较。，03lim20xxx，1sinlim0xxx高阶的无穷小，是比时，当xxx302；即)0()3(2xxox).0(~sinxxx例1例２.1lim0xexx求解xexx1lim01xeu)1ln(lim0uuuuuu10)1ln(lim1eln1.1.~1~)1ln(0xexxxx，时，当常用等价无穷小:时，当0x，xxxxxx~)1ln(~arctan~arcsin~tan~sin)0(~1)1(,21~cos1,~12aaxxxxxeax五、等价无穷小量在求极限问题中的作用定理3设函数f,g,h在U°(x0)内有定义，且有f(x)~g(x)(x→x0).BxgxhBxfxhxxxx)()(lim,)()(lim200则）若（,)()(lim,)()(lim100AxhxgAxhxfxxxx则）若（证（2）)()()()(lim)()(lim00xgxfxfxhxgxhxxxx)()(lim)()(lim00xgxfxfxhxxxx.1BB推论.limlim,~,~则设证limlim1lim.lim证毕1lim例5.cos12tanlim20xxx求解.2~2tan,21~cos1,02xxxxx时当22021)2(limxxx原式.8例6.2sinsintanlim30xxxx求解.~sin,~tan,0xxxxx时当30)2(limxxxx原式.0解)cos1(tansintanxxxx,21~3x,2~2sinxx330)2(21limxxx原式.161错注意：只可对乘积中的无穷小因子作等价无穷小代换，对于代数和中各无穷小项不能随意作等价无穷小量代换。作业P66.1(4)2(2)六、无穷大量定义2设函数f在某U°(x0)内有定义，若.|)(|),();(,0,000GxfxUxUxGoo有则称函数f当x→x0时有非正常极限∞，记作.)(lim0xfxx若将“|f(x)|G”换成“f(x)G”或“f(x)－G”,则分别称f当x→x0时有非正常极限＋∞或－∞，分别记作和)(lim0xfxx.)(lim0xfxx类似可定义其他极限过程的非正常极限。定义3对于自变量x的某种趋向（或n→∞时），所有以∞，＋∞或－∞为非正常极限的函数（包括数列），都称为无穷大量。:)(lim0xfxx如.)(),;(,0,00GxfxUxGo有:)(limxfx如.)(,||,0,0GxfMxMG有至此，我们定义了极限的全部24种情形。),)(,)(,|)((|,|)(|),0(,0GxfGxfGxfAxfG——刻画函数极限值情况。,||,,),;(),;(),;(),0(,0000MxMxMxxUxxUxxUxMooo——刻画自变量变化情况。)(lim?Axfx。种极限过程的任何一种其中？可以是6注意（1）无穷大量是变量,不能与很大的数混淆;（3）无穷大量是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大量..)(lim20认为极限存在）切勿将（xfxx.11lim证明1xx例1证0.M对任给定的,11Mx要使,M110只要x,M1δ(M)δ可取,110时当Mx.11Mx就有.11lim1xx11xy。-lnlim:试证00xx例2证0.M对任给定的,eeeMln由MMlnxxx.eδ(M)可取δM,-Mln恒有时,δ0当xx。xxlnlim00七、无穷小与无穷大的关系定理4在同一过程中,无穷大量的倒数为无穷小量;恒不为零的无穷小量的倒数为无穷大量.证.)(lim0xfxx设,1)(0,0,00xfxx恒有时使得当.)(1xf即.)(1,0为无穷小时当xfxx.0)(,0)(lim,0xfxfxx且设反之,1)(0,0,00MxfxxM恒有时使得当.)(1Mxf从而.)(1,0为无穷大时当xfxx,0)(xf由于意义：关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论.注对无穷大量也可以比较它们趋于无穷大的速度，定义高（低、同）阶无穷大以及等价无穷大；也可以进行等价无穷大量替换。例3时不是无穷大量。但上无界，在任意证明0)0(1cos1)(xUxxxgo分析有界，即在某若);0()(oUxg.|)(|),;0(,0MxgUxMo有但有只要取),;0(,21,2100oUxnnx,22cos2)(0nnnxg.|)(|,20MxgMn不可能而当证明则取},21,2max{,0,0MnM.|)(|),;0(2100MxgUnxo且则上无界。在任意即)0()(oUxg时不是无穷大量。但上无界，在任意证明0)0(1cos1)(xUxxxgo,2/1,0,11nxG取取,2//1n只要),;0(1oUx有.10|)(|1Gxg而.)(lim0xgx故即若,)(lim0xgx.|)(|),;0(,0,0GxgUxGo有时不是无穷大量。但上无界，在任意证明0)0(1cos1)(xUxxxgo证明八、曲线的渐近线定义:.)(:渐近线的一条为的距离趋向于零，则称到某直线点无限远离原点时，沿曲线若点CLLPxfyCP1.垂直渐近线.)()(lim)(lim)(lim0000直渐近线垂的一条就是那么或或如果xfyxxxfxfxfxxxxxx的渐近线。可利用极限求曲线)(xfy。或不能是。但或可以是这里0x即动点沿着上下方向无限远离原点时，动点到直线x=x0距离趋于0。例如,)3)(2(1xxy有垂直渐近线两条:.3,2xx求垂直渐近线，一般关注分式中分母为0的点。,)3)(2(1lim2xxx,)3)(