无穷递缩等比数列各项和

无穷递缩等比数列各项和=e几个基本数列的极限limx1.01limnn2.0lim,1nnqq时3.cccnlim,为常数11nn引例:把无限循环小数0.333·····化为一个分数.定义:我们把|q|1的无穷等比数列前n的和Sn,当n→∞时的极限叫做无穷等比数列各项和.11lim(1)11nnnaaSSqqq)1(,11qqaS•注意：（1）我们把|q|1无穷等比数列称为无穷递缩等比数列，它的前n项和的极限才存在，•当|q|≥1无穷等比数列它的前n项和的极限是不存在的。•（2）S是表示无穷等比数列的无限项和，这种无限个数的和与有限个数的和从意义上来说是把不一样的，它是前n项和Sn当n→∞的极限，即S=limnnS21,211qa解：nnns211211211211limlim12nnnnSs101已知等比数列求它的各项和111,,,248121,2132221aq解：2132221322s求无穷等比数列,,····,的所有项和.2121使用公式要注意三个问题:•（1）所给数列是等比数列；•（2）公比的绝对值小于1;•(3)前n项和与所有项和的关系:11aSq1lim1nnaSSq例1:把下列循环小数化为分数•(1)0.•(2)1.4•(3)0.7+0.07+0.007+·····•(4)0.+0.0+0.00+·····3837772•例2:(1)设无穷等比数列所有奇数项之和为15，所有偶数项之和为-3,求首项a1.•(2)已知无穷等比数列的首项a1等于后面的各项之和k倍,求公比q的取值.•例3:设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前n项和为Sn，设Tn=,n∈N.求:1nnSSlimnxT例3:设首项为1，公比为q（q＞0）的等比数列的前项和为Sn,设Tn=,n∈N.求:•解：当q=1时，Sn=na1=n,Tn=,•==1;•当q≠1时，Sn=,Tn=•当0q1时，==1;•当q1时，===q1nnSSlimnxT11nnSnSnlimnnT1limxnn11nqq1111nnnnSqSqlimnnTlimnnT11lim1nnnqq11lim1nnnqq1()lim1()1nnnqqq•例4：在直角坐标系中，一个粒子从原点出发，沿x轴向右前进1个单位到点P1，接着向上前进1/2单位到点P2，再向左前进个1/4单位到点P3，又向下前进1/8单位到点P4，以后的前进方向按向右，向上，向左，向下的顺序，每次前进的距离为前一次前进的距离的一半。这样无限地继续下去，求粒子到达的极限位置的坐标.•例5：圆01是边长为a的正三角形ABC的内切圆,圆O2与圆O1外切，且与AB、AC相切，圆O3与圆O2外切，且与AB、AC相切，如此无限继续下去，求所有圆面积之和S。练习•(1)等比数列的首项a1=-1,前项和为Sn,若•=,则等于。•(2)等比数列中,它的各项和S=1/4,求首a1的取值范围。•(3)在数列{an}中，若lim(2n-1)an=1，则lim(nan)的值等于105SS3132limnnS{}na